Bài 2: Phương trình mặt phẳng

d(M,($\mathrm{\alpha }$)) = 2

d(M,($\mathrm{\beta }$)) = 28/5

d(M,($\mathrm{\gamma }$)) = 5

Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) và ($\mathrm{\beta }$)

⇔ d(M, ($\mathrm{\alpha }$)) = d(M, ($\mathrm{\beta }$))

⇔ 3x – y + 4z + 5 = 0

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1), D’(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)

Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là :

x + y – z = 0 và x + y – z – 1 = 0

Ta có:

Vậy (AB’D’) // (BC’D)

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0), B(1;0; 0), D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1), D’(0; 1; 1), C’ (1; 1; 1)

d((AB′D′),(BC′D)) = d(A,(BC′D)) = 1/$\sqrt{3}$

Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) vuông góc với hai mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) và ($\mathrm{\gamma }$), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ($\mathrm{\alpha }$) là: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ = (3; −2; 2) và $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\gamma }}}$ = (5; −4; 3).

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\gamma }}}$ = (2; 1; −2)

Mặt khác ($\mathrm{\alpha }$)($\mathrm{\alpha }$) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$. Vậy phương trình của ($\mathrm{\alpha }$) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.

Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua ba điểm B, C, D nên

($\mathrm{\alpha }$) có phương trình theo đoạn chắn là:

hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0

(${\mathrm{\alpha }}_1$) // ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_1$)

(${\mathrm{\alpha }}_2$) cắt ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_2$)

(${\mathrm{\alpha }}_3$) $\equiv$ ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_3$)

Mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$):

2x – y + 3z + 4 = 0, do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ($\mathrm{\beta }$) là: $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ = (0; 1; 0) và $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; −1; 3)

Suy ra ($\mathrm{\beta }$) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ ∧ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (3; 0; −2)

Mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ = (3; 0; −2)

Vậy phương trình của ($\mathrm{\beta }$) là: 3(x – 2) – 2(z – 2) = 0 hay 3x – 2z – 2 = 0

Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0).

Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là:

Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1):

Thể tích của tứ diện OABC là:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

⇒ abc $\ge$ 27.6 ⇒ V $\ge$ 27

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ V = 27

Vậy phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) thỏa mãn đề bài là:

hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0