5 bài tập Tính độ dài các cung tròn. Diện tích các hình (có lời giải)
5 câu hỏi
![Cho \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn \(\left( {O;0,8} \right)\) sao cho \(\widehat {AO}I\) \( = 100^\circ \). Tính số đo và độ dài các cung có hai mút\[A,B\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/1-1775573305.png)
\[A,B\] là hai điểm trên \[\left( O \right)\] nên sẽ có hai cung.
Cung nhỏ \(AB\) bị chắn bởi góc ở tâm \(AOB\)
Do đó độ dài của cung nhỏ \(AB\) là:
\(l = \frac{{100}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{40}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Cung lớn \[AnB\] có số đo:
Do đó độ dài của cung lớn là:
\(l = \frac{{260}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{104}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Ta có: \(n = 90^\circ \) và \(R = 4{\rm{\;cm}}\).
Do đó độ dài cung: \(l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 6 = 3\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính \(4{\rm{\;cm}}\), ứng với cung \(36^\circ \).
Ta có: \(n = 90^\circ \) và \(R = 6{\rm{\;cm}}\).
Do đó độ dài cung: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{36}}{{360}} \cdot \pi \cdot {4^2} = 1,6\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
(Xem hình vẽ)
a) Tính diện tích hình quạt tròn tâm \(O\) cung nhỏ \(AB\).
b) Tính diện tích hình giơi hạn bời dây \(AB\) và cung nhỏ \(AB\) (gọi là hình viên phân tâm \(O\) cung nhỏ \(AB\)). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười centimét vuông).
a) Ta có: \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) nên . Do đó: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {12^2} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
b) Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}} \right.\) là diện tích hình viên phân; \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\) ).
\({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Vậy \({S_{{\rm{vp}}}} = 36\pi - 72 \approx 41,0\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Phần hình tròn được giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó gọi là hình viên phân. Tính diện tích hình viên phân \(AmB\), biết góc ở tâm \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) và bán kính đường tròn là \(5,1{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)).
Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}\) là diện tích hình viên phân, \({{\rm{S}}_{\rm{q}}}\) là diện tích hình quạt và \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\).
Ta có: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi \cdot {(5,1)^2} \approx 13,62\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Xét cân tại \(O\left( {OA = OB = R} \right)\) có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOB\) đều.
Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(5,1)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} \approx 11,26\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = 13,62 - 11,26 \approx 2,63\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
