10 Bài tập Nhận biết và chứng minh tam giác cân, tam giác đều (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình vẽ bên.
Hình bên có bao nhiêu tam giác cân?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: C
Xét ∆ABC có: AB = AC (giả thiết).
Suy ra ∆ABC cân tại A.
Xét ∆HIK có: HI ≠ IK ≠ HK (vì 3 cm ≠ 5 cm ≠ 4 cm).
Do đó ∆HIK không phải là tam giác cân.
Xét ∆DEF có: \[\widehat {DEF} = \widehat {DFE} = 62^\circ \].
Suy ra ∆DEF cân tại D.
Khi đó hình trên có 2 tam giác cân là: ∆ABC và ∆DEF.
Vậy ta chọn đáp án C.
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau.
Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau;
Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó hai góc bằng nhau;
Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có một góc bằng 60°;
Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.
Đáp án đúng là: C
Đáp án A, B, D đúng.
Đáp án C sai. Sửa lại:
Cách sửa 1: Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có hai góc bằng 60°;
Cách sửa 2: Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó là một tam giác cân và có một góc bằng 60°.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Kết luận nào sau đây là đúng?
∆AMN cân tại A;
∆AMN cân tại M;
∆AMN cân tại N;
∆AMN cân tại B.
Đáp án đúng là: A
Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].
Xét ∆ABM và ∆ACN, có:
AB = AC (chứng minh trên).
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (chứng minh trên).
BM = CN (giả thiết).
Do đó ∆ABM = ∆ACN (cạnh – góc – cạnh).
Suy ra AM = AN (cặp cạnh tương ứng).
Do đó ∆AMN cân tại A.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho hình bên.
Chọn đáp án đúng.
∆OPM và ∆ONQ là các tam giác đều;
∆OMN là tam giác đều;
∆OPM và ∆ONQ là các tam giác cân;
Cả hai đáp án B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình, ta thấy OM = ON = MN.
Do đó ∆OMN là tam giác đều.
Quan sát hình, ta thấy OM = PM.
Do đó ∆OPM là tam giác cân tại M.
Quan sát hình, ta thấy ON = NQ.
Do đó ∆ONQ là tam giác cân tại N.
Khi đó ta có: ∆OMN là tam giác đều; ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác cân.
Do đó đáp án B, C đều đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
\[\widehat {xOy} = 120^\circ \]. Lấy điểm A thuộc tia phân giác của \[\widehat {xOy}\]. Kẻ AB ⊥ Ox tại B, AC ⊥ Oy tại C. Hỏi ∆ABC là tam giác gì?
∆ABC là tam giác cân tại A;
∆ABC là tam giác cân tại B;
∆ABC là tam giác là cân tại C;
∆ABC là tam giác đều.
Đáp án đúng là: D
Xét ∆OAB và ∆OAC, có:
\[\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \].
OA là cạnh chung.
\[\widehat {AOC} = \widehat {AOB}\] (OA là phân giác của \[\widehat {xOy}\]).
Do đó ∆OAB = ∆OAC (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).
Do đó ∆ABC cân tại A (1).
Ta có OA là phân giác của \[\widehat {xOy}\].
Suy ra \[\widehat {BOA} = \widehat {AOC} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \].
∆OAB vuông tại B: \[\widehat {BOA} + \widehat {OAB} = 90^\circ \].
Suy ra \[\widehat {OAB} = 90^\circ - \widehat {BOA} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {OAC} = 30^\circ \].
Do đó ta có \[\widehat {OAB} + \widehat {OAC} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \].
Ta suy ra \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] (2).
Từ (1), (2), ta suy ra ∆ABC là tam giác đều.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc canh AB sa cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Hỏi ∆IBC là tam giác gì?
∆IBC là tam giác cân tại I;
∆IBC là tam giác cân tại B;
∆IBC là tam giác cân tại C;
∆IBC là tam giác đều.
Đáp án đúng là: A
Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét ∆ABD và ∆ACE, có:
AB = AC (chứng minh trên).
\[\widehat {BAC}\] là góc chung.
AD = AE (giả thiết).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (cạnh – góc – cạnh).
Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (cặp cạnh tương ứng).
Vì ∆ABC cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].
Suy ra \[\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\].
Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (chứng minh trên).
Do đó \[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\] hay \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\].
Khi đó ta có ∆IBC cân tại I.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của \[\widehat A\] cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc BC, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AE. Hỏi ∆DBF là tam giác gì?
∆DBF cân tại B;
∆DBF cân tại F;
∆DBF cân tại D;
∆DBF đều.
Đáp án đúng là: C
Xét ∆EAD và ∆FAD, có:
AF = AE (giả thiết).
\[\widehat {FAD} = \widehat {DAE}\] (AD là phân giác \[\widehat {BAC}\]).
AD là cạnh chung.
Do đó ∆EAD = ∆FAD (cạnh – góc – cạnh).
Suy ra \[\widehat {{E_2}} = \widehat {{F_2}}\].
Ta có \[\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Lại có \[\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Do đó ta có \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (1).
∆ABC vuông tại A: \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \].
∆CDE vuông tại D: \[\widehat {DEC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \].
Do đó \[\widehat {ABC} = \widehat {DEC}\] hay \[\widehat {FBD} = \widehat {{E_1}}\] (2).
Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {FBD} = \widehat {{F_1}}\].
Do đó ∆FBD cân tại D.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho hình vẽ.
Tam giác cân trong hình vẽ bên là:
∆ACD;
∆ABD;
∆BCD;
Hình vẽ bên không có tam giác nào cân.
Đáp án đúng là: B
Ta thấy x ⊥ z và y ⊥ z (giả thiết).
Suy ra x // y.
Có \[\widehat {ABC},\,\,\widehat {BCx}\] ở vị trí so le trong.
Do đó \[\widehat {ABC} = \widehat {BCx} = 50^\circ \].
Ta có \[\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Suy ra \[\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \].
Xét ∆ABD, có: \[\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 180^\circ \].
Suy ra \[\widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {ABD} - \widehat {BAD} = 180^\circ - 130^\circ - 25^\circ = 25^\circ \].
Do đó \[\widehat {ADB} = \widehat {BAD}\].
Khi đó ta được ∆ABD cân tại B.
Do đó đáp án B đúng.
Đáp án A sai vì \[\widehat {ADB} = 25^\circ \] nên ∆ACD không phải là tam giác đều.
Đáp án C sai vì ba điểm B, C, D là ba điểm thẳng hàng nên không thể tạo thành một tam giác.
Đáp án D sai vì ta đã chứng minh được hình vẽ có ∆ABD cân tại B.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hình vẽ.
Tam giác đều trong hình vẽ bên là:
∆MNP;
∆PNH;
∆MPH;
∆MNH.
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\widehat {PMN} = 90^\circ \] (∆MNP vuông tại M).
Suy ra \[\widehat {PMH} + \widehat {HMN} = 90^\circ \].
Do đó \[\widehat {HMN} = 90^\circ - \widehat {PMH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] (1).
∆MNP vuông tại M: \[\widehat {MNH} + \widehat {MPH} = 90^\circ \].
Suy ra \[\widehat {MNH} = 90^\circ - \widehat {MPH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] (2).
Từ (1), (2), ta suy ra ∆MNH là tam giác đều.
Do đó đáp án D đúng.
Đáp án A sai vì ∆MNP là tam giác vuông tại M.
Đáp án B sai vì ba điểm P, N, H là ba điểm thẳng hàng nên không thể tạo thành một tam giác.
Đáp án C sai vì \[\widehat {MPH} = \widehat {PMH} = 30^\circ \] nên ∆MPH cân tại H.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF. Hỏi ∆DEF là tam giác gì?
∆DEF đều;
∆DEF là tam giác vuông tại D;
∆DEF là tam giác vuông cân tại F;
∆DEF là tam giác vuông tại E.
Đáp án đúng là: A
Vì ba điểm A, D, B thẳng hàng nên BD = AB – AD.
Vì ba điểm A, F, C thẳng hàng nên AF = AC – CF.
Ta có AB = AC (∆ABC đều) và AD = CF (giả thiết).
Do đó AB – AD = AC – CF.
Suy ra BD = AF.
Xét ∆ADF và ∆BED, có:
AD = BE (giả thiết).
BD = AF (chứng minh trên).
Do đó ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh).
Suy ra \[\widehat {FDA} = \widehat {DEB}\] (cặp góc tương ứng).
Xét ∆BDE, có: \[\widehat {BDE} + \widehat {EBD} + \widehat {DEB} = 180^\circ \].
Suy ra \[\widehat {BDE} + 60^\circ + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (∆ABC đều).
Mà \[\widehat {BDE} + \widehat {EDF} + \widehat {FDA} = 180^\circ \] (kề bù).
Do đó \[\widehat {EDF} = 60^\circ \].
Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {DEF} = 60^\circ \].
Ta suy ra ∆DEF đều.
Do đó đáp án A đúng.
∆DEF là tam giác đều nên ∆DEF không thể là tam giác vuông (vì tam giác đều có các góc bằng nhau và cùng bằng 60°).
Do đó ta loại đáp án B, C, D.
Vậy ta chọn đáp án A.
