20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: C

Giả sử tam giác \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có số đo góc ở đáy gấp hai lần số đo góc ở đỉnh tức là:

\[\widehat B = \widehat C = 2\widehat A\].

Xét \[\Delta ABC\], ta có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] hay \[\widehat A + 2\widehat A + 2\widehat A = 180^\circ \].

Do đó, \[5\widehat A = 180^\circ \], suy ra \[\widehat A = 180^\circ :5 = 36^\circ \].

Suy ra, số đo góc ở đáy của tam giác cân đó là: \[36^\circ \cdot 2 = 72^\circ \].

a) Đúng.

Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\]

b) Đúng.

Có tia phân giác góc \[B\] cắt cạnh \[AC\] tại \[D\], tia phân giác góc \[C\] cắt cạnh \[AB\] tại \[E\].

Do đó, ta có: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {CBA}\] và \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\].

Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] nên \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\].

c) Sai.

Có \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên  \[AB = AC\].

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACE\] có:

\[\widehat A\] chung (gt)

\[AB = AC\]

\[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\] (cmt)

Do đó, \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (g.c.g)

d) Sai.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

a) Sai.

Xét hai tam giác vuông \[\Delta ABO\] và \[\Delta CAO\] có:

\[\widehat {COA} = \widehat {AOB}\] (gt)

\[OA\] chung (gt)

Do đó, \[\Delta ABO = \Delta ACO\] (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABO = \Delta ACO\] (cmt) nên \[AB = AC\] (hai cạnh tương ứng).

c) Đúng.

Vì \[\widehat {xOy} = 120^\circ \] và \[\widehat {COA} = \widehat {AOB}\] (gt) nên \[\widehat {COA} = \widehat {AOB} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \].

Xét \[\Delta CAO\], có: \[\widehat {CAO} = 90^\circ - \widehat {COA} = 90 - 60^\circ = 30^\circ \].

Mà ta có: \[\widehat {CAO} = \widehat {OAB}\] (hai góc tương ứng)

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {CAO} + \widehat {OAB} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \].

d) Đúng.

Xét \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\] (cmt) nên \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\]

Mà \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] nên \[\Delta ABC\] đều.

a) Sai.

Xét hai tam giác vuông \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[AB = AC\] (gt)

\[\widehat A\] chung (gt)

Do đó, \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AE = AD\] (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

c) Đúng.

Vì \[\Delta ADE\] cân tại \[A\] nên ta có: \[\widehat {DEA} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]

Có \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên ta có: \[\widehat {CBA} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]

Suy ra \[\widehat {CBA} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[DE\parallel BC.\]

d) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cm câu a) nên \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (hai góc tương ứng).

Ta có: \[\widehat {IBC} = \widehat {ABC} - \widehat {ABD};\,\,\,\widehat {ICB} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\].

Suy ra \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\].

Do đó \[\Delta IBC\] cân tại \[I.\]

a) Đúng.

Vì đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] cắt \[AC\] tại \[H,\] cắt \[BC\] tại \[D\] nên ta có \[DC = DA\] (tính chất đường trung trực).

Suy ra \[\Delta ADC\] cân tại \[D\].

b) Sai.

Vì \[\Delta ADC\] cân tại \[D\] nên \[\widehat C = \widehat {{A_1}}\].

Ta có: \[\widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat C\] và \[\widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}}\].

Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {{A_2}}\].

Vậy \[\Delta ADB\] cân tại \[D\].

c) Đúng.

Vì \[\Delta ADB\] cân tại \[D\]nên \[AD = BD\].

d) Đúng.

Có \[AD = BD\] (cmt) và \[DC = DA\] (\[\Delta ADC\]cân tại \[D\]) nên \[DC = DB\].

Vậy \[D\] là trung điểm của \[BC.\]

a) Sai.

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\]

\[BD = CE\] (gt)

\[AB = AC\] (gt)

Suy ra \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

Do đó, \[\widehat D = \widehat E\].

Xét hai tam giác vuông \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\[\widehat D = \widehat E\] (cmt)

\[BD = CE\] (gt)

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Sai.

Ta có: \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có: \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng)

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt);

\[AD = AE\]

\[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\]

Do đó, \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]

Nhận thấy, \[CD = DE = CE\] nên \[\Delta CDE\] đều.

Do đó, \[\widehat {DCE} = \widehat {CED} = \widehat {CDE} = 60^\circ \].

Có \[\widehat {CED}\] và \[\widehat {BED}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {CED} + \widehat {BED} = 180^\circ \].

Do đó, \[\widehat {BED} = 180^\circ - \widehat {CED} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].

\[\Delta BDE\] có \[ED = EB\] nên \[\Delta BDE\] cân tại \[E\].

Suy ra \[\widehat {EBD} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEB}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \].

Vậy \[\widehat {DBA} = 30^\circ \].

Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

Suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \].

Xét \(\Delta ADC\) có \(AC = DC\) nên \(\Delta ADC\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {CAD} = x\).

Ta lại có \(\widehat {BCA}\) là góc ngoài của \(\Delta ADC\).

Suy ra \(\widehat {BCA} = \widehat {CDA} + \widehat {CAB} = x + x = 2x\).

Do đó, \(2x = 45^\circ \) nên \(x = 22,5^\circ \).

Xét \[\Delta ABC\] có \[CB = AB\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[B\].

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - CBA}}{2} = \frac{{180^\circ - 50^\circ }}{2} = 65^\circ \].

Xét \[\Delta CBD\] có \[CD = BD\] nên \[\Delta CBD\] cân tại \[D\].

Suy ra \[\widehat {CBD} = \widehat {BCD} = 65^\circ \].

Do đó, \[\widehat {ABD} = \widehat {BCD} - \widehat {CBA} = 65^\circ - 50^\circ = 15^\circ \].

Ta có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = 40^\circ \).

Lại có tam giác \(ABD\) có \(BA = BD\) nên \(\Delta ABD\) cân tại \(B\). Do đó, \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Theo đề, \(BD = BA,\)\(CE = CA.\) Mà \[AB = AC\](\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) suy ra \(AB = EC\).

Ta có: \(BD = BE + ED\), \(EC = ED + DC\) nên \(BE = DC\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(AB = AC\) (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 40^\circ \)

\(BE = DC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAC} = 100^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = 100^\circ - \widehat {BAD} = 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BAE} = 30^\circ \) do đó, \(\widehat {EAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \).