Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng có đáp án

Điểm C cần dựng là điểm thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm và $\widehat{ABC}=\widehat{CAB}$ (2 mái nghiêng như nhau). Do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách dựng như sau:

Bước 1. Lấy điểm M là trung điểm của đoạn AB.

Bước 2. Kẻ tia Mx vuông góc với AB tại M.

Bước 3. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính 5 cm, đường tròn cắt tia Mx tại điểm C.

Chứng minh:

 Điểm C thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm.

Xét tam giác CMA vuông tại M và tam giác CMB vuông tại M có:

AM = MB (theo cách dựng).

CM chung.

Suy ra $\Delta CMA=\Delta CMB$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{CBM}=\widehat{CAM }(2 góc tương úng) hay\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A.

Trong tam giác cân ABC có:

Cạnh bên: AB, AC.

Cạnh đáy: BC.

Góc ở đỉnh: $\widehat{BAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{ABC},\widehat{ACB}.$

Tam giác ADC có AD = AC = 3 cm nên tam giác ADC cân tại A.

Trong tam giác cân ADC có:

Cạnh bên: AD, AC.

Cạnh đáy: CD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AC\text{D}},\widehat{ADC}.$

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A.

Trong tam giác cân ABD có:

Cạnh bên: AB, AD.

Cạnh đáy: BD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAB}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AB\text{D}},\widehat{ADB}.$

a) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

AD chung.

BD = CD (do D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (cạnh – cạnh – cạnh).

b) Do $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{AC\text{D}}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.$

Vậy hai góc B và C của tam giác ABC bằng nhau.

a) Xét tam giác MPK có $\widehat{MPK}+\widehat{PMK}+\widehat{MKP}=180°.$

Do đó $\widehat{MKP}=180°-\widehat{MPK}-\widehat{PMK}$ (1).

Xét tam giác NPK có $\widehat{NPK}+\widehat{PNK}+\widehat{NKP}=180°.$

Do đó $\widehat{NKP}=180°-\widehat{NPK}-\widehat{PNK}$ (2).

Mà $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ ( do PK la tia phân giác của góc MPN) và $\widehat{PMK}=\widehat{PNK}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}.$

b) Xét hai tam giác MPK và NPK có:

$\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (do Pk là tia phân giác của góc MPN).

PK chung.

$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta MPK=\Delta NPK$ (g – c – g).

c) Do $\Delta MPK=\Delta NPK$ nên PM = PN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác MNP có PM = PN (chứng minh trên) nên tam giác MNP cân tại P.

Vậy tam giác MNP cân tại P.

Tam giác FDE có FD = FD = 4 cm nên tam giác FDE cân tại F.

Khi đó $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{F\text{ED}}=60°.$

Xét tam giác FDE có $\widehat{F\text{D}E}+\widehat{F\text{ED}}+\widehat{DF\text{E}}=180°.$

Do đó $\widehat{DF\text{E}}=180°-\widehat{FE\text{D}}-\widehat{F\text{D}E}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác DEF có $\widehat{\text{DEF}}=\widehat{DFE}=60°$ nên tam giác DEF cân tại D.

Do đó DE = DF = 4 cm.

Vậy $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{\text{EFD}}=60°,$ DE = 4 cm.

a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC (1).

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC (2).

Từ (1) và (2) có AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

b)

Trường hợp 1. Xét góc 60^o là góc ở đỉnh.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=2\widehat{B}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Khi đó $\widehat{A}+2\widehat{B}=180°.$

Do đó $2\widehat{B}=180°-\widehat{A}=180°-60°=120°.$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=60°.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}=60°$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Trường hợp 2. Xét góc 60^o là góc ở đáy.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{C}=60°.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Do đó $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Từ hai trường hợp trên ta thấy tam giác cân có một góc bằng 60^o là tam giác đều.

Vậy tam giác cân có một góc bằng 60^o là tam giác đều.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được OA = OB nên O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Dùng thước đo góc, ta đo được $\widehat{dOA}=90°.$

Vậy d vuông góc với AB.

a) Đường thẳng trong hình vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên là đường trung trực của đoạn AB.

b) Đường thẳng trong hình đi qua trung điểm của CD nhưng không vuông góc.

Do đó đường thẳng này không phải đường trung trực của đoạn CD.

c) Đường thẳng trong hình không vuông góc với EF tại trung điểm của EF.

Do đó đường thẳng này không phải đường trung trực của đoạn EF.

Vậy hình a Lan vẽ đúng.

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được AM = BM.