12 câu Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn có đáp án

Xét khai triển 1+xn=Cn0+x.Cn1+x2.Cn2+...+xn.Cnn (*)
Thay x=1;n=2020 vào (*), ta được: 22020=C20200+C20201+C20202+...+C20202020 (1).
Thay x=−1;n=2020 vào (*), ta được 0=C20200−C20201+C20202−...+C20202020 (2).
Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 2S=22020⇒S=22019.

Ta có khai triển 1+x2n+1=C2n+10+C2n+11x+C2n+12x2+...+C2n+12n+1x2n+1. (*)
Thay x=1 vào (*) ta được 22n+1=C2n+10+C2n+11+C2n+12+...+C2n+12n+1. (1)
Thay x=−1 vào (*) ta được 0=C2n+10−C2n+11+C2n+12−...−C2n+12n+1. (2)
Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được C2n+11+C2n+13+C2n+15+...+C2n+12n+1=22n.
Từ giả thiết ta có: 1024=22n⇔n=5.
Suy ra 2−3x10=∑k=0nC10k.−3k.210−k.xk.
Hệ số của x7 trong khai triển là C107.−37.23=−8.37.C107.

Ta có khai triển 1+x2017=C20170+C20171x+C20172x2+...+C2017kxk+...+C20172017x2017
Thay x= 1 ta được 22017=C20170+C20171+C20172+...+C2017k+...+C20172017.
Suy ra 22017=1+S⇒S=22017−1
Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển 1+12017 thì được
 22017=C20170+C20171+C20172+...+C2017k+...+C20172017 .. Suy ra S=22017−1

Đáp án C

Xét khai triển nhị thức x+210=∑k=010C10kx10−k2k=C100x10+2C101x9+22C102x8+...+210C1010
Cho x=1, ta được 310=1+210=C100+2C101+22C102x8+...+210C1010

Đáp án C

Sử dụng đẳng thức Cnk=Cnn−k ta được:
S=C158+C159+C1510+...+C1515=C157+C156+C155+...+C150
 ⇒2S=C158+C159+C1510+...+C1515+C157+C156+C155+...+C150=∑k=015C15k=215⇒S=214
Vậy S=C158+C159+C1510+...+C1515=214

Đáp án B

Xét khai triển a+bn=Cn0.a0.bn+Cn1.a1.bn−1+...+Cnn.an.b0
Với  : a=5 , b=1 ta có 5+1n=Cn0.50.1n+Cn1.51.1n−1+...+Cnn.5n.10=Cn0+5Cn1+...+5nCnn=Ahay A=6n

Đáp án C

Xét khai triển 1+x+x21009=a0+a1x+a2x2+...+a2018x2018. (1)
Thay x=1 vào (1) ta được:a0+a1+...+a2018=1+1+11009=31009.

Đáp án A

Xét số hạng tổng quát 1k+1C2017k, ta có: 1k+1C2017k=11+k.2017!k!2017−k!=12018.2018!k+1!2017−k!=12018C2018k+1
. Vậy 1k+1C2017k=12018C2018k+1
⇒S=12018C20180+C20181+C20182+...+C20182018−C201802018=1201822018−12018=22018−12018

Đáp án B

Ta có 3−1n=3nCn0−3n−1Cn1+3n−2Cn2−...+−1nCnn
⇔2n=2048⇔2n=211⇔n=11
Xét khai triển x+211=∑k=011C11kx11−k.2k
Tìm hệ số của x10 tương ứng với tìm k∈ℕk≤11 thỏa mãn 11−k=10⇔k=1.
Vậy hệ số của x10 trong khai triển x+211 là C111.2=22.

Đáp án B

Xét khai triển: x−280=a0+a1x+a2x2+...+a80x80. (1)
Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được:
80x−279=a1+2a2x+3a3x2+...+80a80x79 (2)
Thay x= 1 vào (2) ta được: S=801−279=−80

Đáp án D

Do C2n+1k=C2n+12n+1−k ∀k=0,1,2,...,2n+1 nên 
C2n+10+C2n+11+...+C2n+1n=C2n+1n+1+C2n+1n+2+...+C2n+12n+1
Mặt khác: C2n+11+C2n+12+...+C2n+12n+1=22n+1Suy ra  2C2n+10+C2n+11+C2n+12+...+C2n+1n=22n+1
⇔C2n+11+C2n+12+...+C2n+1n=22n−C2n+10=22n−1
⇔22n−1=220−1⇔n=10
Khi đó: 1x4+x710=x−4+x710=∑k=010C10kx−410−k.x7k=∑k=010C10k.x11k−40
Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k:  11k−40=26⇒k=6
Vậy hệ số chứa x26 là C106=210

Đáp án A

Xét khai triển 1+xn=Cn0+x.Cn1+x2.Cn2+...+xn.Cnn (*).
Thay x=−1; n=2018 vào (*), ta được 0=C20180+C20181+C20182+...+C20182018.
Vậy S=0.

Đáp án A