Giải SBT Toán 10 CD Bài 5. Tích của một số với một vectơ có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB = \(\frac{1}{2}\)AB hay AB = 2OA = 2OB.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {OA} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {OA} \). Do đó A và D sai.

Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {OB} \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \). Do đó B đúng và C sai.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên ta có:

AG = \(\frac{2}{3}\)AM hay AM = 3GM

Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {GM} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).

Vậy chọn D.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Vì 4 > 0 nên \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng hướng nên \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng phương. Do đó A đúng, C sai.

Vì – 4 < 0 nên \(\overrightarrow a \) và \( - 4\overrightarrow a \) ngược hướng nên \(\overrightarrow a \) và \( - 4\overrightarrow a \) cùng phương. Do đó B, D đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Vì điểm C nằm giữa hai điểm A, B nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).

Vậy chọn A

Lời giải

Đáp án đúng là B

Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.

Do đó \(\overrightarrow {AC} = - \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).

Vậy chọn B

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} \)

⇒ AM // CB, AM = CB và M, B cùng phía so với bờ AC

⇒ ACBM là hình bình hành

Vậy điểm M thỏa mãn ACBM là hình bình hành.

Lời giải

Gọi N’ là trung điểm của BC

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN'} \) hay \(\overrightarrow {AN'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

⇒ \(\overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AN'} \)

⇒ A là trung điểm của đoạn NN’

Vậy N là điểm đối xứng với N’ qua A.

Lời giải

Xét \(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow {AB} \)

⇒ Điểm P là điểm thỏa mãn PC // AB, P nằm cùng phía với A bờ BC sao cho 2PC = AB.

Vậy điểm P là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, nằm cùng phía với A so với BC sao cho 2PC = AB.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{b}{c}\)

⇒ \(DB = \frac{b}{c}DC\)

Ta có: D nằm giữa B và C nên \(\overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ngược hướng

⇒ \(\overrightarrow {DB} = - \frac{b}{c}\overrightarrow {DC} \)

⇔ \(c\overrightarrow {DB} + b\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \).

Ta có \[ - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b = \frac{3}{2}\left( { - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b } \right)\] hay \(\overrightarrow {MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {NP} \)

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Vậy \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {NP} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \) và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} = k.\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right) = k.\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = k.\left[ {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)} \right]\)

= \(k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right]\) = \(k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right]\).

\(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AE} = k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right] - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow {AB} + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow {AC} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b \)

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DN} \)

⇔ \(\frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b = t\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \(\frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b = - \frac{t}{3}\overrightarrow a + \frac{{2t}}{5}\overrightarrow b \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} = - \frac{t}{3}\\\frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t = - \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.\)

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = \(\frac{6}{{17}}\).

Vậy \(\overrightarrow {AN} = k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right]\), \(\overrightarrow {DE} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \), \(\overrightarrow {EN} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b \) và với k = \(\frac{6}{{17}}\) thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải

Đặt \[\frac{{{\rm{AA}}'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = t\] (t > 0)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}AA' = tAB\\BB' = tBC\\CC' = tCA\end{array} \right.\]

⇒ \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = t\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB'} = t\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC'} = t\overrightarrow {CA} \end{array} \right.\] (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]

Ta có: \[\overrightarrow {{\rm{AA}}'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = t\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\]

⇔ \[\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GC'} = t\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\]

⇔ \[\left( {\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right) = t.\overrightarrow {AA} \]

⇔ \[ - \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right) = t.\overrightarrow 0 \]

⇔ \[\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.