Bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của biểu thức lớp 10 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho góc α (0° < α < 180°) với \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Giá trị của sinα bằng:
0;
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);
\(\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0.
Lại có sin2α + cos2α = 1
Suy ra \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{2}{{13}}\);
\(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\);
\(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\);
\(\cos \alpha = - \frac{2}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.
Do đó \[cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = - \frac{5}{{13}}\].
\( - \frac{1}{3}\);
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{9}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\).
Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \)< 0 nên cosα < 0.
Do đó \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}\).
\(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\);
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\);
\(\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \) nên \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), do đó D đúng.
Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.
Ta có: \[{\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\]
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) nên A đúng.
Lại có: \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = - \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].
Do đó B sai, C đúng.
\( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\);
\(\frac{3}{5}\);
\( - \frac{3}{5}\);
\(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do 0° < α < 180°, α ≠ 90° nên tanα, cotα cùng dấu và tanα + cotα > 0 nên tanα > 0.
Mà \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\) > 0.
Do đó cosα > 0.
Ta có sin2α + cos2α = 1
Suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).
\(\frac{4}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{2}{3}\);
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có
\(A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)\( = \frac{{\tan \alpha + 4.\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{\tan \alpha }}}}{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}{{\tan \alpha }}}}\)
\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = 1 + 3{\cos ^2}\alpha \).
Thay \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(A = 1 + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 + 3.\frac{1}{9} = \frac{4}{3}\).
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\);
\(\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\);
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\);
\(\frac{{2\sqrt {10} }}{{10}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0, sinα > 0
Ta có \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{10}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)
Lại có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\].
Do đó \[P{\rm{ }} = {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} + \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\].
Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn \(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\).
Giá trị của biểu thức \(P = 2\sqrt {4 + 5\tan \alpha } + 3\sqrt {9 - 12\cot \alpha } \) là:
11;
12;
13;
14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0
Do đó\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{12}}{5}\); \(\cot \alpha = \frac{5}{{12}}\)
Do đó \(P = 2\sqrt {4 + 5.\frac{{12}}{5}} + 3\sqrt {9 - 12.\frac{5}{{12}}} = 2.4 + 3.2 = 8 + 6 = 14\).
0;
1;
\(\frac{{12}}{{13}}\);
\(\frac{{10}}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Do tanα = 5 nên cosα ≠ 0.
Chia cả tử và mẫu của P cho cosα ta được
\(P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \)\(\frac{{2\tan \alpha + 3}}{{3\tan \alpha - 2}} = \frac{{2.5 + 3}}{{3.5 - 2}} = 1\).
Vậy P = 1.
\( - \frac{4}{5}\);
\( - \frac{9}{{10}}\);
\(\frac{4}{5}\);
\(\frac{9}{{10}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có P = sin4α – cos4α \( = \left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right).\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \).
Do cotα = 3, suy ra sinα ≠ 0.
Chia cả hai vế của biểu thức cho sin2α ta được: \(\frac{P}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cot ^2}\alpha \)
\( \Leftrightarrow P\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right) = 1 - {\cot ^2}\alpha \)
Thay cotα = 3 vào ta được: P.(1 + 9) = 1 – 9 \( \Leftrightarrow P = \frac{{ - 8}}{{10}} = \frac{{ - 4}}{5}\).
