Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Trong thực tế, nhiều khi ta không thể đo được hết các cạnh của hai tam giác để khẳng định được chúng có bằng nhau hay không. Khi đó, có cách nào khác giúp ta biết được điều đó?
Chúng ta có thêm 2 cách khác để chứng minh hai tam giác bằng nhau như sau:
- Cách 1: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Cách 2: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Vẽ xAy^=60°. Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm,
AC = 3 cm. Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.
Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được độ dài cạnh BC của tam giác ABC xấp xỉ 3,6 cm.
Vẽ thêm tam giác A'B'C' với B'A'C'^=60°, A'B'=4 cm và A'C'=3 cm (H.4.28).
Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C'
- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?
- Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ không?
- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?
Thực hiện tương tự trong Hoạt động 1, ta vẽ hình như sau:
Bước 1. Vẽ x'A'y'^=60°.
Bước 2. Lấy điểm B' trên A'y' sao cho A'B'=4 cm và lấy điểm C' trên A'x' sao cho A'C'=3 cm.
Bước 3. Nối điểm B' và C' ta được tam giác A'B'C'.
Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được:AB=A'B'=4 cm, AC=A'C'=3 cm, BC=B'C'≈3,6 cm.
- Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:
AB=A'B' (chứng minh trên).
BC=B'C' (chứng minh trên).
AC=A'C' (chứng minh trên).
Do đó ΔABC=ΔA'B'C' (c – c – c).
- Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vừa vẽ bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ.
- Hai tam giác em vừa vẽ bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ.
Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?
Hai tam giác DEF và GHK có góc D không phải góc xen giữa hai cạnh EF, FD và góc G không phải góc xen giữa hai cạnh GH, HK nên ta không thực hiện xét hai tam giác này.
Xét hai tam giác ABC và MNP có:
AB = MN (theo giả thiết).
BAC^=NMP^ (theo giả thiết).
AC = MP (theo giả thiết).
Do đó ΔABC=ΔMNP (c – g – c).
Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?
Xét tam giác MNP có M^+N^+P^=180°.
Do đó M^=180°−N^−P^=180°−50°−70°=60°.
Xét hai tam giác ABC và MNP có:
AB = MN (theo giả thiết).
BAC^=NMP^ (cùng bằng 60o).
AC = MP (theo giả thiết).
Vậy ΔABC=ΔMNP (c – g – c).
Cho Hình 4.32, biết OAB^=ODC^, OA = OD và AB = CD. Chứng minh rằng:
a) AC = DB;
b) ΔOAC=ΔODB.
a) Do AB = CD nên AB + BC = CD + BC.
hay AC = DB.
Vậy AC = DB.
b) Xét hai tam giác OAC và ODB có:
OA = OD (theo giả thiết).
OAC^=ODB^ (theo giả thiết).
AC = BD (chứng minh trên).
Vậy ΔOAC=ΔODB (c – g – c).
Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho xBC^=80°, yCB^=40° như Hình 4.33. Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.
Tương tự Hoạt động 3, ta vẽ hình như sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng B'C'=3 cm
Bước 2. Dùng thước đo độ, vẽ hai tia B'x' và C'y' sao cho x'B'C'⏜=80o, y'C'B^=40o
Bước 3. Lấy giao điểm A' của hai tia B'x' và C'y' ta được tam giác A'B'C'
- Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được AB=A'B'≈2,2 cm;AC=A'C'≈3,4 cm và BC=B'C'=3 cm
- Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:
AB=A'B' (chứng minh trên).
ABC^=A'B'C'^ (cùng bằng 80o).
BC = B'C' (chứng minh trên).
Vậy △ABC=△A'B'C' (c – g – c).
Vẽ thêm tam giác A'B'C' sao cho B'C'=3 cm, A'B'C'^=80°, A'C'B'^=40° (H.4.34).
Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và A'B'C' Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?
Tương tự Hoạt động 3, ta vẽ hình như sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng B'C'=3 cm.
Bước 2. Dùng thước đo độ, vẽ hai tia B'x' và C'y' sao cho x'B'C'^=80°,y'C'B'^=40°.
Bước 3. Lấy giao điểm A' của hai tia B'x' và C'y' ta được tam giác A'B'C'
- Dùng thước thẳng có vạch chia, ta được AB=A'B'=2,2 cm;AC=A'C'=3,4 cm và BC=B'C'=3 cm.
- Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:
AB=A'B' (chứng minh trên).
ABC^=A'B'C'^ (cùng bằng 80o).
BC=B'C' (chứng minh trên).
Vậy ΔABC=ΔA'B'C' (c – g – c).
Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?
Tam giác GHK có góc H không phải góc kề của cạnh GK và tam giác DEF có góc F không phải góc kề của cạnh DE nên ta không xét hai tam giác này.
Xét hai tam giác ABC và MNP có:
ABC^=MNP^ (cùng bằng 50o).
BC = NP (theo giả thiết).
ACB^=MPN^ (cùng bằng 70o).
Vậy ΔABC=ΔMNP (g – c – g).
Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.
Xét hai tam giác ABD và CBD có:
ABD^=CBD^ (theo giả thiết).
BD chung.
ADB^=CDB^ (theo giả thiết).
Vậy ΔABD=ΔCBD (g – c – g).
Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?
Xét tam giác ABC có BAC^+ABC^+BCA^=180°.
Do đó BCA^=180°−BAC^−ABC^ (1).
Xét tam giác A'B'C' có B'A'C'^+A'B'C'^+B'C'A'^=180°.
Do đó B'C'A'^=180°−B'A'C'^−A'B'C'^ (2).
Mà BAC^=B'A'C'^, ABC^=A'B'C'^ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) ta có BCA^=B'C'A'^.
Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:
BAC^=B'A'C'^ (theo giả thiết).
AC=A'C' (theo giả thiết).
BCA^=B'C'A'^ (chứng minh trên).
Do đó ΔABC=ΔA'B'C' (g – c – g).
Vậy Lan nói đúng.
Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Xét Hình 4.39a.
Xét hai tam giác ABD và CDB có:
AB = CD (theo giả thiết).
ABD^=CDB^ (theo giả thiết).
BD chung.
Vậy ΔABD=ΔCDB (c – g – c).
Xét Hình 4.39b.
Xét hai tam giác AOD và COB có:
OA = OC (theo giả thiết).
AOD^=COB^ (2 góc đối đỉnh).
OD = OB (theo giả thiết).
Vậy ΔAOD=ΔCOB (c – g – c).
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng ΔDAB=ΔBCD.
a) Xét hai tam giác AOD và COB có:
OA = OC (theo giả thiết).
AOD^=COB^ (2 góc đối đỉnh).
OD = OB (theo giả thiết).
Vậy ΔAOD=ΔCOB (c – g – c).
Xét hai tam giác AOB và COD có:
OA = OC (theo giả thiết).
AOB^=COD^ (2 góc đối đỉnh).
OB = OD (theo giả thiết).
Vậy ΔAOB=ΔCOD (c – g – c).
b) Do ΔAOD=ΔCOB nên AD = BC (2 cạnh tương ứng).
Do ΔAOB=ΔCOD nên AB = CD (2 cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác DAB và BCD có:
AD = BC (chứng minh trên).
AB = CD (chứng minh trên).
BD chung.
Vậy ΔDAB=ΔBCD (c – c – c).
Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.
Xét hai tam giác ADE và BCE có:
DAE^=CBE^ (theo giả thiết).
AE = BE (theo giả thiết).
AED^=BEC^ (2 góc đối đỉnh).
Vậy ΔADE=ΔBCE (g – c – g).
Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:
a) ΔABE=ΔDCE; b) EG = EH.
a) Do AB // CD nên ABE^=DCE^ (2 góc so le trong) và BAE^=CDE^ (2 góc so le trong).
Xét hai tam giác ABE và DCE có:
ABE^=DCE^ (chứng minh trên).
AB = CD (theo giả thiết).
BAE^=CDE^ (chứng minh trên).
Vậy ΔABE=ΔDCE (g – c – g).
b) Do ΔABE=ΔDCE nên BE = CE (2 cạnh tương ứng).
Do G, E, H thẳng hàng GEB^=HEC^ (2 góc đối đỉnh).
Do ABE^=DCE^ nên GBE^=HCE^.
Xét hai tam giác GEB và HEC có:
GEB^=HEC^ (chứng minh trên).
BE = CE (chứng minh trên).
GBE^=HCE^ (chứng minh trên).
Do đó ΔGEB=ΔHEC (g – c – g).
Vậy EG = EH (2 cạnh tương ứng).
