18 câu Dạng 2: Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợpcó đáp án
18 câu hỏi
Từ các số tự nhiên 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
Mỗi cách sắp xếp thứ tự bốn chữ số 1,2,3,4 ta được một số tự nhiên theo yêu cầu đề bài.
Do đó số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4 là: 4!=24
Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh trong đó có An và Bình vào một hàng ghế dài gồm 7 ghế sao cho An và Bình ngồi ở hai ghế đầu?
An và Bình chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có cách xếp.
Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có cách xếp.
Vậy ta có 2!.5! = 240 cách xếp.
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Có 8! cách xếp 8 người.
Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Khi đó có 2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là cách xếp 8!-2!.7!=30240.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,...,9?
15120
95
59
126
Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số là số cách sắp xếp thứ tự 5 chữ số khác nhau từ 9 chữ số đã cho.
Do đó số các số thỏa mãn là:
A95 =15120Chọn A
Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh ngồi xung quanh một bàn tròn có 8 ghế?
Xếp 8 học sinh theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn, sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có 7! cách.
Vậy có 7!=5040 cách.
Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng. Các viên bi khác nhau có cùng kích cỡ. Tính số cách lấy ra 5 viên bi và sắp xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ.
Số cách chọn ra 5 viên bi bất kì là C455 cách.
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó không có viên bi đỏ nào là C353cách.
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là C455−C355cách.
Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là 5!.
Theo quy tắc nhân ta có 5!.C455−C355=107655240 (cách).
Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A,B,C,D,E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho số sách còn lại có đủ cả ba loại?
Trường hợp 1: Tặng hết 4 cuốn sách Toán.
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.
Vậy có 6 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A55=120 cách.
Vậy có 6.120=720 cách.
Trường hợp 2: Tặng hết 3 cuốn sách Lí.
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là C72 cách.
Vậy có 21 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A55=120 cách.
Vậy có 21.120=2520 cách.
Trường hợp 3: Tặng hết 3 cuốn sách Hóa: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là C105.A55=30240 cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240−720−2520−2520=24480 (cách).
Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào 7 toa tàu sao cho còn trống đúng 3 toa?
Ta thực hiện các bước sau:
Chọn 4 toa trong 7 toa để sắp xếp người, ta có C74 cách chọn.
Chọn 1 toa và chọn 2 người cùng lên một toa đó có C52.C41 cách chọn.
Xếp 3 người vào 3 toa còn lại đã chọn, có 3! cách chọn.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: C74.C52.C41.3!=8400 (cách).
Cho tập A có n phần tử n∈ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?
Số hoán vị của (n+1) phần tử là Pn=1.2.3...n−2n−1n.
Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Ank=n!n−k! với k≤n,k∈ℕ*.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk=n!k!n−k! với k≤n,k∈ℕ.
Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của phần tử n. Vì vậy Pn=Ann.
Số các hoán vị của (n+1) phần tử là Pn+1=1.2.3...(n-2)(n-1)n(n+1) nên A sai.
Chọn A
Một tổ gồm có 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho trong đó luôn có bạn nam và nữ?
120 (cách).
126 (cách).
6 (cách).
60 (cách).
Có C94 cách chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn.
Có C54 cách chọn 4 bạn nam.
Có C44 cách chọn 4 bạn nữ.
Vậy ta có số cách chọn 4 bạn luôn có cả bạn nam và nữ là: C94-C54-C44=120 (cách).
Chọn A
Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và có ít nhất 1 nữ?
12900 (cách).
450 (cách).
633600 (cách).
15494 (cách).
+ Chọn 2 nam, 3 nữ có: C10 2.C103cách.
+ Chọn 3 nam, 2 nữ có: C103.C10 2cách.
+ Chọn 4 nam, 1 nữ có:C10 4.C10 1cách.
Áp dụng quy tắc cộng ta có C10 2.C103+C103.C102+C104.C101=12900(cách).
Chọn A
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam, 2 bạn nữ và 1 cô giáo ngồi vào một bàn tròn có 6 chỗ sao cho cô giáo ngồi giữa 2 bạn nữ?
2 (cách).
72 (cách).
12 (cách).
36 (cách).
Chọn vị trí cho cô giáo trên bàn tròn, có 1 cách chọn.
2 bạn nữ ngồi hai bên cô giáo là hoán vị của 2, vậy có 2! cách xếp.
Còn lại 3 bạn nam xếp vào 3 chỗ còn lại, vậy có 3! cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 2!.3!=12 cách xếp.
Chọn C
Một trường cấp 3 có 8 giáo viên toán gồm 3 nữ và 5 nam, giáo viên vật lý thì có 4 giáo viên nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra có 3 người trong đó có đủ hai môn toán lý vả có đủ giáo viên nam và giáo viên nữ?
90 (cách).
60 (cách).
12960 (cách).
120 (cách).
+ Chọn 1 nam toán, 1 nữ toán, 1 nam lý có C51.C31.C41cách
+ Chọn 1 nữ toán, 2 nam lý: C31.C42cách.
+ Chọn 2 nữ toán, 1 nam lý: C32.C41cách.
Áp dụng quy tắc cộng ta có C51.C31.C41+C31.C42+C32.C41=90(cách chọn).
Chọn A
Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 tới 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 11 tới 30. Lấy hai quả bất kì trong hộp. Có bao nhiêu cách lấy được hai quả cầu có số chẵn?
210 (cách).
55 (cách).
50 (cách).
105 (cách).
Trong 30 quả cầu ta có 15 quả cầu có số chẵn. Do đó chọn 2 quả bất kì trong 15 quả sẽ là tổ hợp chập 2 của 15, ta có C152=105cách chọn.
Chọn D
Cho hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai có chứa 7 quả cầu xanh, 6 quả cầu vàng. Lấy mỗi hộp 2 quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy được tổng cộng 4 quả mà có đủ 3 màu?
981 (cách).
2184 (cách).
1944 (cách).
630 (cách).
+ Ở hộp thứ nhất chọn 2 quả đỏ, hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng:
có C32.C71.C61cách chọn.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 1 quả xanh, 1 quả vàng:
có C51.C31.C71.C61cách chọn.
+ Ở hộp thứ nhất chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ và hộp thứ hai chọn 2 quả vàng:
có C51.C31.C62 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có C32.C71.C61+C51.C31.C71.C61+C51.C31.C62=981 (cách chọn).
Chọn A
Có bao nhiêu cách chia 9 món quà khác nhau cho 3 người sao cho một người có 2 món quà, một người 3 món quà, một người có 4 món quà?
381024 (cách).
30240 (cách).
5040 (cách).
7560 (cách).
Số cách chọn ra 2 trong 9 món quà là: C92 cách. Chọn 1 trong 3 người để nhận quà có C31 cách.
Do đó có C92.C31cách chia một người nhận 2 món quà.
Chọn 3 món quà trong 7 món quà còn lại có C73 cách. Chọn 1 trong 2 người còn lại để nhận quà có 2 cách. Do đó có C73.2 cách chia một người nhận 3 món quà.
Còn lại 4 món quà và 1 người nên chỉ có 1 cách chọn.
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 108.70.1=7560 cách.
Chọn D
Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
80640 (cách).
108864 (cách).
145152 (cách).
217728 (cách).
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8! cách.
Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 2!.4.7! cách.
Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2!.A42.6!cách.
Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2!.A43.5!cách.
Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2!.A44.4!cách.
Vậy theo quy tắc cộng có 2!(8!+A417!+A426!+A435!+A444!)=145152 (cách).
Chọn C
Một bộ đề ôn tập môn Toán được chia thành 3 loại dễ, trung bình và khó. Số câu dễ là 10 câu, số câu trung bình là 15 câu và số câu khó là 5 câu. Thầy giáo chọn 5 câu bất kì để làm thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
C530 (cách chọn).
C305 (cách chọn)
C105.C155.C55 (cách chọn).
C105+C155+C55 (cách chọn).
Chọn 5 câu bất kì trong 30 câu để làm thành 1 đề thi có C305 cách chọn.
Chọn B
