Bài 1: Bất đẳng thức

Mệnh đề đúng là a) 3,25 < 4 và c) -√2 ≤ 3

Mệnh đề sai là b) 

a) 2√2 < 3 ( vì 8 < 9 nên √8 < √9 hay 2√2 < 3 )

b) 4/3 > 2/3

c) 3 + 2√2 = (1 + √2)2 ( vì (1 + √2)2 = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 )

d) a2 + 1 > 0 với a là một số đã cho ( vì a2 ≥ 0 với mọi a nên a2 + 1 ≥ 1 > 0 )

a < b ⇔ a + (-b) < b +(-b) ⇔ a - b < 0

x < 3 ⇔ -2x > -6

Từ bất đẳng thức Cô- si:

√xy ≤ (x + y)/2 ⇔ x + y ≥ 2√xy với x,y > 0

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Do tích xy không đổi nên 2√xy không đổi ⇒ Tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách của số đó đến điểm 0 trên trục số nằm ngang.

|0| = 0;       |1,25| = 1,25;

|(-3)/4| = 3/4;       |-π| = π

a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0

Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x < 0 thì a sai)

b) Ta có: 4 < 8 nên để 4x > 8x thì x < 0 .

Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x < 0

c) chỉ đúng khi x ≠ 0

d) Ta có: 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số)

Do đó, khẳng định đúng với mọi x.

Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: - 1 < 0 < 1. Do đó,

 hay C < A < B.

Lại có x > 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)

⇒  (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với  )

Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)2 < a2

⇔ a2 – (b – c)2 > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)2 < c2 (2)

(c – a)2 < b2 (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2

⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2

⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2

⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).