Bài tập Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên cùng một đường tròn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM = R. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Điểm M nằm ngoài đường tròn.
Điểm M nằm trên đường tròn.
Điểm M nằm trong đường tròn.
Điểm M không thuộc đường tròn.
Do OM = R nên điểm M nằm trên đường tròn.
Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM > R. Chọn khẳng định đúng.
Điểm M nằm ngoài đường tròn.
Điểm M nằm trên đường tròn.
Điểm M nằm trong đường tròn.
Điểm M không thuộc đường tròn.
Vì OM > R nên M nằm bên ngoài đường tròn.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD.
Tâm là giao điểm A và bán kính R = \(a\sqrt 2 \).
Tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính R = \(a\sqrt 2 \).
Tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính R = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tâm là điểm B và bán kính R = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.
Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông ABCD, với bán kính R = OA = \(\frac{{AC}}{2}\).
Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có:
AC2 = AB2 + BC2
Suy ra AC = \(a\sqrt 2 \) hay R = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:
Trung điểm cạnh huyền.
Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn.
Giao ba đường cao.
Giao ba đường trung tuyến.
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Tâm là trong tâm của tam giác ABC và bán kính R = \(\frac{2}{3}AI\) với I là trung điểm của BC.
Tâm là trung điểm AB và bán kính là R = \(\frac{{AB}}{2}\).
Tâm là giao điểm của BD và EC, bán kính là R = \(\frac{{BD}}{2}\).
Tâm là trung điểm của BC và bán kính là R = \(\frac{{BC}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của BC.
Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tma giác BCD vuông tại D có DI = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).
Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Chọn khẳng định đúng
Bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.
Năm điểm A, B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.
Cả A, B đều sai.
Cả A, B đều đúng.
Đáp án đúng là: A
Gọi I là trung điểm của BC.
Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = \(\frac{{BC}}{2}\) nên bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn có bán kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).
Ta thấy IA > ID nên điểm A không thuộc đường tròn trên.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối của A(−1; −1) và đường tròn tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = 2.
Điểm A nằm ngoài đường tròn.
Điểm A nằm trên đường tròn.
Điểm A nằm trong đường tròn.
Không kết luận được.
Đáp án đúng là: C
Ta có: OA = \(\sqrt {{{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 = 2\) = R nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối của điểm A(−3; −4) và đường tròn là gốc tọa độ O, bán kính R = 3.
Điểm A nằm ngoài đường tròn.
Điểm A nằm trên đường tròn.
Điểm A nằm trong đường tròn.
Không kết luận được.
Đáp án đúng là: A
Ta có: OA = \(\sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {25} = 5 > 3 = R\) nên A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 3.
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là:
Trung điểm của DM.
Trung điểm của DB.
Trung điểm của DE.
Trung điểm của DA.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆DCN và ∆CMB, có:
CN = MB = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC\) (gt)
CD = BC (gt)
\(\widehat {DCN} = \widehat {CBM} = 90^\circ \) (gt)
Suy ra ∆DCN = ∆CMB (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng)
Nên \(\widehat {CDN} + \widehat {CNE} = \widehat {ECN} + \widehat {CNE} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \)
Hay CM ⊥ DN.
Gọi I là tủng điểm của DM.
Xét tam giác vuông ADM, ta có: AI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\).
Xét tam giác vuông DEM, ta có:
EI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\) nên EI = ID = IM = IA = \(\frac{{DM}}{2}\).
Do đó, bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{DM}}{2}\).
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D. Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn.
D, H, B, C.
A, B, H, C.
A, B, D, H.
A, B, D, C.
Đáp án đúng là: D
Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\).
Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \).
Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:
IA = ID = IB = IC = \(\frac{{DA}}{2}\).
Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD. Đáp án cần chọn là D.
Cho đường tròn (O; R) và các điểm A, B, C, D thỏa mãn OA = OB = R; OC = OD = 2R. Khi đó, các điểm thuộc đường tròn (O; R) là
A, B.
C, D.
A, B, C.
A, B, C, D.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì OA = OB = R nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (O; R).
Cho đường tròn (O; R). Điểm A thuộc đường tròn (O; R) khi OA = …R.
Số thích hợp điền vào “…” là
1.
2.
3.
\[\frac{1}{2}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Điểm A thuộc đường tròn (O; R) khi OA = R. Vậy số thích hợp điền vào “…” là 1.
Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó:
Hai điểm A, B thuộc đường tròn (M; AB).
Hai điểm A, B thuộc đường tròn (M; MB).
Hai điểm M, B thuộc đường tròn (M; MB).
Hai điểm A, M thuộc đường tròn (M; AB).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB. Vậy 2 điểm A, B thuộc đường tròn (M; MB).
Cho đoạn thẳng AB. Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB; H là giao điểm của AB và d. Gọi K (khác H) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho KH < HB. Khi đó:
Các điểm A, B, H thuộc đường tròn (H; HB).
Các điểm A, B, H thuộc đường tròn (K; KB).
Các điểm A, B thuộc đường tròn (K; KB).
Các điểm A, B, K thuộc đường tròn (H; AB).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì các điểm H, K thuộc đường trung trực của AB nên HA = HB và KA = KB.
Vì HA = HB > HK nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (H; HB) và điểm K không thuộc đường tròn (H; HB).
Vì KA = KB nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (K; KB).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, CB. Khi đó, ba điểm A, B, C nằm trên
Đường tròn tâm E, bán kính EC.
Đường tròn tâm F, đường kính BF.
Đường tròn tâm D, bán kính BD.
Đường tròn tâm F, bán kính BF.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác ABC vuông tại A có AF là đường trung tuyến nên AF = FB = FC. Do đó, ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm F, bán kính BF.
Cho tam giác ABC có AM (M thuộc BC) là đường cao đồng thời là đường phân giác. Khi đó:
AB > AC.
Hai điểm C, B thuộc đường tròn (A; AM).
MB = MC.
Hai điểm C, B cùng nằm trên đường tròn (M; MB).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì tam giác ABC có AM là đường cao đồng thời là đường phân giác nên tam giác ABC cân tại A.
Do đó, AB = AC.
b) Sai.
Vì AB = AC > AM nên hai điểm B, C thuộc đường tròn (A; AC) và không thuộc đường tròn (A; AM).
c) Đúng.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Suy ra CM = MB.
d) Đúng.
Vì CM = MB nên hai điểm C, B cùng nằm trên đường tròn (M; MB).
Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm N đối xứng với điểm A qua M.
Tam giác ABC vuông tại A.
BC = 2AM.
MA = MB = MC = MN.
Bốn điểm A, B, C, N nằm trên đường tròn (M; BC).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì AB2 + AC2 = BC2 (32 + 42 = 52) nên DABC vuông tại A (Định lý Pythagore đảo).
b) Đúng.
Vì DABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên BC = 2AM.
c) Đúng.
Vì điểm N đối xứng với điểm A qua M nên AM = MN.
Mà AM = BM = \(\frac{1}{2}\)BC nên MA = MB = MC = MN.
d) Sai.
Vì MA = MB = MC = MN nên 4 điểm A, B, C, N nằm trên đường tròn (M; MC).
Cho tam giác ABC nhọn có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của BC và F là trung điểm của AG. Trong các điểm A, B, C, D, E, F, G, I có:
Điểm D nằm trên đường tròn (I; IC).
Điểm D nằm trên đường tròn (F; AF).
Năm điểm nằm trên đường tròn (I; IC).
Bốn điểm nằm trên đường tròn (F; AF).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì BD là đường cao của DABC nên BD ^ AC tại D.
Do đó, DBDC vuông tại D.
Mà DI là đường trung tuyến của tam giác đó nên ID = IC = IB.
Vậy D nằm trên đường tròn (I; IC).
b) Đúng.
Vì BD ^ AC tại D nên DGDA vuông tại D.
Mà DF là đường trung tuyến của tam giác đó nên AF = DF = FG.
Do đó, điểm D nằm trên đường tròn (F; AF).
c) Sai.
Vì CE là đường cao của DABC nên CE ^ AB tại E.
Do đó, DBEC vuông tại E.
Mà EI là đường trung tuyến của tam giác đó nên IE = IC = IB.
Do đó, điểm E nằm trên đường tròn (F; AF).
Theo a) ta có: D nằm trên đường tròn (I; IC).
Vậy có 4 điểm nằm trên đường tròn (I; IC).
d) Đúng.
Vì CE ^ AB tại E nên DGEA vuông tại E.
Mà EF là đường trung tuyến của tam giác đó nên EF = AF = FG.
Do đó, điểm E nằm trên đường tròn (F; AF).
Theo b) ta có: E nằm trên đường tròn (F; AF).
Vậy có 4 điểm thuộc đường tròn (F; AF).Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD. Khi đó:
OA = OB = OC > OD.
4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính OA.
OM = ON = OP = OQ.
4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đường tròn (O; MO).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì O là tâm của hình chữ nhật ABCD nên OA = OB = OC = OD.
b) Sai.
Vì OA = OB = OC = OD nên 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; OA).
c) Đúng.
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD nên OM = \(\frac{1}{2}\)OA, ON = \(\frac{1}{2}\)OB, OP = \(\frac{1}{2}\)OC, OQ = \(\frac{1}{2}\)OD.
Mà OA = OB = OC = OD nên OM = ON = OP = OQ.
d) Đúng.
Vì OM = ON = OP = OQ nên 4 điểm M, N, P, Q nằm trên đường tròn (O; MO).
Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Khi đó:
MN = PQ, MN // PQ.
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
OM = OP = ON = OQ.
Các điểm M, P, N, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính OQ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = \(\frac{1}{2}\)AC, MN // AC.
Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.
Do đó, PQ = \(\frac{1}{2}\)AC, PQ // AC.
Do đó, MN = PQ, MN // PQ.
b) Đúng.
Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.
Do đó, NP // BD.
Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.
Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \)
Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lại có: \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \) nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
c) Đúng.
Vì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, mà O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ nên OM = OP = ON = OQ.
d) Sai.
Vì OM = OP = ON = OQ nên bốn điểm M, P, N, Q cùng nằm trên đường tròn bán kính OQ.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng HC. Gọi E, F lần lượt là là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. Trong các điểm A, B, C, D, H, E, F có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường tròn đường kính AD?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC tại H.
Do đó, tam giác ADH vuông tại H.
Suy ra điểm H thuộc đường tròn đường kính AD.
Vì E, F lần lượt là là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC nên DF ^ AC, DE ^ AB.
Do đó, tam giác DFA vuông tại F, tam giác DAE vuông tại E.
Suy ra, các điểm F, E thuộc đường tròn đường kính AD.
Vậy 5 điểm F, D, H, E, A thuộc đường tròn đường kính AD.
Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD, OA, OB. Trong các điểm E, F, G, H, M, N, có bao nhiêu điểm nằm trên đường tròn (O; OE)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ^ BD tại O.
Do đó, các tam giác AOB, BOC, COD, AOD vuông tại O.
Vì DAOB vuông tại O, OE là đường trung tuyến nên OE = \(\frac{1}{2}\)AB.
Chứng minh tương tự ta có: OF = \(\frac{1}{2}\)BC, OG = \(\frac{1}{2}\)DC, OH = \(\frac{1}{2}\)AD.
Mà AB = BC = CD = AD (vì tứ giác ABCD là hình vuông) nên OE = OF = OG = OH.
Do đó, 4 điểm E, F, G, H nằm trên đường tròn (O; OE).
Vậy trong các điểm E, F, G, H, M, N, có 4 điểm nằm trên đường tròn (O; OE).
Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Gọi G là giao điểm của AE, DC. Gọi I, J, H lần lượt là trung điểm của BG, AG, CG. Trong các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường tròn (G; FG)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Vì G là giao điểm của 2 đường trung tuyến AE, CD của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác đó. Suy ra: GF = \(\frac{1}{3}\)BF, GD = \(\frac{1}{3}\)CD, GE = \(\frac{1}{3}\)AE.
Vì tam giác ABC đều nên AB = BC = AC. Do đó, GF = GD = GE.
Vì I là trung điểm của BG nên IG = \(\frac{1}{2}\)BG\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\)BF = \(\frac{1}{3}\)BF. Do đó, GF = IG.
Chứng minh tương tự ta có: GH = GD, GJ = GE.
Do đó, GF = GD = GE = IG = GH = GJ.
Suy ra, 6 điểm F, D, E, I, H, J thuộc đường tròn (G; FG).
Cho DABC có \(\widehat {\rm{A}}:\widehat {\rm{B}}:\widehat {\rm{C}} = 9:5:4\) và điểm O là trung điểm của BC. Trong ba điểm A, B, C có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính OC?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì \(\widehat {\rm{A}}:\widehat {\rm{B}}:\widehat {\rm{C}} = 9:5:4\) nên \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{9} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{4}\).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{9} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}}}}{{9 + 5 + 4}} = \frac{{180^\circ }}{{18}} = 10^\circ \).
Suy ra: \(\widehat {\rm{A}} = 90^\circ \). Do đó, tam giác ABC vuông tại A.
Mà AO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OA = OB = OC.
Vậy ba điểm A, B, C cùng điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính OC.
Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có AB = 60 m, AC = 80 m, BC = 100 m. Gọi O là trung điểm của BC. Trong các điểm A, B, C, D, có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường tròn (O; OA)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Vì ABCD là hình thang cân (AD // BC) nên AB = CD = 60 m, AC = BD = 80 m.
Vì AB2 + AC2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).
Mà OA là đường trung tuyến của tam giác ABC nên OA = OB = OC (1).
Vì DB2 + DC2 = BC2 nên tam giác DBC vuông tại D (định lý Pythagore đảo).
Mà OD là đường trung tuyến của tam giác DBC nên OD = OB = OC (2).
Từ (1) và (2) ta có: OA = OB = OC = OD.
Vậy 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; OA).
