Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án
18 câu hỏi
Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi v1→, v2→ lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.
Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc v1→, v2→ là như thế nào?
Qua bài học này, chúng ta sẽ biết được hai vectơ vận tốc v1→, v2→ cùng phương với nhau và liên hệ với nhau theo công thức: v1→=k v2→ với v1→, v2→ là các vectơ khác 0→ và k ≠ 0.
Gọi B là trung điểm của AC.
Chứng tỏ rằng AC→=AB→+AB→.
Do B là trung điểm của AC nên AB→=BC→.
Khi đó ta có: AC→=AB→+BC→=AB→+AB→.
Quan sát vectơ AB→ và AC→, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ 2AB→ với AB→.
Vectơ 2AB→ cùng hướng với AB→ và 2AB→=2AB→.
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: AG→=aAM→; GN→=bGB→.
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó: AG = 23AM; GN =12 GB.
+ Ta có: AG→ và AM→ là hai vectơ cùng hướng và AG→=23AM→.
Suy ra AG→=23AM→. Vậy a = 23.
+ Lại có: GN→ và GB→ là hai vectơ ngược hướng và GN→=12GB→.
Suy ra GN→=−12GB→. Vậy b=−12.
Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh 3AB→+2BC→−2AB→+3BC→=AB→.
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:
Ta có: 3AB→+2BC→−2AB→+3BC→
=3AB→+6BC→−2AB→−6BC→
=3AB→−2AB→+6BC→−6BC→
=AB→.
Vậy 3AB→+2BC→−2AB→+3BC→=AB→.
Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA→+MB→=2MI→ .
Do I là trung điểm của AB nên IA→+IB→=0→.
Khi đó: MA→+MB→=MI→+IA→+MI→+IB→=2MI→+IA→+IB→=2MI→+0→=2MI→
Vậy MA→+MB→=2MI→.
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA→+MB→+MC→=3MG→.
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.
Ta có: MA→+MB→+MC→
=MG→+GA→+MG→+GB→+MG→+GC¯
=3MG→+GA→+GB→+GC→
=3MG→+0→=3MG→.
Vậy MA→+MB→+MC→=3MG→
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh AB→+AC→=3AG→.
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.
Ta có: AB→+AC→=AG→+GB→+AG→+GC→
=2AG→+GB→+GC→
=2AG→+GB→+GC→+AG→−AG→
=3AG→+GB→+GC→+−AG→
=3AG→+GB→+GC→+GA→
=3AG→+0→=3AG→
Vậy AB→+AC→=3AG→
Cho hai vectơ a→ và b→ khác 0→ sao cho a→=kb→ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ a→và b→.
Ta có: a→=kb→ với k là số thực khác 0, hai vectơ a→ và b→ khác 0→.
Khi đó hai vectơ a→ và b→ cùng phương.
Cho ba điểm phân biệt A, B, C.
a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB→, AC→ có cùng phương hay không?
b) Ngược lại, nếu hai vectơ AB→, AC→ cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
a) Giá của vectơ AB→ là đường thẳng AB, giá của vectơ AC→ là đường thẳng AC, mà A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và AC trùng nhau. Do đó hai vectơ AB→, AC→ cùng phương.
b) Hai vectơ AB→, AC→ cùng phương khi giá AB và AC của chúng song song hoặc trùng nhau. Trường hợp song song không thể xảy ra do hai đường thẳng AB và AC có chung giao điểm A. Vậy AB trùng vơi AC hay A, B, C thẳng hàng.
Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) AC→=kAD→,
b) BD→=kDC→.
a) Vì hai vectơ AC→, AD→ cùng hướng và AC = 34AD nên AC→=34AD→.
b) Vì hai vectơ BD→ và DC→ ngược hướng và BD = 3DC nên BD→=−3DC→.
Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: C.
MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ MN→ và PQ→ ngược hướng.
Mà MN = 2 PQ nên MN→=−2PQ→.
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
a) Xác định điểm C thỏa mãn AC→=12AB→.
b) Xác định điểm D thỏa mãn AD→=−12AB→.
Ta có AC→=12AB→, do đó AB→ và AC→cùng hướng và AC = 12AB.
Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.
b) Ta có AD→=−12AB→, do đó AD→ và AB→ ngược hướng và AD = 12AB = 3 cm.
Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a) AP→+12BC→=AN→;
b) BC→+2MP→=BA→.
a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: PN // =12 BC.
Khi đó hai vectơ PN→ và BC→ cùng hướng và PN =12 BC.
Suy ra: PN→=12BC→.
Do đó: AP→+12BC→=AP→+PN→=AN→ .
Vậy AP→+12BC→=AN→.
b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: MP // = 12 AC.
Lại có hai vectơ MP→ và CA→ cùng hướng và MP =12CA nên MP→=12CA→.
Hay CA→=2MP→.
Khi đó ta có: BC→+2MP→=BC→+CA→=BA→.
Vậy BC→+2MP→=BA→.
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử AB→=a→, AC→=b→. Biểu diễn các vectơ BC→,BD→, BE→, AD→, AE→ theo a→, b→.
+ Ta có: BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→=−a→+b→.
+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = 13BC.
Mà BD→ và BC→ cùng hướng nên BD→=13BC→.
Suy ra: BD→=13−a→+b→=−13a→+13b→.
Vậy BD→=−13a→+13b→ .
+ Hai vectơ BE→, BC→ cùng hướng và BE = 23BC nên BE→=23BC→.
Suy ra: BE→=23−a→+b→=−23a→+23b→ .
Vậy BE→=−23a→+23b→
+ Ta có: AD→=AB→+BD→=a→+−13a→+13b→=1−13a→+13b→=23a→+13b→.
Vậy AD→=23a→+13b→.
+ Ta có: AE→=AB→+BE→=a→+−23a→+23b→=1−23a→+23b→=13a→+23b→.
Vậy AE→=13a→+23b→.
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a) EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→;
b) EA→=4EG→;
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và AG→=34AE→.
a) Ta có M là trung điểm của AB nên GA→+GB→=2GM→.
Tương tự N là trung điểm CD nên GC→+GD→=2GN→.
Lại cso G là trung điểm của MN nên GM→+GN→=0→.
Khi đó: GA→+GB→+GC→+GD→=GM→+GN→=0→.
Ta có: EA→+EB→+EC→+ED→
=EG→+GA→+EG→+GB→+EG→+GC→+EG→+GD→
=4EG→+GA→+GB→+GC→+GD→
= 4EG→+0→
=4EG→.
Vậy EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên EB→+EC→+ED→=0→.
Thay vào câu a) ta có: EA→+0→=4EG→
Vậy EA→=4EG→.
c) Theo câu b ta có: EA→=4EG→ nên hai vectơ EA→, EG→ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.
Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.
Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.
Vì EA = 4 EG nên AG =34 AE.
Hai vectơ AG→ và AE→ cùng hướng.
Do đó: AG→=34AE→.
Cho hình bình hành ABCD. Đặt AB→=a→, AD→=b→. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ AG→, CG→ theo hai vectơ a→, b→.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.
Theo tính chất trọng tâm ta có: BG=23BO.
Mà BO = 12BD nên BG=23.12BD=13BD.
Hai vectơ BG→, BD→ cùng hướng và BG = 13BD.
Nên BG→=13BD→
Ta có: AG→=AB→+BG→=AB→+13BD→
=AB→+13BA→+AD→=AB→+13−AB→+AD→
=1−13AB→+13AD→=23AB→+13AD→
=23a→+13b→.
Do đó:AG→=23a→+13b→ .
Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→.
Ta có: CG→=CA→+AG→=−AC→+AG→
=−AB→+AD→+AG→
=−a→+b→+23a→+13b→
=−1+23a→+−1+13b→
=−13a→−23b→
Vậy CG→=−13a→−23b→.
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn DB→=13BC→, AE→=13AC→,AH→=23AB→.
a) Biểu thị mỗi vectơ AD→, DH→, HE→ theo hai vectơ AB→, AC→.
b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
Vì DB→=13BC→ nên DB→ và BC→ cùng hướng và DB=13BC.
AE→=13AC→ nên AE→, AC→ cùng hướng và AE =13AC.
AH→=23AB→ nên AH→, AB→ cùng hướng và AH=23AB.
a) + Ta có AD→=AB→+BD→=AB→+−DB→=AB→−DB→
Mà DB→=13BC→.
Do đó: AD→=AB→−13BC→=AB→−13BA→+AC→
=AB→−13BA→−13AC→=AB→−13−AB→−13AC→
=AB→+13AB→−13AC→
=43AB→−13AC→.
Suy ra: AD→=43AB→−13AC→.
+ Ta có: DH→=DA→+AH→=−AD→+AH→
Mà AH→=23AB→, AD→=43AB→−13AC→.
Do đó: DH→=−43AB→−13AC→+23AB→
=−43AB→+13AC→+23AB→
=23−43AB→+13AC→
=−23AB→+13AC→.
Vậy DH→=−23AB→+13AC→.
+ Ta có: HE→=HA→+AE→=−AH→+AE→
Mà AE→=13AC→, AH→=23AB→.
Do đó:HE→=−23AB→+13AC→=−23AB→+13AC→ .
Vậy HE→=−23AB→+13AC→.
b) Theo câu a, ta có: DH→=−23AB→+13AC→ và HE→=−23AB→+13AC→.
Do đó: DH→=HE→.
Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.
