Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Quan sát Hình 1 ta thấy, rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ nên điểm cuối rô bốt dừng chân là điểm C và điểm đầu là A.

Vậy vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau chuyển động trên là vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC\text{}}$ (theo quy tắc ba điểm).

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Vì ABCD là hình thang với AB và DC là hai đáy nên AB // DC.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng đi từ trái qua phải.

Nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Dựng hình bình hành ABDC, nối A với D.

Áp dụng quy tắc hình hình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.

Khi đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$.

Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = a.

Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi.

Nên BD = AB = a.

Ta có: $\widehat{CAB}=60°$ (tam giác ABC đều)

Suy ra $\widehat{ABD}=180°-\widehat{CAB}=180°-60°=120°$ (AC // BD, hai góc trong cùng phía bù nhau).

Xét tam giác ABD, áp dụng định lí côsin ta có:

AD² = AB² + BD² – 2 . AB . BD . cosB

        = a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra $AD=a\sqrt{3}$.

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=AD=a\sqrt{3}$.

Đặt vectơ vận tốc của máy bay là $\overrightarrow{EF}$, vectơ vận tốc gió là $\overrightarrow{FG}$ như hình sau:

Ta có OACB là hình bình hành, áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$

Hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}$ 

Do đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=OC$.

Ta có: $OA=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}\right|=400N$; $OB=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=600N$; $\widehat{AOB}=60°$.

Do OACB là hình bình hành nên OB // AC

Suy ra $\widehat{AOB}+\widehat{OAC}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Nên $\widehat{OAC}=180°-\widehat{AOB}=180°-60°=120°$.

Lại có: AC = OB = 600 N.

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta thực hiện được như sau:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\overrightarrow{AC}}$;

    $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\boxed{\overrightarrow{AC}}$.

Do đó: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\boxed{\overrightarrow{AD}}$;

     $\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boxed{\overrightarrow{AD}}$.

Do đó: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$.

a) Ta có:

$\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{CB}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}$             (bỏ dấu ngoặc)

= $(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BD}$          (tính chất giao hoán và kết hợp)

= $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$            (quy tắc ba điểm)

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=1$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA})$        (tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}$                      (quy tắc ba điểm)

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$

Xét tam giác ADC vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC² = 1² + 1² = 2 $\Rightarrow AC=\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\sqrt{2}$.

Hợp lực của hai lực đối nhau $\overrightarrow{F}$ và $-\overrightarrow{F}$ là tổng của hai lực $\overrightarrow{F}$ và $-\overrightarrow{F}$.

Hai vectơ đối nhau có tổng bằng vectơ $\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{F}+(-\overrightarrow{F})=\overrightarrow{0}$.

a) Với ba điểm O, B , D ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB$.

BD là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 nên BD = $\sqrt{2}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=DB=\sqrt{2}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

Vậy $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=1$.

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Do đó:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MM}=\boxed{\overrightarrow{0}}$.

b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DD}=\boxed{\overrightarrow{0}}$.

a) Gọi M là trọng tâm tam giác ADB.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Vậy điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ là trọng tâm của tam giác ADB.

b) Tương tự câu a, điểm N thỏa mãn $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ là trọng tâm của tam giác DBC.

c) ABCD là hình bình hành có tâm O nên O là giao của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của mỗi đường.

Khi đó AO là đường trung tuyến của tam giác ABD nên trọng tâm M của tam giác này nằm trên cạnh AO thỏa mãn AM = $\frac{2}{3}$AO nên OM = $\frac{1}{3}$AO.

Và CO là đường trung tuyến của tam giác BDC nên trọng tâm N của tam giác này nằm trên cạnh CO thỏa mãn CN = $\frac{2}{3}$CO nên ON = $\frac{1}{3}$CO.

Mà AO = CO.

Do đó: ON = OM.

Và O, M, N thẳng hàng (cùng thuộc đường chéo AC).

Nên O là trung điểm của MN.

Suy ra $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$.

Mà $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ nên điểm P trùng với điểm O.

Vậy điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ là tâm O của hình bình hành ABCD.

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Do đó: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})$

$=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}$   (1)

Và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$

$=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$.

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$$=\overrightarrow{BC}$

Do đó: $|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$.

b)

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$

ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Vì ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên.

Do đó: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$ $\iff \overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$   (1).

Ta cần tính $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Cường độ của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều là 10 N.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=10N.$

Dựng hình bình hành MADB có $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$ và $\widehat{AMB}=90°$.

Vì $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=10N$ nên MA = MB = 10.

Do đó MADB là hình vuông có cạnh bằng 10.

Suy ra đường chéo MD = $10\sqrt{2}$.

Do MADB là hình bình hành nên $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$     (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})=-\overrightarrow{MD}$.

Vậy lực $\overrightarrow{F_3}$ có hướng ngược với hướng của $\overrightarrow{MD}$ và có độ lớn: $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{MD}\right|=10\sqrt{2}N.$

Đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:

Vì K là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Vì G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì H là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên K cũng là trung điểm của BD hay K chính là tâm của hình vuông ABCD.

Trong tam giác ABC, có BK là đường trung tuyến nên G ∈ BK và $GK=\frac{1}{3}BK$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Trong tam giác ADC, có DK là đường trung tuyến nên H ∈ DK và $HK=\frac{1}{3}DK$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Suy ra H, K, G thẳng hàng và cùng thuộc DB.

Hình vuông ABCD cạnh a nên AC = BD = $a\sqrt{2}$.

Khi đó: AK = KC = DK = KB = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta đặt tên các điểm như hình vẽ sau: