109 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu có đáp án (Mới nhất)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM // SA nên $IM\perp \left(ABC\right)$

Do đó IM là trục của $\Delta ABC$, suy ra IA = IB = IC

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS = IC = IA

Từ (1) và (2) ta có IS = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi $O=AC\cap BD$, suy ra $SO\perp \left(ABCD\right)$

Ta có ${60}^0\text{=}\widehat{SB,\left(ABCD\right)}=\widehat{SB,OB}=\widehat{SBO}$

Trong $\Delta SOB$, ta có $SO=OB.\tan \widehat{SBO}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB

Gọi  $$\begin{gathered} I=SO\cap d\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}I\in SO\\ I\in d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IA=IB=IC=ID\\ IS=IB\end{array}\right. \\ \Rightarrow IA=IB=IC=ID=IS=R \end{gathered}$$

Xét $\Delta SBD$ có $\left\{\begin{array}{l}SB=SD\\ \widehat{SBD}=\widehat{SBO}={60}^o\end{array}\right.\Rightarrow \Delta SBD$đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của $\Delta SBD$. Suy ra I là trọng tâm $\Delta SBD$.

Ta có $SA\perp AD$ hay $\widehat{SAD}={90}^0.$

Gọi E là trung điểm AD

Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

Suy ra $CE=EA=\frac{1}{2}AD$

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}DC\perp AC\\ DC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow DC\perp \left(SAC\right)\Rightarrow DC\perp SC$ hay $\widehat{SCD}={90}^0.$

Tương tự, ta cũng có $SB\perp BD$ hay $\widehat{SBD}={90}^0.$

Ta có ${45}^0=\widehat{SC,\left(ABCD\right)}=\widehat{SC,AC}=\widehat{SCA}$

Trong $\Delta SAC$, ta có $h=SA=a\sqrt{5}.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp BN$

Lại có $NA\perp AC$. Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính $R=JN=\frac{NC}{2}=\frac{1}{2}.\sqrt{A{C}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\frac{5a}{4}.$

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF // BD

$\Delta SAC$ cân tại A, trung tuyến AM nên $AM\perp SC$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC$

Do đó $EF\perp SC$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $SC\perp \left(\alpha \right)\Rightarrow SC\perp AE$ (*)

Lại có $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AE$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $AE\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AE\perp SB$. Tương tự ta cũng có $AF\perp SD.$

Gọi $O=AC\cap BD$

Vì ABCD là hình vuông nên OB = OD = OC (1)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CB\perp AB\\ CB\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow CB\perp \left(SAB\right)\Rightarrow CB\perp AH$

Lại có $AH\perp SB$

Suy ra $AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HC$ nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH = OC.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $R=OH=OB=OD=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Theo giả thiết, ta có $\widehat{ABC}={90}^0$ và $\widehat{AKC}={90}^0$    (1)

Do $\left\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ BC\perp AH\left(BC\perp \left(SAB\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp HC.$     (2)

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 90^o nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính $R=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có ${60}^0=\widehat{SD,\left(ABCD\right)}=\widehat{SD,HD}=\widehat{SDH}$

Trong tam giác vuông SHB, có

$SH=\frac{BD}{4}.\tan \widehat{SDH}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ và $SD=\frac{HD}{\cos \widehat{SDH}}=\frac{a}{2}.$

Trong tam giác vuông SHB, có $SB=\sqrt{S{H}^2+H{B}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét tam giác SBD, ta có $S{B}^2+S{D}^2=a^2=B{D}^2$

Suy ra tam giác SBD vuông tại S

Ta có ${60}^0=\widehat{SA,\left(ABC\right)}=\widehat{SA,HA}=\widehat{SAH}$

Tam giác ABC đều cạnh a  nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Trong tam giác vuông SHA, ta có $SH=AH.\tan \widehat{SAH}=\frac{3a}{2}$

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với $\left(SAB\right)$ nên bán kính mặt cầu $R=d\left[G,\left(SAB\right)\right].$

Ta có $d\left[G,\left(SAB\right)\right]=\frac{1}{3}d\left[C,\left(SAB\right)\right]=\frac{2}{3}d\left[H,\left(SAB\right)\right].$

Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}CM\perp AB\\ CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}HE\perp AB\\ HE=\frac{1}{2}CM=\frac{a\sqrt{3}}{4}\end{array}\right.$

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, suy ra $HK\perp SE$. (1)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}HE\perp AB\\ AB\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SHE\right)\Rightarrow AB\perp HK.$    (2)

Từ (1) và (2), suy ra  nên $d\left[H,\left(SAB\right)\right]=HK$

Trong tam giác vuông SHE, ta có $HK=\frac{SH.HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{3a}{2\sqrt{13}}$

Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Từ G dựng tia $Gx\perp \left(ABC\right)$ (như hình vẽ).

Suy ra Gx là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SA, Gx) kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA

Gọi $O=Gx\cap d\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}O\in Gx\\ O\in d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OA=OB=OC\\ OA=OS\end{array}\right.$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OS=R$

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Ta có $OG=PA=\frac{1}{2}SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OBC.$

Kẻ $Mx\perp \left(OBC\right)$ (như hình vẽ).

Suy ra Mx là trục của $\Delta OBC$

Trong mặt phẳng (OA, Mx), kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Ta có ${60}^o=\widehat{SI,\left(ABC\right)}=\widehat{SI,AI}=\widehat{SIA}$

Trong $\Delta SAI$, ta có $SA=AI.\tan \widehat{SIA}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Kẻ $Ix\perp \left(ABC\right)$ (như hình vẽ).

Suy ra Ix là trục của $\Delta ABC$

Trong mặt phẳng (SA,Ix), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J. Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD. Kẻ $Gx\perp \left(ACD\right)$ , suy ra Gx là trục của $\Delta ACD$

Gọi M là trung điểm AB, suy ra $SM\perp AB$ và $SM\perp \left(ABC\right)$

Do đó SM là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SMB) , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R = RI

Ta có ${60}^0=\widehat{AB\text{'},\left(ABC\right)}=\widehat{AB\text{'},AB}=\widehat{B\text{'}AB}$

Trong $\Delta ABC$, ta có $AB=AC.\sin \widehat{ACB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Trong $\Delta B\text{'}BA$, ta có $BB\text{'}=AB.\tan \widehat{B\text{'}AB}=\frac{3a}{2}.$

Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Gọi I là trung điểm A'C , suy ra $IN\parallel AA\text{'}\Rightarrow IN\perp \left(ABC\right)$

Do đó IN là trục của $\Delta ABC$, suy ra $IA=IB=IC. \left(1\right)$

Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA' = IC = IA (2)

Gọi M là trung điểm B'C', ta có

${60}^0=\widehat{\left(AB\text{'}C\text{'}\right),\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)}=\widehat{AM,A\text{'}M}=\widehat{AMA\text{'}}$

Trong $\Delta AA\text{'}M$, có $A\text{'}M=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $AA\text{'}=A\text{'}M.\tan \widehat{AMA\text{'}}=\frac{3a}{2}$

Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A'B'C', suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$

Vì lặng trụ đứng nên $GG\text{'}\perp \left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}\right)$

Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'

Trong mặt phẳng (GC'G'), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C', bán kính R = GI

Ta có $\Delta GPI đồng dạng\Delta GG\text{'}C\text{'}\Rightarrow \frac{GP}{GI}=\frac{GG\text{'}}{GC\text{'}}$

$\Rightarrow R=GI=\frac{GP.GC\text{'}}{GG\text{'}}=\frac{GC{\text{'}}^2}{2GG\text{'}}=\frac{GG{\text{'}}^2+G\text{'}C{\text{'}}^2}{2GG\text{'}}=\frac{31a}{36}$

Hai câu A và B đúng