17 câu Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn có đáp án

Ta có 2x+110=∑k=010C10k.2xk=∑k=0102kC10k.xk.

Số hạng chứa x5 ứng với k=5.

Hệ số cần tìm là C105.25=8064.

Số hạng không chứa x ứng với k=0.

Hệ số cần tìm là C100.20=1.

Ta có số hạng tổng quát là

Tk+1=Cnkan−kbk=C21kx21−k.−2x2k=−2kC21kx21−3k.

Số hạng không chứa x ứng với 21−3k=0⇔k=7.

Vậy hệ số cần tìm là −27C217.

Số hạng tổng quát của khai triển là x3.C8k−xk=C8k−1kxk+3.
Số hạng chứa x6 khi k+3=6⇔k=3 .
Vậy hệ số cần tìm là C83−13=−56.

Ta có 2x3−3x10=2.x13−3.x−1210.
Số hạng tổng quát trong khai triển là
C10k2x1310−k.−3x−12k=−1k.210−k.3k.x10−k3.x−k2=−1kC10k.210−k.3k.x20−5k6.
Số hạng không chứa x ứng với 20−5k=0⇔k=4
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là
−14C104.26.34=210.64.81=1088640.

Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát của khai triển là Px=x2+x+110
.Tp=C10p.Cpq.x210−p.xp−q.1q=C10p.Cpq.xp−q+20−2p
Theo đề bài thì p−q+20−2p=2⇔p+q=18.
Do 0≤q≤p≤10 nên p;q∈9;9;10;8.
Vậy hệ số của x2 trong khai triển Px=x2+x+110 là C109.C99+C1010.C108=55.

Ta có 1−2x+2015x2016−2016x2017+2017x201860
=1−2x+x20162015−2016x+2017x260=C6001−2x60+C6011−2x59x20162015−2016x+2017x2+...+C6060x20162015−2016x+2017x260
Ta thấy chỉ có số hạng chứa nên hệ số của số hạng C6001−2x60 chứa x3 là C600.C603−23=−8C603

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức 2x+113 là ak=C13k.213−k
với k=1;2;3;...;13
Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,...,a13.
Khi đó ta có ak≥ak+1ak≥ak−1⇔C13k.213−k≥C13k+1.212−kC13k−1.214−k≤C13k.213−k⇔k≥113k≤143⇒k=4.
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
a4=C134.29=366080.

Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk=C9k39−k23k.
Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để Tk là một số nguyên thì
k∈ℕ0≤k≤99−k⋮2k⋮3⇔k=3⇒T3=C9336233=4536k=9⇒T9=C9930239=8.
Dễ thấy 4536>8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T3=4536.

Xét khai triển x+16 thấy ngay số hạng chứa x5 có hệ số là C61 .
Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của x5 là C72,C83,...,C127.
Do đó hệ số cần tìm là C61+C72+...+C127=1715.

Đáp án A

Số hạng tổng quát của khai triển: Tk+1=C6kx6−k2xk=C6k2kx6−32k
Số hạng chứa x3 ứng với 6−32k=3⇔k=2
Vậy hệ số của x3 là C62.22=60.

Đáp án A

Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn 3−2x15 là
Tk+1=C15k.315−k.−2xk=−1kC15k315−k2kxk
Để số hạng chứa x7 thì k=7.
Vậy hệ số của số hạng chứa x7 là −C1573827.Đáp án C

Ta có khai triển 2x−38=∑k=08C8k.28−k.x8−k.−3k
Số hạng chứa x5 ứng với 8−k=5⇔k=3.
Hệ số cần tìm là C83.28−3.−33=−C83.25.33.

Đáp án B

Ta có khai triển x−y20=∑k=020C20kx20−kyk.−1k.
Ứng với số hạng chứa x12y8 thì 20−k=12k=8⇔k=8.
Vậy hệ số của số hạng chứa x12y8 là −18.C208=125970.

Đáp án C

Hệ số của x5 trong khai triển x1−2x5 là −24.C54.
Hệ số của x5 trong khai triển x21+3x10 là 33.C103.
Vậy hệ số của x5 trong khai triển x1−2x5+x21+3x10 là −24.C54+33.C103=3320.

Đáp án C

Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát của khai triển Px=3x2+x+110 là
.Tp=C10p.Cpq.3x210−p.xp−q.1q=C10p.Cpq.310−p.xp−q+20−2p
Theo đề bài ta có p−q+20−2p=4⇔p+q=16.
Do 0≤q≤p≤10 nên p;q∈8;8;9;7;10;6.
Vậy hệ số của x4 trong khai triển Px=3x2+x+110 là
 C108.C88.310−8+C109.C97.310−9+C1010.C106.310−10=1695

Đáp án A

Ta có 5−74124=∑k=0124C124k.−1k.5124−k2.7k4
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 124−k2∈ℤk4∈ℤ⇔k∈0;4;8;12;...;124.
Vậy số các giá trị k là 124−04+1=32.

Đáp án C