20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3. Nhị thức Newton (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Tìm hệ số của \({a^3}{b^2}\) trong khải triển \({\left( {a + 2b} \right)^5}\).
\(160\).
\(80\).
\(20\).
\(40\).
\({\left( {a + 2b} \right)^5} = {a^5} + 5 \cdot {a^4} \cdot \left( {2b} \right) + 10{a^3} \cdot {\left( {2b} \right)^2} + 10{a^2} \cdot {\left( {2b} \right)^3} + 5a \cdot {\left( {2b} \right)^4} + {\left( {2b} \right)^5}\).
Vậy hệ số của \({a^3}{b^2}\) là \(10 \cdot 4 = 40\). Chọn D.
Khai triển nhị thức \({\left( {2{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^5}\), ta được số hạng chứa \({x^6}\) là
\( - \frac{5}{8}\).
\(20{x^6}\).
\( - 20\).
\(\frac{5}{8}{x^6}\).
Ta có
\({\left( {2{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^5}\)
\[ = 32{x^{10}} - 40{x^8} + 20{x^6} - 5{x^4} + \frac{5}{8}{x^2} - \frac{1}{{32}}\].
Số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển là \(20{x^6}\). Chọn B.
Khai triển Newton biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {2 - 3x} \right)^4} = {a_4}{x^4} + {a_3}{x^3} + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\). Tính \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\).
\(9\).
\(6\).
\(3\).
\(1\).
Thay \(x = 1\) vào biểu thức ta được \[P\left( 1 \right) = {\left( {2 - 3 \cdot 1} \right)^4} = {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0} = 1\].
Vậy \(S = 1\). Chọn D.
Biết \({\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}\sqrt[3]{2} + {a_2}\sqrt[3]{4}\). Tính \({a_1}{a_2}\).
\(24\).
\(8\).
\(54\).
\(36\).
\({\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right)^4} = 1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} + 6 \cdot {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^2} + 4 \cdot {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^4}\)\( = 9 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 6 \cdot \sqrt[3]{4}\).
Suy ra \({a_1} = {a_2} = 6 \Rightarrow {a_1}{a_2} = 36\). Chọn D.
Tìm số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển nhị thức Newton của \(P\left( x \right) = 4{x^2} + x{\left( {x - 2} \right)^4}\).
\(28{x^2}\).
\( - 28{x^2}\).
\( - 24{x^2}\).
\(24{x^2}\).
Số hạng chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x - 2} \right)^4}\) là \(4x \cdot {\left( { - 2} \right)^3} = - 32x\).
Suy ra số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển \(x{\left( {x - 2} \right)^4}\) là \( - 32{x^2}\).
Do đó số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển nhị thức Newton của \(P\left( x \right) = 4{x^2} + x{\left( {x - 2} \right)^4}\) là
\(4{x^2} - 32{x^2} = - 28{x^2}\). Chọn B.
Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^5}\) thành đa thức bằng
\(1\).
\(243\).
\(234\).
\( - 1\).
Ta có \({\left( {2 + x} \right)^5} = {2^5} + 5 \cdot {2^4} \cdot x + 10 \cdot {2^3} \cdot {x^2} + 10 \cdot {2^2} \cdot {x^3} + 5 \cdot 2 \cdot {x^4} + {x^5}\)
\( = 32 + 80x + 80{x^2} + 40{x^3} + 10{x^4} + {x^5}\).
Tổng các hệ số là \(32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243\). Chọn B.
Khai triển của biểu thức \({\left( {x - 1} \right)^4}\) là
\({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\). Chọn B.
Khai triển nhị thức \({\left( {x + 1} \right)^5}\) có bao nhiêu số hạng?
\(6\).
\(8\).
\(7\).
\(5\).
Khai triển nhị thức \({\left( {x + 1} \right)^5}\) có 6 số hạng. Chọn A.
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {2x + 1} \right)^4}\) là
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\(16\).
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {2x + 1} \right)^4}\) là \({2^4} = 16\). Chọn D.
Số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {x - 1} \right)^5}\) là
\( - C_5^3{x^3}\).
\(C_5^3{x^3}\).
\(C_5^3\).
\( - C_5^3\).
Số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {x - 1} \right)^5}\) là \(C_5^2{x^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^2}\)\( = C_5^2{x^3}\)\( = C_5^3{x^3}\). Chọn B.
Cho \({\left( {3x - \frac{2}{5}} \right)^4} = {b_0} + {b_1}x + {b_2}{x^2} + {b_3}{x^3} + {b_4}{x^4}\).
Hệ số của \({x^2}\) là \({b_2} = \frac{{216}}{{25}}\).
Tổng các hệ số bằng \(\frac{{28561}}{{625}}\).
Hệ số của \({x^3}\) là \({b_3} = - \frac{{96}}{{125}}\).
Tổng của các hệ số chứa lũy thừa lẻ của \(x\) bằng \( - \frac{{5496}}{{125}}\).
\({\left( {3x - \frac{2}{5}} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot \left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right) + 6 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + 4 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^3} + {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^4}\)
\( = 81{x^4} - \frac{{216}}{5}{x^3} + \frac{{216}}{{25}}{x^2} - \frac{{96}}{{125}}x + \frac{{16}}{{625}}\).
a) Hệ số của \({x^2}\) là \({b_2} = \frac{{216}}{{25}}\).
b) Tổng các hệ số là \(81 - \frac{{216}}{5} + \frac{{216}}{{25}} - \frac{{96}}{{125}} + \frac{{16}}{{625}} = \frac{{28561}}{{625}}\).
c) Hệ số của \({x^3}\) là \({b_3} = - \frac{{216}}{5}\).
d) Tổng của các hệ số chứa lũy thừa lẻ của \(x\) bằng \( - \frac{{216}}{5} - \frac{{96}}{{125}} = - \frac{{5496}}{{125}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho khai triển \({\left( {x + y} \right)^4} + {\left( {x - y} \right)^4}\).
Hệ số của \({x^4}\) là 9.
Hệ số của \({y^4}\) là 7.
Hệ số của \({x^2}{y^2}\) là 6.
Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của \(x\) lớn hơn lũy thừa của \(y\) bằng \( - 3\).
\({\left( {x + y} \right)^4} + {\left( {x - y} \right)^4}\)\( = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4} + {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\)
\( = 2{x^4} + 12{x^2}{y^2} + 2{y^4}\).
a) Hệ số của \({x^4}\) là 2.
b) Hệ số của \({y^4}\) là 2.
c) Hệ số của \({x^2}{y^2}\) là 12.
d) Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của \(x\) lớn hơn lũy thừa của \(y\) bằng 2.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\). Biết \({a_n} = - 32\). Khi đó:
Khai triển này có \(n + 1\) số hạng.
\(n = 6\).
Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là 80.
Tổng các hệ số trong khai triển \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = - 1\).
a) Khai triển này có \(n + 1\) số hạng.
b) Ta có \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( { - 2x} \right) + C_n^2 \cdot {\left( { - 2x} \right)^2} + ... + C_n^n \cdot {\left( { - 2x} \right)^n}\).
Suy ra \({a_n} = C_n^n \cdot {\left( { - 2} \right)^n} = - 32 \Rightarrow n = 5\).
c) \({\left( {1 - 2x} \right)^5} = 1 + 5\left( { - 2x} \right) + 10 \cdot {\left( { - 2x} \right)^2} + 10 \cdot {\left( { - 2x} \right)^3} + 5 \cdot {\left( { - 2x} \right)^4} + {\left( { - 2x} \right)^5}\)
\( = 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\).
Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là 80.
d) Tổng các hệ số là \(1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = - 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4}\). Khi đó:
Hệ số của \({x^2}\) là \(\frac{1}{4}\).
Số hạng không chứa \(x\) là 6.
Hệ số của \({x^4}\) là 1.
Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.
\({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\)\( = {x^4} + 4 \cdot {x^2} + 6 + 4 \cdot \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\).
a) Hệ số của \({x^2}\) là \(4\).
b) Số hạng không chứa \(x\) là 6.
c) Hệ số của \({x^4}\) là 1.
d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\).
\(C_5^3 = C_5^2\).
Khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\) có 5 số hạng.
Khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\) có số hạng chứa \({x^2}{y^3}\) là 1080.
Tổng các hệ số trong khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\) là 3125.
a) \(C_5^3 = C_5^2\).
b) Khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\) có 6 số hạng.
c) \({\left( {2x + 3y} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( {3y} \right) + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( {3y} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( {3y} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( {3y} \right)^4} + {\left( {3y} \right)^5}\)
\( = 32{x^5} + 240{x^4}y + 720{x^3}{y^2} + 1080{x^2}{y^3} + 810x{y^4} + 243{y^5}\).
Khai triển \({\left( {2x + 3y} \right)^5}\) có số hạng chứa \({x^2}{y^3}\) là \(1080{x^2}{y^3}\).
d) Tổng các hệ số là \(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = 3125\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Biểu diễn \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(a + b\).
\[{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\]
\[ = 243 + 405\sqrt 2 + 540 + 180\sqrt 2 + 60 + 4\sqrt 2 \]\[ = 843 + 589\sqrt 2 \].
\[{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} - 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\]
\[ = 243 - 405\sqrt 2 + 540 - 180\sqrt 2 + 60 - 4\sqrt 2 \]\[ = 843 - 589\sqrt 2 \].
Vậy \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\)\[ = 843 + 589\sqrt 2 - \left( {843 - 589\sqrt 2 } \right) = 1178\sqrt 2 \].
Suy ra \(a = 0;b = 1178\). Vậy \(a + b = 1178\).
Tính tổng \(S = C_4^0 - 3C_4^1 + 9C_4^2 - 27C_4^3 + 81C_4^4\).
Xét khai triển \({\left( {1 - x} \right)^4} = C_4^0 + C_4^1 \cdot \left( { - x} \right) + C_4^2 \cdot {\left( { - x} \right)^2} + C_4^3 \cdot {\left( { - x} \right)^3} + C_4^4 \cdot {\left( { - x} \right)^4}\)
\( = C_4^0 - C_4^1 \cdot x + C_4^2 \cdot {x^2} - C_4^3 \cdot {x^3} + C_4^4 \cdot {x^4}\).
Thay \(x = 3\) vào biểu thức ta được \({\left( {1 - 3} \right)^4} = C_4^0 - C_4^1 \cdot 3 + C_4^2 \cdot {3^2} - C_4^3 \cdot {3^3} + C_4^4 \cdot {3^4}\)
\( \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^4} = C_4^0 - 3C_4^1 + 9C_4^2 - 27C_4^3 + 81C_4^4\).
Vậy \(S = 16\).
Số dân của tỉnh A vào năm 2022 vào khoảng 2 triệu người, tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là \(r = 1,5\% \), đến năm 2027 số dân của tỉnh đó vào khoảng bao nhiêu triệu người? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Số dân của tỉnh A sau 5 năm (từ năm 2022 đến năm 2027) là \(2 \cdot {\left( {1 + \frac{{1,5}}{{100}}} \right)^5} \approx 2,2\) triệu người.
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {3{x^3} - 2} \right)^5}\).
\({\left( {3{x^3} - 2} \right)^5} = {\left( {3{x^3}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^4} \cdot \left( { - 2} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^3}} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^4} + {\left( { - 2} \right)^5}\)
\( = 243{x^{15}} - 810{x^{12}} + 1080{x^9} - 720{x^6} + 240{x^3} - 32\).
Hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là \( - 720\).
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^4}\) với \(x \ne 0\).
\({\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \left( {\frac{1}{{2x}}} \right) + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^4}\)\( = {x^4} + 2{x^2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{16{x^4}}}\).
Số hạng không chứa \(x\) là \(\frac{3}{2} = 1,5\).
