Bài tập Tính bán kính đường tròn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tính bán kính R của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh 3 cm.
R = \(3\sqrt 2 \) cm.
R = \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) cm.
R = 3 cm.
R = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD. Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = \(\frac{{AC}}{2}\).
Xét tam giác ABC vuông cân tại B, ta có:
AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3\sqrt 2 \)
Suy ra OA = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy bán kính của đường tròn là R = OA = \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) cm.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
R = 25.
R = \(\frac{{25}}{2}\).
R = 15.
R = 20.
Đáp án đúng là: B
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).
Theo định lí Pythagore ta có: BC = \(\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 25\) nên bán kính R = \(\frac{{25}}{2}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm; AC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
R = 26.
R = 13.
R = \(\frac{{13}}{2}\).
R = 6.
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).
Theo định lí Pythagore ta có: BC = \(\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 13\) nên bán kính R = \(\frac{{13}}{2}\).
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh A, B, C, D.
R = 7,5 cm.
R = 13 cm.
R = 6 cm.
R = 6,5 cm.
Đáp án đúng là: D
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm của mỗi đường).
Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{AC}}{2}\).
Theo định lí Pythagore trong tam giác ABC ta có:
AC = \(\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = 13\) cm.
Do đó, R = \(\frac{{AC}}{2}\) = 6,5 cm.
Vậy bán kính cần tìm là R = 6,5 cm.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh A, B, C, D.
R = 5 cm.
R = 10 cm.
R = 6 cm.
R = 2,5 cm.
Đáp án đúng là: A
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì DB = AC và I là trung điểm mỗi đường)
Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{AC}}{2}\).
Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC = \(\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) nên R = \(\frac{{AC}}{2}\) = 5 cm.
Vậy bán kính cần tìm là R = 5 cm.
Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 cm và khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d là 1 cm. Tính bán kính đường tròn (O).
\(\sqrt 3 \)cm.
\(\sqrt 5 \) cm.
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) cm.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.
Có OH vuông góc với AB tại H nên H là trung điểm của AB.
Xét tam giác HAO vuông tại H có OH = 1 cm và AH = \(\frac{{AB}}{2} = 2\) cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác HOA, ta có:
OA2 = OH2 + HA2 = 12 + 22 = 5
Suy ra OA = \(\sqrt 5 \) cm.
Vậy bán kính đường tròn là \(\sqrt 5 \) cm.
Cho tam giác ABC cạnh bằng 4 cm, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C là:
2 cm.
4 cm.
6 cm.
8 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác vuông BNC, có: ND = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\) (1).
Xét tam giác vuông BMC, có: MD = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\) (2).
Từ (1), (2) suy ra MD = ND = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\).
Nên bốn điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm D bán kính
\(\frac{1}{2}BC\) = 2 cm.
Cho hình cuông ABCD cạnh 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là
R = 5 cm.
R = 10 cm.
R = \(2\sqrt 5 \) cm.
R = \(\sqrt 5 \) cm.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \) do đó, CM ⊥ DN.
Gọi I là trung điểm của DM.
Xét tam giác vuông ADM có AI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\). Xét tam giá vuông DEM có EI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\) nên EI = ID = IM = IA = \(\frac{{DM}}{2}\).
Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{DM}}{2}\).
Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4 cm, AM = \(\frac{{AB}}{2}\) = 2 cm nên theo định lý Pythagore ta có:
DM = \(\sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).
Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là
R = \(\frac{{DM}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) cm.
Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D. Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, C, D.
d = 8 cm.
d = 12 cm.
d = 10 cm..
d = 5 cm.
Đáp án đúng là: C
Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\).
Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \).
Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:
IA = ID = IB = IC = \(\frac{{DA}}{2}\).
Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD.
Vì BC = 8 cm suy ra BH = 4 cm.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB, ta có:
AB = \(\sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).
Ta có ∆ABD đồng dạng với ∆HAB suy ra AB2 = AH.AD
hay AD = \(\frac{{A{B^2}}}{{AH}} = \frac{{20}}{2}\) = 10 cm.
Vậy đường kính cần tìm là 10 cm.
Cho tam giác đều ABC. Biết rằng đường tròn (O; 4cm) đi qua ba đỉnh của tam giác. Tính diện tích tam giác ABC.
24 cm2.
\(24\sqrt 3 \) cm2.
12 cm2.
\(12\sqrt 3 \) cm2.
Đáp án đúng là: D
Tam giác ABC đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Suy ra 3R = \(a\sqrt 3 \) hay a = \(R\sqrt 3 \) = \(4\sqrt 3 \) cm.
Mặt khác O là trọng tâm tam giác ABC và AH vừa là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Suy ra R = OA = \(\frac{2}{3}\)AH. Hay AH = \(\frac{3}{2}R = \frac{{3.4}}{2} = 6\) (cm).
Diện tích tam giác ABC là S = \(\frac{1}{2}.6.4\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \) cm2.
10 cm.
5 cm.
6 cm.
4 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì IA = IB = IC = 6 cm 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn (I; 6 cm).
10 cm.
5 cm.
6 cm.
4 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên MA = MB = 5 cm.
Do đó, bán kính của đường tròn (M; MA) bằng 5 cm.
Cho hình vẽ:
Bán kính của đường tròn (A; AC) bằng
10 cm.
5 cm.
6 cm.
4 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì C, D thuộc đường tròn (A; AC) nên AC = AD. Do đó, ΔACD cân tại A. Suy ra, AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Suy ra, AE ⊥ CD nên ΔDAE vuông tại E.
Áp dụng định lý Pythagore vào ΔDAE vuông tại E ta có:
AD2 = AE2 + ED2 = 32 + 42 = 25 nên AD = 5 cm.
Vậy bán kính của đường tròn (A; AC) bằng 5 cm.
Cho tam giác ABC đều có G là trọng tâm của tam giác đó và M là trung điểm của BC. Biết rằng AM = 9 cm, bán kính của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng
2 cm.
4 cm.
6 cm.
3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì G là trọng tâm của ΔABC nên G là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác đó. Suy ra: GA = GB = GC. Do đó, ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (G; GA).
Vì G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến của ΔABC nên AG = \(\frac{2}{3}\)AM = 6 (cm).
Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng 6 cm.
2 cm.
4 cm.
6 cm.
3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Mà tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên EA = EB = EC = ED = \(\frac{1}{2}\)AC = 2 cm.
Do đó, 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (E; 2 cm).
Cho DABC có AB : AC : BC = 5 : 4 : 3 và chu vi tam giác đó bằng 36 cm. Gọi O là trung điểm của AB, khi đó:
AB = 15 cm, BC = 12 cm, AC = 9 cm.
Tam giác ABC vuông tại A.
OA = OB > OC.
Bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C lớn hơn 6 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Vì AB : AC : BC = 5 : 4 : 3 nên \(\frac{{{\rm{AB}}}}{5} = \frac{{{\rm{AC}}}}{4} = \frac{{{\rm{BC}}}}{3}\).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{5} = \frac{{{\rm{AC}}}}{4} = \frac{{{\rm{BC}}}}{3} = \frac{{{\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}}}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{36}}{{12}} = 3\).
Do đó, AB = 15 cm, AC = 12 cm, BC = 9 cm.
b) Sai.
Vì AB2 = AC2 + BC2 (52 = 42 + 32) nên DABC vuông tại C (định lý Pythagore đảo).
c) Sai.
Vì DABC vuông tại C có CO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.
d) Đúng.
Vì OA = OB = OC nên A, B, C cùng thuộc đường tròn (O; OC).
Bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: \(\frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{15}}{2} = 7,5\) cm.
Vậy bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C lớn hơn 6 cm.
Tứ giác ABEC là hình chữ nhật.
4 điểm A, B, E, C cùng thuộc một đường tròn.
BC = 8 cm.
Đường tròn đi qua 4 điểm A, B, E, C có bán kính bằng 6 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì AC ^ EC nên \(\widehat {{\rm{ACE}}} = 90^\circ \). Vì AB ^ EB nên \(\widehat {{\rm{ABE}}} = 90^\circ \).
Tứ giác ABEC có: \(\widehat {{\rm{ACE}}} = \widehat {{\rm{ABE}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \) nên tứ giác ABEC là hình chữ nhật.
b) Đúng.
Gọi D là giao điểm của BC và AE.
Mà tứ giác ABEC là hình chữ nhật nên DA = DB = DC = DE.
Do đó, 4 điểm A, B, E, C cùng thuộc (D; BD).
c) Đúng.
DABC vuông tại A có: AC = BC. sin\(\widehat {{\rm{ABC}}}\) nên BC = \(\frac{{{\rm{AC}}}}{{\sin 30^\circ }}\)= 8 (cm).
d) Sai.
Ta có: BD = BC : 2 = 4 (cm).
Vậy đường tròn đi qua 4 điểm A, B, E, C có bán kính bằng 4 cm.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh độ dài cạnh bằng 6 cm. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khi đó:
\(\widehat {{\rm{HEF}}} = 90^\circ \).
Điểm E thuộc đường tròn bán kính HF.
Bốn điểm E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn.
Bán kính đường tròn đi qua 4 điểm E, F, G, H bằng 3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC và \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).
Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)BC = FB.
Do đó, DEBF cân tại B. Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \) nên DEBF vuông cân tại B.
Suy ra \(\widehat {{\rm{BEF}}} = 45^\circ .\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{AEH}}} = 45^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{HEF}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{BEF}}} - \widehat {{\rm{AEH}}} = 90^\circ \).
b) Sai.
Vì \(\widehat {{\rm{HEF}}} = 90^\circ \) nên DHEF vuông tại E.
Gọi O là trung điểm của HF.
Suy ra, EO là đường trung tuyến của DHEF vuông tại E.
Suy ra OE = OH = OF.
Do đó, điểm E thuộc đường tròn (O; OF).
c) Đúng.
Chứng minh tương tự phần a, ta có: \(\widehat {{\rm{HGF}}} = 90^\circ \) nên DHGF vuông tại G.
Mà GO là đường trung tuyến của DHGF vuông tại G.
Suy ra OG = OH = OF.
Do đó, điểm G thuộc đường tròn (O; OF).
Theo b) ta có điểm E thuộc đường tròn (O; OF).
Vậy 4 điểm E, F, G, H cùng thuộc đường tròn (O; OF).
d) Đúng.
Tứ giác ABFH có: HA // BF, HA = BF nên tứ giác ABFH là hình bình hành.
Suy ra HF = AB = 6 cm.
Suy ra OF = \(\frac{1}{2}\)AB = 3 cm.
Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm E, F, G, H bằng 3 cm.
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB = 32 cm, BC = 24 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD. Khi đó:
AC = 40 cm.
4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O, bán kính 20 cm.
4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đường tròn (M; MO).
Bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q bằng 10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).
Suy ra, DABC vuông tại B.
Do đó, AC2 = AB2 + BC2 = 322 + 242 = 1 600 (định lý Pythagore) nên AC = 40 cm.
b) Đúng.
Vì O là tâm hình chữ nhật ABCD nên OA = OB = OC = OD = \(\frac{1}{2}\)AC = 20 cm.
Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 20 cm).
c) Sai.
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD nên OM = \(\frac{1}{2}\)OA, ON = \(\frac{1}{2}\)OB, OP = \(\frac{1}{2}\)OC, OQ = \(\frac{1}{2}\)OD.
Mà OA = OB = OC = OD nên OM = ON = OP = OQ.
Suy ra, 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đường tròn (O; MO).
d) Đúng.
Ta có: OM = \(\frac{1}{2}\)OA = 10 (cm).
Vậy bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q bằng 10 cm.
BD = 20 cm, AC = 48 cm.
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
MP = 16 cm.
Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm M, N, P, Q bằng 20 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Mà tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ^ BD tại O và OB = \(\frac{1}{2}\)BD, OC = \(\frac{1}{2}\)AC.
Lại có AC : BD = 5 : 12 nên OB : OC = 5 : 12, suy ra OB \( = \frac{5}{{12}}\)OC.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BOC vuông tại O có:
OB2 + OC2 = BC2, suy ra \(\frac{{25}}{{144}}\)OC2 + OC2 = 262 nên OC = 24 cm, do đó, OB = 10 cm.
Suy ra: BD = 20 cm, AC = 48 cm.
b) Đúng.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = \(\frac{1}{2}\)AC = 24 cm, MN // AC.
Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.
Do đó, PQ = \(\frac{1}{2}\)AC, PQ // AC.
Do đó, MN = PQ, MN // PQ.
Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.
Do đó, NP // BD, NP = \(\frac{1}{2}\)BD = 10 cm.
Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.
Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \)
Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lại có: \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \) nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
c) Sai.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MNP vuông tại N ta có:
MP2 = MN2 + NP2 = 676 nên MP = 26 (cm).
d) Sai.
Tứ giác BMDP có: MB // DP, MB = DP (\( = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\)) nên tứ giác BMDP là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo MP và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của MP.
Mà tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên O là trung điểm của QN.
Do đó, OM = ON = OP = OQ. Vậy bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q là OM = \(\frac{1}{2}\)PM = 13 cm.
Cho hình vẽ:
Đường tròn đi qua 5 điểm A, B, D, E, F có bán kính bằng bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Gọi T là trung điểm của AB.
Vì DADB vuông tại D có DT là đường trung tuyến nên DT = TA = TB \( = \frac{{{\rm{AB}}}}{2}\)= 2 m.
Vì DAEB vuông tại E có ET là đường trung tuyến nên ET = TA = TB.
Vì DAFB vuông tại F có FT là đường trung tuyến nên FT = TA = TB.
Do đó, DT = TA = TB = ET = FT.
Suy ra, 5 điểm A, B, D, E, F có bán kính bằng 2 m.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2\(\sqrt 2 \) m. Hỏi bán kính đường tròn đi qua A, B, C, D bằng bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).
Do đó, tam giác ABC vuông tại B.
Suy ra: AC2 = AB2 + BC2 = \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 16\) (định lý Pythagore) nên AC = 4 m.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Mà tứ giác ABCD là hình vuông nên OA = OB = OC = OD = \(\frac{1}{2}\)AC = 2 m.
Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 2 m).
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm và M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Hỏi bán kính đường tròn đi qua bốn điểm E, M, A, D bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,5
Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên AM = \(\frac{1}{2}\)BC = 5 cm.
Vì D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC nên MD ^ AB tại D, ME ^ AC tại E. Suy ra \(\widehat {{\rm{MEA}}} = \widehat {{\rm{MDA}}} = 90^\circ \).
Tứ giác AEMD có \(\widehat {{\rm{EAD}}} = \widehat {{\rm{MEA}}} = \widehat {{\rm{MDA}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
Gọi N là giao điểm của AM và ED.
Vì tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên NE = NA = NM = ND = \(\frac{1}{2}\)AM = 2,5 cm.
Vậy 4 điểm E, M, A, D thuộc đường tròn (N; 2,5 cm).
Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 6\(\sqrt 3 \) cm. Gọi D, E, M lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Hỏi bán kính đường tròn đi qua ba điểm D, E, M bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì DABC đều nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đó.
Suy ra, AM ^ BC tại M nên DABM vuông tại M.
Suy ra AM2 + MB2 = AB2 (định lý Pythagore)
Do đó, AM2 = \({\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} = 81\) nên AM = 9 cm.
Chứng minh tương tự ta có: BE = 9 cm, CD = 9 cm.
Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến CD và BE trong DABC.
Suy ra G là trọng tâm của DABC.
Do đó, GE = \(\frac{1}{3}\)BE = 3 cm, GD = \(\frac{1}{3}\)DC = 3 cm, GM = \(\frac{1}{3}\)AM = 3 cm.
Suy ra: GE = GM = GD.
Vậy bán kính đường tròn đi qua ba điểm D, E, M bằng 3 cm.
Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có AB = 18 m, AC = 24 m, BC = 30 m. Tính bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. (Đơn vị: m)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 15
Vì tứ giác ABCD là hình thang cân (AD // BC) nên ta có:
AB = CD = 18 m, AC = BD = 24 m.
Gọi O là trung điểm của BC, suy ra OB = OC = 15 cm.
Vì AB2 + AC2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).
Mà AO là đường trung tuyến của tam giác ABC nên OA = OB = OC = 15 m (1).
Vì DB2 + DC2 = BC2 nên tam giác DBC vuông tại D (định lý Pythagore đảo).
Mà DO là đường trung tuyến của tam giác DBC nên OD = OB = OC = 15 m (2).
Từ (1) và (2) ta có: OA = OB = OC = OD = 15 m.
Vậy 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 15 m).
