Bài tập Toán 10 Bài 3. Nhị thức Newtơn có đáp án
10 câu hỏi
Ở Trung học cơ sở, ta quen thuộc với các công thức khai triển:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)n sẽ như thế nào?
Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:
Với n = 4, ta có:
(a + b)4 = [(a + b)2]2 = [a2 + 2ab + b2]2 = [(a2 + b2) + 2ab]2
= a4 + 2a2b2 + b4 + 2(a2 + b2).2ab + 4a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 + 2a3b + 2ab3 + 4a2b2
= a4 + 2a3b + 6a2b2 + 2ab3 + b4.
(a + b)5 = (a + b)3(a + b)2 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a2 + 2ab + b2)
= a5 + 2a4b + a3b2 + 3a4b + 6a3b2 + 3a2b3 + 3a3b2 + 6a2b3 + 3ab4 + a2b3 + 2ab4 + b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:
(a + b)n = \(C_n^0{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}.{b^1} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^n{a^0}.{b^n}\).
a) Xét công thức khai triển (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.
ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.
iii) Tính giá trị của \(C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?
b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)4:
(a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = = a4 + a3b2 + a2b2 + ab3 + b4.
Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\), rồi so sánh với các hệ số của khai triển.
Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên.
c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)5. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.
a) Xét công thức khai triển (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, có:
i) Các số hạng của khai triển trên là: a3; 3a2b; 3ab2; b3.
ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.
Khi đó ta thấy \(C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3\) lần lượt bằng hệ số của các số hạng a3; 3a2b; 3ab2; b3 trong khai triển đã cho.
iii) Sử dụng máy tính ta có: \(C_3^0 = 1\), \(C_3^1 = 3\), \(C_3^2 = 3\), \(C_3^3 = 1\).
b) Ta có: (a + b)4 = (a + b)(a + b)3
= (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) lần lượt là:
\(C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1\).
Khi đó ta thấy \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) lần lượt bằng hệ số của các số hạng a4; 4a3b; 6a2b2; 4ab3; b4 trong khai triển đã cho.
Bằng cách sử dụng các kí hiệu \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\), ta viết lại công thức khai triển trên như sau:
(a + b)4 = \(C_4^0\)a4 + \(C_4^1\)a3b + \(C_4^2\)a2b2 + \(C_4^3\)ab3 + \(C_4^4\)b4.
c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:
(a + b)5 = \(C_5^0\)a5b0 + \(C_5^1\)a4b1 + \(C_5^2\)a3b2 + \(C_5^3\)a2b3 + \(C_5^4\)ab4 + \(C_5^5\)b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Kiểm tra dự đoán:
(a + b)5 = (a + b)3.(a + b)2 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a2 + 2ab + b2)
= a5 + 2a4b + a3b2 + 3a4b + 6a3b2 + 3a2b3 + 3a3b2 + 6a2b3 + 3ab4 + a2b3 + 2ab4 + b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Khai triển các biểu thức sau:
a) (x – 2)4;
b) (x + 2y)5.
a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:
(x – 2)4 = \(C_4^0\)x4 + \(C_4^1\)x3(-2) + \(C_4^2\)x2(-2)2 + \(C_4^3\)x(-2)3 + \(C_4^4\)(-2)4
= x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16.
Vậy (x – 2)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16.
b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:
(x + 2y)5 = \(C_5^0\)x5(2y)0 + \(C_5^1\)x4(2y)1 + \(C_5^2\)x3(2y)2 + \(C_5^3\)x2(2y)3 + \(C_5^4\)x(2y)4 + \(C_5^5\)(2y)5
= x5 + 10x4y + 40x3y2 + 80x2y3 + 80xy4 + 32y.
Vậy (x + 2y)5 = x5 + 10x4y + 40x3y2 + 80x2y3 + 80xy4 + 32y.
Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:
a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\);
b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\).
a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)
Ta có: \({\left( {1 + 2} \right)^4} = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1^2}{.2^2} + C_4^3{.1^3}{.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)
⇔ \({3^4} = C_4^0 + C_4^1.2 + C_4^2{.2^2} + C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}\)
⇔ \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\) (đpcm).
b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)
Ta có: (1 – 2)4 = \(C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.( - 2) + C_4^2{.1^2}.{( - 2)^2} + C_4^3.1.{\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4.{( - 2)^4}\)
⇔(-1)4 = \(C_4^0 - C_4^1 + C_4^2{.2^2} - C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}\)
⇔1 = \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\) (đpcm).
Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.
Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\) (lựa chọn).
Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1^3}.1 + C_4^4.1 = {\left( {1 + 1} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.
Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:
a) (3x + y)4;
b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\).
a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:
(3x + y)4 = \(C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}\)
\( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).
Vậy (3x + y)4 \( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).
b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2, ta có:
\({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x5 + \(C_5^1\)x4.\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}\)+ \(C_5^2\)x3\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\) + \(C_5^3\)x2\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}\) + \(C_5^4\)x\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\) + \(C_5^5\)\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)
= x5 – \(5\sqrt 2 \)x4 + 20x3 – \(20\sqrt 2 \)x2 + 20x – \(4\sqrt 2 \).
Vậy \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x5 – \(5\sqrt 2 \)x4 + 20x3 – \(20\sqrt 2 \)x2 + 20x – \(4\sqrt 2 \).
Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\);
b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\);
c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\).
a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)= \(C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( {\sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\)
= 16 + 32\(\sqrt 2 \) + 48 + 16\(\sqrt 2 \) + 4
\( = 68 + 48\sqrt 2 \).
Vậy \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2 \).
b) Ta có: \({\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)= \(C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( { - \sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\)
= 16 – 32\(\sqrt 2 \) + 48 – 16\(\sqrt 2 \) + 4.
\( = 68 - 48\sqrt 2 \).
Khi đó: \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2 + 68 - 40\sqrt 2 = 136.\)
c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\).
\( = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}\left( { - \sqrt 3 } \right) + C_5^2{.1^3}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + C_5^4{.1^1}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^4} + C_5^5.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^5}\)
\( = 1 - 5\sqrt 3 + 30 - 30\sqrt 3 + 45 - 9\sqrt 3 \)
\( = 76 - 44\sqrt 3 \).
Vậy \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5} = 76 - 44\sqrt 3 .\)
Tìm hệ số của x3 trong khai triển (3x – 2)5.
Ta có: (3x – 2)5 = \( = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}\)
= 243x5 – 810x4 + 1080x3 – 720x2 + 240x – 32
Suy ra (3x – 2)5 = 243x5 – 810x4 + 1080x3 – 720x2 + 240x – 32.
Khi đó hệ số của x3 trong khai triển là 1 080.
Vậy hệ số của x3 trong khai triển là 1 080.
Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\).
Ta có: \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\)
\( = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( { - 1} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4{.1^1}.{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 1} \right)^5}\)
= (1 – 1)5 = 0 (nhị thức Newton).
Cho A = {a1; a2; a3; a4; a5} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.
Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập ∅.
Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a1}, {a2}, {a3}, {a4}, {a5}.
Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a1; a2}, {a1; a3}, {a1; a4}, {a1; a5}, {a2; a3}, {a2; a4}, {a2; a5}, {a3; a4}, {a3; a5}, {a4; a5}.
Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a1; a2; a3}, {a1; a2; a4}, {a1; a2; a5}, {a1; a3; a4}, {a1; a3; a5}, {a1; a4; a5}, {a2; a3; a4}, {a2; a3; a5}, {a2; a4; a5}, {a3; a4; a5}.
Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a1; a2; a3; a4}, {a1; a2; a4; a5}, {a1; a2; a3; a5}, {a1; a3; a4; a5}, {a2; a3; a4; a5}.
Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a1; a2; a3; a4; a5}.
Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.
Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.
