Bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {m + 1} \right)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn 2x + 2y = 5.
\( - \frac{5}{8}\).
\(\frac{5}{8}\).
\( - \frac{8}{5}\).
\(\frac{8}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 5\\4x - y = - 2\end{array} \right.\).
Từ phương trình 4x – y = −2 ta có y = 4x + 2.
Thay y = 4x + 2 vào phương trình 2x + 2y = 5 được:
2x + 2(4x + 2) = 5 hay 10x = 1 suy ra x = \(\frac{1}{{10}}\).
Với x = \(\frac{1}{{10}}\) thì y = \(\frac{{12}}{5}\).
Thay giá trị, y vừa tìm được vào phương trình x + (m + 1)y = 1 được
\(\frac{1}{{10}}\) + (m + 1). \(\frac{{12}}{5}\) = 1 suy ra 1 + 24(m + 1) = 10 suy ra m = \( - \frac{5}{8}\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\mx + 2y = 2\end{array} \right.\) với m là tham số. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.
m = 4.
m = 2.
m = −4.
m = 1.
Đáp án đúng là: A
Để hệ có nghiệm duy nhất khi \(\frac{2}{m}\) ≠ \(\frac{{ - 1}}{2}\) suy ra m ≠ −4.
Từ phương trình 2x – y = 1 ta có y = 2x – 1.
Thay y = 2x – 1 vào phương trình mx + 2y = 2 suy ra mx + 2(2x – 1) = 2.
Suy ra (m + 4)x = 4 hay x = \(\frac{4}{{m + 4}}\).
Với x = \(\frac{4}{{m + 4}}\) suy ra y = \(\frac{{4 - m}}{{m + 4}}\).
Theo đề, ta có: 2x – 3y = 1
Suy ra \(\frac{8}{{m + 4}}\) − \(\frac{{3\left( {4 - m} \right)}}{{m + 4}}\) = 1 suy ra 8 – 12 + 3m = m + 4 hay 2m = 8 hay m = 4 (thỏa mãn).
Vậy m = 4 thỏa mãn.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào sau đây của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.
m = 0.
m = 1.
m = 0 hoặc m = 1.
m = 0 hoặc m = −1.
Đáp án đúng là: C
Để phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{1}{m}\) ≠ \(\frac{m}{{ - 1}}\) hay m2 ≠ −1 , đúng với mọi m.
Ta có x = 1 – my.
Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m
Suy ra m – m2y – y = −m, do đó y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\).
Với y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\) thì x = \(\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\).
Theo đề, ta có: x = y + 1
Suy ra \(\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\) = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\) + 1 hay \(\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\) = \(\frac{{2m + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}}\)
Do đó, 1 – m2 = m2 + 2m + 1 hay 2m2 + 2m = 0 hay 2m(m + 2) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).
Vậy m = 0 hoặc m = 1.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0?
m > 1.
m < 1.
m ≤ 1.
m ≥ 1.
Đáp án đúng là: A
Để phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{1}{m}\) ≠ \(\frac{m}{{ - 1}}\) hay m2 ≠ −1 , đúng với mọi m.
Ta có x = 1 – my.
Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m
Suy ra m – m2y – y = −m, do đó y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\).
Với y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\) thì x = \(\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\).
Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y > 0\end{array} \right.\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} < 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} < 0\\2m > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.\) nên m > 1
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\2x - my = - 4\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất x – 1 > 0?
m > −4.
m ≥ −4.
m < −4.
</>
m ≤ −4.
Đáp án đúng là: A
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - m}}\) suy ra m ≠ −4.
Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.
Suy ra y = \(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\).
Với y = \(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\) thì x = 1 – 2.\(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\) = \(\frac{{m + 8}}{{m + 4}}\).
Theo đề, có: x – 1 > 0 nên \(\frac{{m + 8}}{{m + 4}}\) −1 > 0 hay \(\frac{4}{{m + 4}} > 0\) suy ra m + 4 > 0 hay m > −4.
Vậy m > −4.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\2x - my = - 4\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y = \(\frac{{{m^2} + 6}}{{m + 4}}\)?
m = 1.
m = −1.
m = 0 hoặc m = 1.
m = 0 hoặc m = −1.
Đáp án đúng là: C
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - m}}\) suy ra m ≠ −4.
Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.
Suy ra y = \(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\).
Với y = \(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\) thì x = 1 – 2.\(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\) = \(\frac{{m + 8}}{{m + 4}}\).
Có x + y = \(\frac{{{m^2} + 6}}{{m + 4}}\) nên \(\frac{{ - 2}}{{m + 4}}\) + \(\frac{{m + 8}}{{m + 4}}\) = \(\frac{{{m^2} + 6}}{{m + 4}}\) suy ra m + 6 = m2 + 6
hay m2 – m = 0 hay m(m – 1) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).
Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì thảo mãn yêu cầu bài toán.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 3x – y = 5?
m = \(\frac{1}{2}\).
m = \( - \frac{1}{2}\).
m = \(\frac{1}{4}\).
m = \( - \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - m}}\) suy ra m2 ≠ −4 do đó m ≠ 2 và m ≠ −2.
Ta có y = mx – 2m.
Thế y = mx − 2m vào phương trình 4x – my = m + 6, ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6
4x − m2x + 2m2 = m + 6
(m2 – 4)x = 2m2 – m – 6
(m – 2)(m + 2)x = (m – 2)(2m + 3)
(m + 2)x = 2m + 3
Suy ra x = \(\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}\).
Thế x = \(\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}\) suy ra y = m.\(\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}\) − 2m = \(\frac{{ - m}}{{m + 2}}\).
Để 3x – y = 5 thì \(\frac{{3\left( {2m + 3} \right)}}{{m + 2}} + \frac{m}{{m + 2}} = 5\)
Suy ra 7m + 9 = 5m + 10 hay m = \(\frac{1}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy m = \(\frac{1}{2}\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\) với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x2 – 2y2 = −2.
m = 2.
m = −2.
m = 0 hoặc m = 2.
m = 0 hoặc m = −2.
Đáp án đúng là: D
Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}}\) nên hệ có nghiệm duy nhất.
Thế x = 2 + 2y vào phương trình x + y = 3m – 1 được 3y = 3m – 3 hay y = m – 1.
Với y = m – 1 thì x = 2m.
Ta có: x2 – 2y2 = −2 nên 4m2 – 2(m – 1)2 = −2
Do đó 4m2 – 2m2 + 4m – 2 = −2 suy ra 2m2 + 4m = 0 hay 2m(m + 2) = 0
Do đó m = 0 hoặc m = −2 (thỏa mãn).
Vậy m = 0 hoặc m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\) (m là tham số). Với giá trị nào của m để biểu thức A = xy + x – 1 đạt giá trị lớn nhất?
m = 1.
m = 8.
m = −1.
m = 0.
Đáp án đúng là: A
Vì \(\frac{3}{1} \ne \frac{1}{1}\) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta có: x = 5 – y.
Thế x = 5 – y vào phương trình 3x + y = 2m + 9 được 15 – 3y + y = 2m + 9
Suy ra y = 3 – m.
Với y = 3 – m suy ra x = 2 + m.
Theo đề, A = xy + x – 1
= (3 – m)(2 + m) + 2 + m – 1
= −m2 + 2m + 7
= −(m – 1)2 + 8 ≤ 8.
Vậy GTLN của A = 8 khi m – 1 = 0 hay m = 1.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 2 - m\\x + 2y = 3m + 1\end{array} \right.\) với m là tham số. Giá trị của m để T = \(\frac{y}{x}\) nguyên là
m = 0.
m = −2.
m = 0 hoặc m = −2.
m = 0 hoặc m = 2.
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 3}}{2}\) nên hệ có nghiệm duy nhất.
Thay x = 3m + 1 – 2y vào phương trình 2x – 3y = 2 – m ta được:
6m + 2 – 4y – 3y = 2 – m
−7y = −7m suy ra y = m.
Thế y = m vào x = 3m + 1 – 2y được x = m + 1.
Ta có: T = \(\frac{y}{x}\) = \(\frac{m}{{m + 1}} = 1 - \frac{1}{{m + 1}}\).
Để T nguyên thì (m + 1) là ước của 1.
Do đó, m + 1 = 1 hoặc m + 1 = −1.
Suy ra m = 0 hoặc m = −2.
Vậy với m = 0 hoặc m = −2 thì T nguyên.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m.
\({\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}\).
\({\rm{x}} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2}}}{2}.\)
Có vô số giá trị của m để x + y là số không âm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì \(\frac{1}{4} \ne \frac{1}{2}\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m. Vậy a) đúng.
b) Đúng.
Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có x = m2 – y.
Thay x = m2 – y vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta có: 4(m2 – y) + 2y = 3, suy ra –2y + 4m2 = 3 suy ra \({\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}\). Vậy \({\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}\).
c) Sai.
Với \({\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}\) thì \({\rm{x}} = {{\rm{m}}^2} - \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2}\). Vậy \({\rm{x}} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2}\).
d) Đúng.
Ta có: \({\rm{x}} + {\rm{y}} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2} + \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2} = \frac{{2{{\rm{m}}^2}}}{2} = {{\rm{m}}^2} \ge 0\) với mọi giá trị của m.
Vậy có vô số giá trị của m để x + y là số không âm.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0.
y = m – 2.
xy = 2m2 – 3m – 2.
xy đạt giá trị nhỏ nhất khi \({\rm{m}} = \frac{5}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 2}}\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m. Vậy a) sai.
b) Đúng.
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 3y = 3m – 6 nên y = m – 2. Vậy y = m – 2.
c) Đúng.
Với y = m – 2 thay vào phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta có x + m – 2 = 3m – 1, suy ra x = 2m + 1.
Do đó, xy = (m – 2)(2m + 1) = 2m2 – 3m – 2. Vậy xy = 2m2 – 3m – 2.
d) Sai.
Ta có: \(2{{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} - 2 = 2\left( {{{\rm{m}}^2} - 2 \cdot {\rm{m}} \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} - \frac{{25}}{{16}}} \right) = 2{\left( {{\rm{m}} - \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{{25}}{8} \ge - \frac{{25}}{8}\).
Dấu “=” xảy ra khi \({\rm{m}} - \frac{3}{4} = 0\) nên \({\rm{m}} = \frac{3}{4}\).
Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất khi \({\rm{m}} = \frac{3}{4}.\)
Biến đổi phương trình (2) được x = 2 – (m + 1)y.
\({\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}}\).
\({\rm{x}} = \frac{{{\rm{m}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{5}}}}{{{\rm{m}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{2}}}}\).
x – y > 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có: x = 2 – (m + 1)y.
b) Đúng.
Thay x = 2 – (m + 1)y vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có
(m + 1)[2 – (m + 1)y] + y = m + 2
2(m + 1) – (m + 1)2y + y = m + 2
(m2 + 2m)y = m
m(m + 2)y = m (1)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì m ≠ 0 và m ≠ –2.
Từ (1) ta có: \({\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}}\).
c) Sai.
Thay \({\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}}\) vào x = 2 – (m + 1)y ta có: \({\rm{x}} = 2 - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}\).
d) Sai.
Ta có: x – y \( = \frac{{{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 3 - 1}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} + 2}} = 1\)
Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với mọi m.
x = m + 1.
y = –2m2 + 3m + 1.
Có vô số giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn y – 3x ≤ 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì \(\frac{{2{\rm{m}} - 1}}{{2{\rm{m}}}} \ne \frac{1}{1}\) hay –1 ≠ 1 (luôn đúng) nên hệ phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất (x; y) với mọi giá trị của m.
b) Sai.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{\rm{2m}} - 1} \right){\rm{x}} + {\rm{y}} = 2\\{\rm{2mx}} + {\rm{y}} = {\rm{m}} + 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2mx}} - {\rm{x}} + {\rm{y}} = 2\\{\rm{2mx}} + {\rm{y}} = {\rm{m}} + 1\end{array} \right.\)
Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta được x = m – 1.
c) Đúng.
Thay x = m – 1 vào phương trình hai trong hệ đã cho ta được
2m(m – 1) + y = m + 1
y = m + 1 – 2m2 + 2m
y = –2m2 + 3m + 1.
d) Đúng.
Ta có: y – 3x = –2m2 + 3m + 1 – 3(m – 1) = –2m2 + 4 ≤ 4 với mọi giá trị của m.
Vậy có vô số giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với mọi giá trị của m.
Biến đổi phương trình (2) được x = 1 + m + 2y.
\({\rm{y}} = \frac{{\rm{m}}}{5}\).
Không có giá trị m thỏa mãn để x; y là hai số đối nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì \(\frac{3}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hệ phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất (x; y) với mọi giá trị của m.
b) Sai.
Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có: x = 1 + m – 2y.
c) Đúng.
Thay x = 1 + m – 2y vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 3(1 + m – 2y) + y = 3 + 2m hay 3 + 3m – 5y = 3 + 2m, suy ra \({\rm{y}} = \frac{{\rm{m}}}{5}\).
Thay \({\rm{y}} = \frac{{\rm{m}}}{5}\) vào x = 1 + m – 2y ta có: x = 1 + m – 2.\(\frac{{\rm{m}}}{5} = \frac{{5 + 3{\rm{m}}}}{5}.\)
d) Sai.
Để x và y là hai số đối nhau thì y = –x.
Do đó, \(\frac{{5 + 3{\rm{m}}}}{5} = - \frac{{\rm{m}}}{5}\), suy ra 5 + 3m = –m, suy ra m = \(\frac{{ - 5}}{4}.\)
Vậy m = \(\frac{{ - 5}}{4}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{mx}} - {\rm{y}} = 2{\rm{m}}\\{\rm{4x}} - {\rm{my}} = {\rm{m}} + 6\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x2 = y2?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{m}}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - {\rm{m}}}}\) suy ra m2 ≠ 4 suy ra m ≠ 2 và m ≠ –2.
Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = mx – 2m.
Thay y = mx – 2m vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 4x – m(mx – 2m) = m + 6 nên x(–m2 + 4) + 2m2 = m + 6 nên \({\rm{x}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 6}}{{{{\rm{m}}^2} - 4}} = \frac{{\left( {2{\rm{m}} + 3} \right)\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}}{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)\left( {{\rm{m}} + 2} \right)}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}\).
Với \({\rm{x}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}\) thì \({\rm{y}} = {\rm{m}} \cdot \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}} - 2{\rm{m}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} + 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 4{\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}\).
Để x2 = y2 thì \({\left( {\frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2}\)
(2m + 3)2 – m2 = 0
(2m + 3 – m)(2m + 3 + m) = 0
(m + 3)(3m + 3) = 0
m + 3 = 0 hoặc 3m + 3 = 0
m = –3 (thỏa mãn) hoặc m = –1 (thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - {\rm{y}} = 2{\rm{m}}\\{\rm{x}} - {\rm{my}} = {\rm{m}} - 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn y là số nguyên.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{1}}}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - {\rm{m}}}}\) suy ra m ≠ 1.
Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có x = y + 2m.
Thay x = y + 2m vào phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có y + 2m – my = m – 2, suy ra y(1 – m) = –m – 2, suy ra \({\rm{y}} = \frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 1}}\).
Ta có: \(\frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} - 1 + 3}}{{{\rm{m}} - 1}} = 1 + \frac{3}{{{\rm{m}} - 1}}\).
Để y là số nguyên thì \(\frac{3}{{{\rm{m}} - 1}}\) là số nguyên, suy ra m – 1 là ước của 3.
Suy ra m – 1 Î{1; –1; –3; 3}.
Ta có bảng:
m – 1 | 1 | –1 | –3 | 3 |
m | 2 (thỏa mãn) | 0 (thỏa mãn) | –2 (thỏa mãn) | 4 (thỏa mãn) |
Vậy có 4 giá trị của m để y là số nguyên.
Cho (x; y) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{3x + y}} = 2{\rm{m + 6}}\\{\rm{x + y}} = 4\end{array} \right.\). Tìm m để biểu thức A = xy + y – 1 đạt giá trị lớn nhất. (Kết quả để dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
Vì \(\frac{3}{1} \ne \frac{1}{1}\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m.
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 2x = 2m + 2 nên x = m + 1.
Thay x = m + 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta có: m + 1 + y = 4, suy ra y = 3 – m.
Thay x = m + 1 và y = 3 – m vào A ta có:
A = (m + 1)(3 – m) + 3 – m – 1
= –m2 + m + 5
\( = - \left( {{{\rm{m}}^2} - 2 \cdot {\rm{m}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{21}}{4}\)
\( = - {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4}\)
Vì \( - {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi m nên \({\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4} \le \frac{{21}}{4}\) với mọi m.
Dấu “=” xảy ra khi \({\rm{m}} - \frac{1}{2} = 0\) nên \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\).
Vậy \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\) thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.
Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2x}} - {\rm{y}} = {\rm{m}} + 1\\{\rm{3x}} + {\rm{my}} = 2 - {\rm{m}}\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2y – x = –5. Khi đó, có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{2}}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{\rm{m}}}\) suy ra m ≠ \(\frac{{ - 3}}{2}\).
Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = 2x – m – 1.
Thay y = 2x – m – 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 3x + m(2x – m – 1) = 2 – m, suy ra x(3 + 2m) – m2 – m = 2 – m, suy ra \({\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\).
Với \({\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\) thì \({\rm{y}} = 2 \cdot \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - {\rm{m}} - 1 = \frac{{4 + 2{{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 2{\rm{m}} - 3}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{1}} - 5{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}.\)
Ta có: \({\rm{2y}} - {\rm{x}} = \frac{{2\left( {{\rm{1}} - 5{\rm{m}}} \right)}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{2}} - 10{\rm{m}} - 2 - {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\).
Để 2y – x = –5 thì \(\frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = - 5\), suy ra m2 + 10m = 15 + 10m, suy ra m2 = 15 nên \({\rm{m}} = \sqrt {15} \) (thỏa mãn) hoặc \({\rm{m}} = - \sqrt {15} \) (thỏa mãn)
Vậy có 2 giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Số giá trị của m hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2x}} + {\rm{y}} = {\rm{m}}\\{\rm{x}} + {\rm{my}} = 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{2}}}{1} \ne \frac{1}{{\rm{m}}}\) suy ra m ≠ \(\frac{1}{2}\).
Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có x = 2 – my.
Thay x = 2 – my vào phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta được 2(2 – my) + y = m, suy ra 4 – (2m – 1)y = m, suy ra \({\rm{y}} = \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}}\).
Với \({\rm{y}} = \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}}\) thì \({\rm{x}} = 2 - {\rm{m}} \cdot \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{4{\rm{m}} - 2 - 4{\rm{m}} + {{\rm{m}}^2}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{{\rm{m}}^2} - 2}}{{2{\rm{m}} - 1}}.\)
Để x = y thì \(\frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{{\rm{m}}^2} - 2}}{{2{\rm{m}} - 1}}\)
m2 – 2 = 4 – m
m2 + m – 6 = 0
m2 + 3m – 2m – 6 = 0
m(m + 3) – 2(m + 3) = 0
(m – 2)(m + 3) = 0
m – 2 = 0 hoặc m + 3 = 0
m = 2 (thỏa mãn) hoặc m = –3 (thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
