Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Phương trình (α) có dạng: (x – 2) + (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0

Hai vecto có giá song song với mặt phẳng (α) là: u→ = (0; 1; 1) và v→ = (−1; 0; 2).

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n→ = u→ ∧ v→= (2; −1; 1)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận n→ = (2; −1; 1) là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 1) – y + z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0

Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: MN→ = (3; 2; 1) và MP→ = (4; 1; 0).

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là n→ = MN→ ∧ MP→ = (−1; 4; −5)

Vậy phương trình của (α) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 hay x – 4y + 5z – 2 = 0

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là n→ = IB→ = (1; 4; −1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Ta có: AB→ = (−4; 5; −1) và AC→ = (0; −1; 1) suy ra n→ = AB→ ∧ n→ = (4; 4; 4)

Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là n→ = (4; 4; 4) hoặc n'→ = (1; 1; 1)

Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 hay x + y + z – 9 =0

Mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên (α) cũng có vecto pháp tuyến là n'→ = (1; 1; 1)

Vậy phương trình của (α) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0.

Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): x + y + 2z – 7 = 0

Vậy phương trình của (α) có dạng : x + y + 2z + D = 0

(α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.

Vậy phương trình của (α) là x + y + 2z = 0.

Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β): x + 2y – z = 0.

Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là AB→ = (2; 2; 1) và nβ→ = (1; 2; −1).

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ = (−4; 3; 2)

Vậy phương trình của (α) là: -4x + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0

(α)//(β)

⇔ 

d(M,(α)) = 2

d(M,(β)) = 28/5

d(M,(γ)) = 5

Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng (α) và (β)

⇔ d(M, (α)) = d(M, (β))

⇔ 3x – y + 4z + 5 = 0

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1), D’(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)

Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là :

x + y – z = 0 và x + y – z – 1 = 0

Ta có:

Vậy (AB’D’) // (BC’D)

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1), D’(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)

d((AB′D′),(BC′D)) = d(A,(BC′D)) = 1/3

Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: nβ→ = (3; −2; 2) và nγ→ = (5; −4; 3).

Suy ra nα→ = nβ→ ∧ nγ→ = (2; 1; −2)

Mặt khác (α)(α) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là nα→. Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.

Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm B, C, D nên

(α) có phương trình theo đoạn chắn là:

hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0

(α1) // (α'1)

(α2) cắt (α'2)

(α3) ≡ (α'3)

Mặt phẳng (β) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α):

2x – y + 3z + 4 = 0, do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (β) là: j→ = (0; 1; 0) và nα→ = (2; −1; 3)

Suy ra (β) có vecto pháp tuyến là nβ→ = j→ ∧ nα→ = (3; 0; −2)

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: nβ→ = (3; 0; −2)

Vậy phương trình của (β) là: 3(x – 2) – 2(z – 2) = 0 hay 3x – 2z – 2 = 0

Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0).

Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là:

Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1):

Thể tích của tứ diện OABC là:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

⇒ abc ≥ 27.6 ⇒ V ≥ 27

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ V = 27

Vậy phương trình mặt phẳng (α) thỏa mãn đề bài là:

hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0