18 câu Dạng 3: Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp có đáp án

Điều kiện: $x\in \mathbb{N},x\ge 2.$

$3{\text{A}}_x^2-A_{2\text{x}}^{{}^2}=0\iff 3.\frac{x!}{\left(x-2\right)!}-\frac{\left(2\text{x}\right)}{\left(2\text{x}-2\right)!}+42=0$

$\iff 3\text{x}\left(x-1\right)-2\text{x}\left(2\text{x}-1\right)+42=0\iff -x^2-x+42=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-7\\ x=6\end{array}\right.\Rightarrow x=6.$

Vậy x=6 thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Điều kiện: $x\in \mathbb{N},0\le x\le 12.$

$C_{14}^x+C_{14}^{x+2}=2C_{14}^{x+1}\iff \frac{14!}{x!\left(14-x\right)!}+\frac{14!}{\left(x+2\right)!\left(12-x\right)!}=2\frac{14!}{\left(x+1\right)!\left(13-x\right)!}$

Rút gọn cả hai vế đại lượng $\frac{14!}{x!\left(12-x\right)!}$ ta được:

$\frac{1}{\left(14-x\right)\left(13-x\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{2}{\left(x+1\right)\left(13-x\right)}$

$\iff \left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(14-x\right)\left(13-x\right)=2\left(14-x\right)\left(x+2\right)$

$\iff x^2-12x+32=0\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=8\end{array}\right.$

 (thỏa mãn).

Vậy tích các giá trị của x là 32.

Chọn D.

Điều kiện: $3\le x\in \mathbb{N}.$

Ta có $C_x^1+6C_x^2+6C_x^3=9x^2-14x$

$\iff \frac{x!}{\left(x-1\right)!}+6\frac{x!}{2!.\left(x-2\right)!}+6\frac{x!}{3!.\left(x-3\right)!}=9x^2-14x$

$\iff x+3x^2-3x+x^3-3x^2+2x=9x^2-14x$

 $\iff x\left(x^2-9x+14\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=7\end{array}\right.\Rightarrow x=7$(do $x\ge 3$).

Vậy x=7 thỏa mãn đề bài.

Điều kiện: $n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

$P_n{A}_n^2+72=6\left(A_n^2+2P_n\right)\iff \left(P_n-6\right)\left(A_n^2-12\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{P}_n-6=0\\ A_n^2-12=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}n=3\\ n=4\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy $P=3.4=12.$

Chọn A.

Điều kiện: $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7\left(n+3\right)\iff \frac{\left(n+4\right)!}{3!\left(n+1\right)!}-\frac{\left(n+3\right)!}{3!n!}=7\left(n+3\right).$

$\iff \frac{\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{3!}-\frac{\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{3!}=7\left(n+3\right).$

$\iff \left(n+4\right)\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\left(n+1\right)=42$

$\iff n^2+6n+8-n^2-3n-2-42=0$

$\iff 3n-36=0\iff n=12$

(thỏa mãn).

Vậy $n=12$

Điều kiện: $n\in N,n\ge 2.$

$2C_{n+1}^2+3{\text{A}}_n^2<30\iff 2.\frac{\left(n+1\right)!}{2!\left(n-1\right)!}+3.\frac{n!}{\left(n-2\right)!}-30<0$

$\iff n\left(n+1\right)+3n\left(n-1\right)-30<0$

$\iff 4n^2-2n-30<0\iff -\frac{5}{2}<n<3.$

Mà $n\in \mathbb{N},n\ge 2$ nên $n=2.$

Chọn A.