Bài 2: Mặt cầu

Diện tích tam giác BCD bằng:

Diện tích này lớn nhất khi AI // CD.

Ta có AH $\perp$ DC. Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông. Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$).

Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại ${\mathrm{C}}_1$. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm ${\mathrm{C}}_2, {\mathrm{B}}_2$. Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1 và đi qua A và ${\mathrm{C}}_2$

Do đó, ta có:${{\mathrm{BB}}_1}^2=\mathrm{BA}.{\mathrm{BC}}_2$

trong đó 

Do đó 

Vậy

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm ${\mathrm{C}}_2$ của đoạn AB. Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm ${\mathrm{B}}_2$ của AC.

Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

Do đó

Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.

Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS; CQ = CR = CN; DR = DS = DP

Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS = AN + NC + BS + SD = AC + BD

Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC

Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.

Ta có AH $\perp$ (BCD). Do đó

Vậy

Mặt khác ${\mathrm{OC}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{HC}}^2$

hay OC = OB = OD = (a$\sqrt{2}$)/2

Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và ${\mathrm{IC}}^2={\mathrm{IH}}^2+{\mathrm{HC}}^2$

Chú ý rằng IH = OH/2 (vì HC′ = HC/2)

Do đó:

Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng $∆$ đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE chính là giao điểm của Δ và mp(ABNM). Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).

Vậy KN và $∆$ đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.

Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì $\angle$OKI = $\angle$MAE = 45$°$

Ta có OI = IK, trong đó

Vậy

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$). Theo giả thiết ta có $\angle$OAH = 30$°$

Do đó:

Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi ($\mathrm{\alpha }$) và hình cầu là:

Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có OI ⊥ AB. Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.

Do đó

Vậy AB = 2AI = r

Chú ý: Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc $\angle$OAB = 60$°$ nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.

Theo giả thiết ta có AH = 4r/3

Ta suy ra OH = r/3. Gọi r’ là bán kính của đường tròn (C).

Ta có:

Vậy diện tích của hình tròn (C) là:

Vì BCD là tam giác đều nên ta có:

Diện tích của tam giác đều BCD là:

Thể tích hình chóp A.BCD là:

Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:

Do đó