10 Bài tập Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4    

⇒ $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC$= 4

Ta có: $\left|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|=\frac{1}{2}.4=2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{AC}$     (áp dụng quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^o$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

Vậy $\left|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right|=\left|2\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|=2.AC=2.5=10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD² = AB² + AD² = 4² + 3² = 25 ⇔ BD = 5

Có: $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\right|=\left|\frac{1}{2}\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}.5=2,5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}$ 

Do đó, ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}$

Vậy $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Gọi M là trung điểm của BC.

Do đó ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}$ 

Khi đó: $\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}$ (hiệu hai vectơ)

$\iff \left|\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|=MA$.

Do tam giác ABC đều nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có: BM = $\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AB² = AM² + BM² ⇔ AM² = AB² – BM² = a² – ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2$= $\frac{3a^2}{4}$ $\iff MA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=MA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có:

$2\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DB}$;

$2\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA}$.

Khi đó:

$2\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

Suy ra: $\left|2\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CO}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|$ = DA = a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hình vuông ABCD có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}\right|=\left|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}\right|=\left|4\overrightarrow{AB}\right|=\left|4\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|=4.AB=4.2a=8a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}$ (do M là trung điểm AB)

$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BP}$ (do P là trung điểm BC)

$\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BP}\right|=\left|\overrightarrow{PM}\right|=PM$        (áp dụng quy tắc trừ hai vectơ)

Xét tam giác ABC đều

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Do đó, PM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow PM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.4a=2a$

Vậy $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=2a$.