9 câu Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước có đáp án
9 câu hỏi
Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức x2+1x12 ta có hệ số của một số hạng chứa xm bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
Số hạng thứ k+1 trong khai triển là
C12kx212−k.1xk=C12k.x24−2k.x−k=C12k.x24−3k.
Hệ số của số hạng xm là 495 nên C12k=495⇔12!k!12−k!=495⇔k=4k=8.
Khi đó m=24−3k sẽ có 2 giá trị là m=0 và m=12.
Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1+xn có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 715.
Ta có 1+xn=Cn0+Cn1x+...+Cnkxk+Cnk+1xk+1+...+Cnnxn.
CnkCnk+1=715⇔n!k!n−k!.k+1!n−k−1!n!=715⇔k+1n−k=715.⇒15k+1=7n−k⇔7n=15+22k⇔7n=73k+2+k+1.
Vì k;n∈ℕ nên ta có k+1⋮7⇒kmin=6⇒nmin=21.
Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1+ax1+x4 có chứa số hạng 22x3.
a=5
a=-3
a=3
a=2
Ta có 1+ax1+x4=1+x4+ax.1+x4.
Xét khai triển x+14=x4+4x3+6x2+4x+1.
Suy ra số hạng chứa x3 là 4x3.
Xét khai triển axx+14=axx4+4x3+6x2+4x+1=ax5+4ax4+6ax3+4ax2+ax.
Suy ra số hạng chứa x3 là 6ax3.
Suy ra số hạng chứa x3 trong cả khai triển là 6a+4x3.
Theo đề ra, ta có 6a+4=22⇔a=3.
Đáp án C
Biết rằng hệ số của xn−2 trong khai triển x−14n bằng 31. Tìm n.
n=32
n=30
n = 31
n=33
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có x−14n=∑k=0nCnkxn−k−14k.
Hệ số của xn−2 nên ta có xn−2=xn−k⇔k=2.
Ta có Cn2−142=31⇔Cn2=492⇔n=32.
Vậy n=32.
Đáp án A
Xét khai triển 1+3xn=a0+a1x+a2x2+...+anxn với n∈ℕ*,n≥3. Giả sử a1=27, khi đó a2 bằng
1053.
243.
324.
351.
Ta có: 1+3xn=∑k=1nCnk3xk=a0+a1x+a2x2+...+anxn.
Theo giả thiết: .a1=27⇔Cn131=27⇔Cn1=9⇔n=9
Suy ra a2=C9232=324.
Đáp án C
Số hạng không chứa x trong khai triển x2−1xn biết An2−Cn2=105 là
-3003.
-5005.
5005.
3003.
Ta có: An2−Cn2=105⇔n!n−2!−n!2!n−2!=105
⇔12nn−1=105⇔n2−n−210=0⇔n=15n=−14⇒n=15
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là Tk+1=C15k.x215−k.−1xk=C15k.−1k.x30−3k.
Số hạng không chứa x ứng với 30−3k=0⇔k=10.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C1510.−110=3003.
Đáp án D
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An2=Cn2+Cn1+4n+6. Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thức Px=x2+3xn,x≠0 bằng
18564.
64152.
192456.
194265.
Với n≥2, ta có:
An2=Cn2+Cn1+4n+6⇔nn−1=nn−12+n+4n+6
⇔n2−11n−12=0⇔n=−1n=12⇒n=12
Với n=12 ta có khai triển: Px=∑k=012C12k.x212−k.3xk=∑k=012C12k.3k.x24−3k
Số hạng chứa x9 ứng với 24−3k=9⇔k=5
Vậy hệ số cần tìm là 35C125=192456
Đáp án C
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1=Cn3. Số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn P=nx214−1xn với x≠0 là
−3516
−1635
−3516x5
−1635x5
Điều kiện: n∈ℕ,n≥3.
Ta có 5Cnn−1=Cn3⇔5.n!1!.n−1!=n!3!.n−3!⇔5n−3!n−2n−1=16.n−3!
.⇔n2−3n−28=0⇔n=7n=−4⇒n=7
Với n=7, ta có P=x22−1x7
Số hạng thứ k+1 trong khai triển là Tk+1=−1k27−k.C7k.x14−3k
Số hạng chứa x5 ứng với 14−3k=5⇔k=3
Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển là −1324C73x5=−3516x5
Đáp án C
Số hạng không chứa x trong khai triển của xx+1x4n với x>0 nếu biết rằng Cn2−Cn1=44 là
165.
238.
485.
525.
Với n≥2 ta có: Cn2−Cn1=44⇔nn−12−n=44⇔n=11n=−8⇒n=11Với n=11 ta có khai triển: xx+1x411=∑k=011C11k.xx11−k.1x4k=∑k=011C11k.x33−11k2
Số hạng không chứa x ứng với 33−11k2=0⇔k=3
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C113=165
Đáp án A
