8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Nhị thức Newton (Thông hiểu) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

$P\left(x\right)={\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$

$={\left(x^3\right)}^5+5.{\left(x^3\right)}^4.\left(-\frac{1}{x^2}\right)+10.{\left(x^3\right)}^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2+10.{\left(x^3\right)}^2.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+5.x^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5$

$=x^{15}-5.x^{12}.\frac{1}{x^2}+10.x^9.\frac{1}{x^4}-10.x^6.\frac{1}{x^6}+5.x^3.\frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}}$

$=x^{15}-5.x^{10}+10.x^5-10+5.\frac{1}{x^5}-\frac{1}{x^{10}}$

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo công thức nhị thức Newton, ta có: ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^4$

$={\left(x^2\right)}^4+4.{\left(x^2\right)}^3.\frac{1}{x}+6.{\left(x^2\right)}^2.{\left(\frac{1}{x}\right)}^2+4.x^2.{\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{x}\right)}^4$

$=x^8+4.x^6.\frac{1}{x}+6.x^4.\frac{1}{x^2}+4.x^2.\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}$

$=x^8+4.x^5+6.x^2+4.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^4}$

Ta thấy số hạng có hệ số bằng 6 là 6x².

Suy ra m = 2.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^4$

$=x^4+4x^3.\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)+6x^2.{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2+4x.{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3+{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^4$

$=x^4+4x^3.\frac{2}{\sqrt{x}}+6x^2.\frac{4}{x}+4x.\frac{8}{x\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

$=x^4+8x^2\sqrt{x}+24x+\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

Số hạng chứa x trong khai triển ${\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^4$ là 24x.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left(\frac{x}{2}+\frac{a}{x}\right)}^5$

$={\left(\frac{x}{2}\right)}^5+5.{\left(\frac{x}{2}\right)}^4.\left(\frac{a}{x}\right)+10.{\left(\frac{x}{2}\right)}^3.{\left(\frac{a}{x}\right)}^2+10.{\left(\frac{x}{2}\right)}^2.{\left(\frac{a}{x}\right)}^3+5.\frac{x}{2}.{\left(\frac{a}{x}\right)}^4+{\left(\frac{a}{x}\right)}^5$

$=\frac{x^5}{2^5}+5.\frac{x^4}{2^4}.\frac{a}{x}+10.\frac{x^3}{2^3}.\frac{a^2}{x^2}+10.\frac{x^2}{2^2}.\frac{a^3}{x^3}+5.\frac{x}{2}.\frac{a^4}{x^4}+\frac{a^5}{x^5}$

$=\frac{1}{2^5}{x}^5+\frac{5a}{2^4}{x}^3+\frac{10.a^2}{2^3}x+\frac{{\displaystyle 10a^3}}{{\displaystyle 2^2}}.\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}+\frac{{\displaystyle 5a^4}}{{\displaystyle 2}}.\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^3}}+\frac{{\displaystyle a^5}}{{\displaystyle x^5}}$

Số hạng chứa $\frac{1}{x^3}$ trong khai triển ${\left(\frac{x}{2}+\frac{a}{x}\right)}^5$ là: $\frac{5a^4}{2}.\frac{1}{x^3}$.

Theo đề, ta có hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{x^3}$ là 640.

Tức là, $\frac{5a^4}{2}=640$.

⇔ 5a⁴ = 1280

⇔ a⁴ = 256

⇔ a = 4 hoặc a = –4.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=5$         (n ∈ ℤ, n ≥ 2)

$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!\left(n+1-n+1\right)!}=5$

$\iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!2!}=5$

$\iff n\left(n-1\right)-\frac{\left(n+1\right)n}{2}=5$

⇔ 2n² – 2n – n² – n = 10

⇔ n² – 3n – 10 = 0

⇔ n = 5 hoặc n = –2.

Vì n nguyên dương nên ta nhận n = 5.

Vậy ta chọn phương án D.