Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác có đáp án

Chúng ta có thêm 2 cách khác để chứng minh hai tam giác bằng nhau như sau:

- Cách 1: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Cách 2: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được độ dài cạnh BC của tam giác ABC xấp xỉ  3,6 cm.

Thực hiện tương tự trong Hoạt động 1, ta vẽ hình như sau:

Bước 1. Vẽ $\widehat{x^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=60°.$

Bước 2. Lấy điểm $B\text{'}$ trên $A\text{'}y\text{'}$ sao cho $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=4cm$ và lấy điểm $C\text{'}$ trên $A\text{'}x\text{'}$ sao cho $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=3cm.$

Bước 3. Nối điểm $B\text{'}$ và $C\text{'}$ ta được tam giác $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được:$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=4cm,AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=3cm,BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\approx \mathrm{3,6}cm.$

- Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (chứng minh trên).

$BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (chứng minh trên).

$AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (c – c – c).

- Độ dài các cạnh BC và $B\text{'}C\text{'}$ của hai tam giác em vừa vẽ bằng các cạnh BC và $B\text{'}C\text{'}$ của hai tam giác các bạn khác vẽ.

- Hai tam giác em vừa vẽ bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ.

Hai tam giác DEF và GHK có góc D không phải góc xen giữa hai cạnh EF, FD và góc G không phải góc xen giữa hai cạnh GH, HK nên ta không thực hiện xét hai tam giác này.

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (theo giả thiết).

AC = MP (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABC=\Delta MNP$ (c – g – c).

Xét tam giác MNP có $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°.$

Do đó $\widehat{M}=180°-\widehat{N}-\widehat{P}=180°-50°-70°=60°.$

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (cùng bằng 60^o).

AC = MP (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta MNP$ (c – g – c).

a) Do AB = CD nên AB + BC = CD + BC.

hay AC = DB.

Vậy AC = DB.

b) Xét hai tam giác OAC và ODB có:

OA = OD (theo giả thiết).

$\widehat{OAC}=\widehat{O\text{D}B}$ (theo giả thiết).

AC = BD (chứng minh trên).

Vậy $\Delta OAC=\Delta O\text{D}B$ (c – g – c).

Tương tự Hoạt động 3, ta vẽ hình như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng B'C'=3 cm

Bước 2. Dùng thước đo độ, vẽ hai tia B'x' và C'y' sao cho $\stackrel{⏜}{x\text{'}B\text{'}C\text{'}}={80}^o, \widehat{y\text{'}C\text{'}B}={40}^o$

Bước 3. Lấy giao điểm A' của hai tia B'x' và C'y' ta được tam giác A'B'C'

- Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được $AB=A\text{'}B\text{'}\approx 2,2 cm;AC=A\text{'}C\text{'}\approx 3,4 cm$ và BC=B'C'=3 cm

- Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:

AB=A'B' (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ (cùng bằng 80^o).

BC = B'C' (chứng minh trên).

Vậy $△ABC=△A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (c – g – c).

Tương tự Hoạt động 3, ta vẽ hình như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=3cm.$

Bước 2. Dùng thước đo độ, vẽ hai tia $B^{\text{'}}{x}^{\text{'}}$ và $C\text{'}y\text{'}$ sao cho $\widehat{x^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=80°,\widehat{y^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=40°.$

Bước 3. Lấy giao điểm $A\text{'}$ của hai tia $B\text{'}x\text{'}$ và $C\text{'}y\text{'}$ ta được tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

- Dùng thước thẳng có vạch chia, ta được $AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\mathrm{2,2}cm;AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\mathrm{3,4}cm$ và $BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=3cm.$

- Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (cùng bằng 80^o).

$BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (c – g – c).

Tam giác GHK có góc H không phải góc kề của cạnh GK và tam giác DEF có góc F không phải góc kề của cạnh DE nên ta không xét hai tam giác này.

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

$\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ (cùng bằng 50^o).

BC = NP (theo giả thiết).

$\widehat{ACB}=\widehat{MPN}$ (cùng bằng 70^o).

Vậy $\Delta ABC=\Delta MNP$ (g – c – g).

Xét hai tam giác ABD và CBD có:

$\widehat{AB\text{D}}=\widehat{CB\text{D}}$ (theo giả thiết).

BD chung.

$\widehat{A\text{D}B}=\widehat{C\text{D}B}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta CB\text{D}$ (g – c – g).

Xét tam giác ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°.$

Do đó $\widehat{BCA}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}$ (1).

Xét tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=180°.$

Do đó $\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=180°-\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (2).

Mà $\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) ta có $\widehat{BCA}=\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

$AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BCA}=\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g – c – g).

Vậy Lan nói đúng.

Xét Hình 4.39a.

Xét hai tam giác ABD và CDB có:

AB = CD (theo giả thiết).

$\widehat{AB\text{D}}=\widehat{C\text{D}B}$ (theo giả thiết).

BD chung.

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta C\text{D}B$ (c – g – c).

Xét Hình 4.39b.

Xét hai tam giác AOD và COB có:

OA = OC (theo giả thiết).

$\widehat{AO\text{D}}=\widehat{COB}$ (2 góc đối đỉnh).

OD = OB (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AO\text{D}=\Delta COB$ (c – g – c).

a) Xét hai tam giác AOD và COB có:

OA = OC (theo giả thiết).

$\widehat{AO\text{D}}=\widehat{COB}$ (2 góc đối đỉnh).

OD = OB (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AO\text{D}=\Delta COB$ (c – g – c).

Xét hai tam giác AOB và COD có:

OA = OC (theo giả thiết).

$\widehat{AOB}=\widehat{CO\text{D}}$ (2 góc đối đỉnh).

OB = OD (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AOB=\Delta CO\text{D}$ (c – g – c).

b) Do $\Delta AO\text{D}=\Delta COB$ nên AD = BC (2 cạnh tương ứng).

Do $\Delta AOB=\Delta CO\text{D}$ nên AB = CD (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác DAB và BCD có:

AD = BC (chứng minh trên).

AB = CD (chứng minh trên).

BD chung.

Vậy $\Delta DAB=\Delta BC\text{D}$ (c – c – c).

Xét hai tam giác ADE và BCE có:

$\widehat{DA\text{E}}=\widehat{CBE}$ (theo giả thiết).

AE = BE (theo giả thiết).

$\widehat{A\text{ED}}=\widehat{BEC}$ (2 góc đối đỉnh).

Vậy $\Delta A\text{D}E=\Delta BCE$ (g – c – g).

a) Do AB // CD nên $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ (2 góc so le trong) và $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{C\text{D}E}$ (2 góc so le trong).

Xét hai tam giác ABE và DCE có:

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

AB = CD (theo giả thiết).

$\widehat{BA\text{E}}=\widehat{C\text{D}E}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABE=\Delta DCE$ (g – c – g).

b) Do $\Delta ABE=\Delta DCE$ nên BE = CE (2 cạnh tương ứng).

Do G, E, H thẳng hàng $\widehat{GEB}=\widehat{HEC}$ (2 góc đối đỉnh).

Do $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ nên $\widehat{GBE}=\widehat{HCE}.$

Xét hai tam giác GEB và HEC có:

$\widehat{GEB}=\widehat{HEC}$ (chứng minh trên).

BE = CE (chứng minh trên).

$\widehat{GBE}=\widehat{HCE}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta GEB=\Delta HEC$ (g – c – g).

Vậy EG = EH (2 cạnh tương ứng).