Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe đạp quay được khoảng 3,3 vòng (hình vẽ). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục.
Hướng dẫn giải
Chu vi của bánh xe là: C = πd = 650π (mm)
Khi người đi xe đạp 10 vòng thì xe đạp di chuyển được quãng đường bằng:
C = 650π. 3,3.10 = 21450π ≈ 6 738,72 (mm) = 6,783 (m)
Vậy chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài khoảng 6,738 m sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục.
Hình vẽ bên dưới mô tả mặt cắt của chiếc đèn led có dạng hình vành khuyên màu trắng với bán kính đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hình vành khuyên đó.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S1 = (182 – 152)π = 99π (cm2).
Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là: (242 – 212)π = 135π (cm2).
Hình vẽ bên dưới mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn đường kính 2 cm, hai hình chữ nhật có kích thước 2 cm × 8 cm (Hình b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.
Hướng dẫn giải
Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình bán kính 1 cm và bằng S = 12.π = π (cm2).
Tổng diện tích của hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là:
S2 = 2.2.8 = 32 (cm2)
Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn cùng tâm có bán kính lần lườ là 4 cm và 6 cm là: S3 = \(\frac{1}{4}\pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 5\pi \) (cm2)
Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là:
S = π + 32 + 5π = 32 + 6π (cm2).
Một đĩa CD như hình dưới đây có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1,5 cm và 6 cm. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu cm2 (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Diện tích mặt đĩa CD có dạng hình vành khuyên là:
S = π(62 – 1,52) = 33,75π ≈ 106 (cm2).
Hình vẽ dưới đât mô tả mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 3 dm và 5 dm. Diện tích của mảnh đó bằng bao nhiêu dm2? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Diện tích mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên đó là:
S = \(\frac{1}{4}\pi \left( {{5^2} - {3^2}} \right) = 4\pi \) (dm2)
Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt ô màu xanh, màu đỏ trong hình a). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau có cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt BOC (Hình b), được làm từ những thân cây mọc thẳng. MẶt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình c), được làm từ những thân cây cong, Kích thước của nêm cong được cho ở Hình c.
Diện tích của nêm cong là bao nhiêu khi lấy 1ft = 30,48 cm, 1 inch – 2,54 cm và làm tròn đến kết quả hàng đơn vị?
Hướng dẫn giải
Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.
Bán kính IQ là: 91,44 + 15,24 = 106,68 cm.
Diện tích của nêm cong MNPQ là:
S = π(106,682 – 15,242) ≈35 024 (cm2).
Có hai chiếc bánh pizza hình tròn. Chiếc bánh thứ nhất có đường kính bằng 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Tính tổng diện tích bề mặt của hai miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và chiếc bánh thứ hai.
Hướng dẫn giải
Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất là:
S1 = \(\frac{{360.\pi {{.16}^2}}}{{360}}:6 = \frac{{128\pi }}{3}\) (cm2)
Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ hai là:
S2 = \(\frac{{360.\pi {{.18}^2}}}{{360}}:8 = \frac{{81\pi }}{2}\) (cm2).
Tổng diện tích bề mặt của hai miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và chiếc bánh thứ hai là: \(\frac{{128\pi }}{3} + \frac{{81\pi }}{2} = \frac{{499\pi }}{6}\) (cm2).
Sử dụng dữ liệu của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9
Hình vẽ dưới đây biểu diễn vùng biển được chiếu ánh sáng bởi một hải đăng có dạng một hình quạt tròn với bán kính 18 dặm, cung \(\widehat {AmB} = 245^\circ \).
Hãy tính diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng theo đơn vị kilomet vuông (lấy 1 dặm = 1 609 m và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Đổi 1 dặm = 1 609 m = 1,609 km.
Diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng là:
S = \(\frac{{{{\left( {18.1,609} \right)}^2}.245\pi }}{{360}} \approx 1793\) (km2).
Giả sử một con thuyền di chuyển dọc theo dây cung có độ dài 28 dặm của đường tròn với tâm là tâm của hình quạt tròn, bán kính là 18 dặm. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến hải đăng (theo đơn vị dặm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Xét đường tròn (O) có OH ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của CD.
Khi đó, CH = \(\frac{1}{2}\)CD = \(\frac{1}{2}\).28 = 14 (km2) (dặm).
Xét tam giác OHC vuông tịa H, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
OC2 = OH2 + CH2
Suy ra OH2 = OC2 – CH2 = 182 – 142 = 128
Do đs, OH = \(\sqrt {128} \) ≈ 11 (dặm)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ thuyền đến ngọn hải đăng khoảng 11 dặm.
Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm, 30 cm. Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia.
Tính xác suất ném trúng vòng số 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích hình vành khuyên tương ứng với diện tích đường tròn lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và đường tròn thứ ba là:
S8 = π(152 – 102) = 125π (cm2)
Diện tích hình tròn lớn nhất là:
S = π.302 = 900π (cm2)
Xác suất ném trúng vòng 8 là: \(\frac{{125\pi }}{{900\pi }} = \frac{5}{{36}}\).
Một chiếc bánh pizza hình tròn có đường kính bằng 30 cm thì diện tích của chiếc bánh đó bằng
225p cm2.
900p cm2.
60p cm2.
30p cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Bán kính của chiếc bánh pizza là: 30 : 2 = 15 (cm).
Diện tích của chiếc bánh pizza là: 152p = 225p (cm2).
Vậy diện tích của chiếc bánh pizza bằng 225p cm2.
Hình vẽ dưới đây mô tả mặt cắt của một khúc gỗ có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 3,5 dm và 2,5 dm.
Diện tích mặt cắt đó bằng
2,5p dm2.
1,5p dm2.
1,5 dm2.
3p dm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Diện tích mặt cắt là: \(\frac{1}{4}\left( {{{3,5}^2} - {{2,5}^2}} \right) \cdot {\rm{\pi }} = 1,5{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích mặt cắt của khúc gỗ bằng 1,5p dm2.
Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (hình vẽ).
Độ dài quãng đường mà con lắc đã di chuyển biết dây OA có độ dài bằng 30 cm và tia OA tạo với góc thẳng đứng góc 32o bằng
32p cm2.
\(\frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
32p cm.
\(\frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{cm}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ .\) Do đó, sđ = 64o.
Độ dài quãng đường AB mà con lắc đã di chuyển là: \(\frac{{64}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 30 = \frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy độ dài quãng đường AB mà con lắc di chuyển là \(\frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{cm}}\).
Một họa tiết trang trí có dạng hình tròn có bán kính 3 dm được chia thành nhiều hình quạt tròn có diện tích bằng nhau (hình vẽ), mỗi hình quạt tròn có góc ở tâm là 8o.
Diện tích của mỗi hình quạt đó bằng
0,4p dm.
0,4p dm2.
0,2p dm.
0,2p dm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì mỗi hình quạt tròn có có góc ở tâm bằng 8o nên mỗi hình quạt tròn ứng với cung 8o.
Diện tích mỗi hình quạt tròn là: \(\frac{8}{{360}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot {3^2} = 0,2{\rm{\pi }}\;\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Vậy diện tích mỗi hình quạt tròn bằng 0,2p dm2.
Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 4p m. Chân đống cát đó có diện tích bằng
6p (m2).
14p (m2).
4p (m2).
8p (m2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Bán kính của đống cát đó là: \(\frac{{4{\rm{\pi }}}}{{2{\rm{\pi }}}} = 2\;\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Chân đống cát đó có diện tích là: 22p = 4p (m2).
Vậy chân đống cát có diện tích bằng 4p m2.
Một chiếc bánh pizza hình tròn được chia thành 8 miếng như nhau bởi 4 nhát cắt qua tâm (hình vẽ). Mỗi miếng bánh cắt ra có diện tích bằng 8p cm2. Khi đó:
Mỗi miếng bánh cắt ra là một hình viên phân ứng với cung 45o.
Diện tích bề mặt của cả chiếc bánh pizza bằng 64p (cm2).
Bán kính của chiếc bánh bằng 4 cm.
Người ta đặt chiếc bánh trên vào một chiếc hộp hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì chiếc bánh đó vẫn giữ nguyên được hình dạng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Vì chiếc bánh pizza hình tròn được chia thành 8 miếng như nhau bởi 4 nhát cắt qua tâm nên số đo mỗi góc ở tâm là: \(\frac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ \).
Vậy mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung 45o.
b) Đúng.
Vì miếng bánh cắt ra có diện tích bằng 8p cm2 nên diện tích bề mặt của cả chiếc bánh pizza là: 8.8p = 64p (cm2).
Vậy diện tích bề mặt của chiếc bánh bằng 64p (cm2).
c) Sai.
Bán kính của chiếc bánh là: \(\sqrt {\frac{{64{\rm{\pi }}}}{{\rm{\pi }}}} = 8\) (cm).
Vậy bán kính của chiếc bánh bằng 8 cm.
d) Sai.
Đường kính của chiếc bánh là 8.2 = 16 (cm).
Vì 10 cm < 16 cm nên người ta đặt chiếc bánh trên vào một chiếc hộp hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì chiếc bánh đó không giữ nguyên được hình dạng.
Hình vẽ dưới đây là chiếc quạt có dạng một hình quạt tròn tâm O, cung AB bán kính OA = OB = 12 cm. Giấy được dán trong phần giới hạn bởi cung AB, cung CD hai đoạn thẳng AC và BD với OC = OD = 6 cm. Biết khi mở rộng tối đa, hai nan quạt tạo thành một góc \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 126^\circ .\)
Khi đó:
Độ dài cung AB bằng 8,4p (cm).
Độ dài cung CD bằng 4,2p (cm).
Chu vi giấy dán cần dùng bằng 12,6p (cm).
Diện tích giấy dán cần dùng lớn hơn 120 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Độ dài cung AB là: \({{\rm{l}}_{\rm{1}}} = \frac{{126}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 12 = 8,4{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy độ dài cung AB bằng 8,4p (cm).
b) Đúng.
Độ dài cung CD là: \({{\rm{l}}_2} = \frac{{126}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 6 = 4,2{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy độ dài cung CD bằng 4,2p (cm).
c) Sai.
Chu vi giấy dán cần dùng là:
l1 + l2 + BD + AC = 8,4p + 4,2p + 6 + 6 = 12 + 12,6p (cm).
Vậy chu vi giấy dán cần dùng bằng 12 + 12,6p (cm).
d) Sai.
Diện tích giấy dán cần dùng là:
\(\frac{{126}}{{360}} \cdot {\rm{\pi }}\left( {{{12}^2} - {6^2}} \right) = \frac{{189{\rm{\pi }}}}{5}\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} < 120\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
Vậy diện tích giấy dán cần dùng nhỏ hơn 120 cm2.
Bác Mai dự định mua gỗ để làm một mặt bàn. Mặt bàn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 1 m và chiều dài 2 m và hai đầu là hai nửa hình tròn có đường kính là chiều rộng hình chữ nhật (hình vẽ). Biết rằng giá gia công của mỗi mét vuông mặt bàn bằng 150 nghìn đồng và p = 3,14.
Khi đó:
Diện tích mặt bàn hình chữ nhật ở giữa bằng 2 m2.
Diện tích hai nửa hình tròn là 1,57 m2.
Chiếc bàn có diện tích lớn hơn 3 m2.
Số tiền gia công bác Mai bỏ ra để làm bàn nhỏ hơn 600 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Diện tích mặt bàn hình chữ nhật ở giữa là: 1.2 = 2 (m2).
Vậy diện tích mặt bàn hình chữ nhật ở giữa bằng 2 m2.
b) Sai.
Diện tích của hai nửa hình tròn là: \(2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \cdot {\rm{\pi }}} \right] = 0,785\;\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích của hai nửa hình tròn bằng 0,785 m2.
c) Sai.
Diện tích mặt bàn là: 2 + 0,785 = 2,785 (m2).
Vậy diện tích mặt bàn nhỏ hơn 3 m2.
d) Đúng.
Số tiền gia công bác Mai bỏ ra để làm bàn là: 2,785.150 = 417,75 (nghìn đồng).
Vậy số tiền gia công bác Mai bỏ ra để làm bàn nhỏ hơn 600 nghìn đồng.
Một họa tiết của tấm biển quảng cáo gồm 3 nửa hình tròn như hình vẽ dưới đây:
Biết rằng p = 3,14, khi đó:
Bán kính của nửa hình tròn màu vàng bằng 1 dm.
Diện tích phần màu vàng bằng 12,56 dm2.
Diện tích phần màu da cam bằng 28,86 dm2.
Diện tích phần không tô màu của họa tiết nhỏ hơn 10 dm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Bán kính của nửa hình tròn màu vàng là: 2 : 2 = 1 (dm).
Vậy bán kính của nửa hình tròn màu vàng bằng 1 dm.
b) Sai.
Phần màu vàng là nửa hình tròn có bán kính bằng 1 dm.
Diện tích phần màu vàng là: 12.3,14 = 3,14 (dm2).
Vậy diện tích phần màu vàng bằng 3,14 dm2.
c) Sai.
Phần màu da cam là nửa hình tròn có bán kính bằng 1,5 dm.
Diện tích phần màu da cam là: 1,52.3,14 = 7,065 (dm2).
Vậy diện tích phần màu da cam bằng 7,065 dm2.
d) Đúng.
Diện tích phần không bị tô màu là:
\({\left( {\frac{{2 + 3}}{2}} \right)^2} \cdot 3,14 - 3,14 - 7,065 = 9,42\;\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện phần không tô màu của họa tiết nhỏ hơn 10 dm2.
Trên bờ của một cái ao cá hình tròn tâm O, bác Minh dựng ba cái chòi câu cá tại các điểm A, B, C. Biết rằng tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 9 m và \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 30^\circ \) (hình vẽ). Khi đó:
AO là tia phân giác của góc BOC.
Bán kính của ao cá lớn hơn 9 m.
sđnhỏ = 120o.
Độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi B đến chòi C (đi qua chòi A) bằng 9p m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì OC = OB nên O thuộc đường trung trực của BC.
Vì DABC cân tại A nên AB = AC, suy ra A thuộc đường trung trực của BC.
Do đó, AO là đường trung trực của BC.
Mà DABC cân tại A nên AO là phân giác của tam giác đó.
Vậy AO là tia phân giác của góc BAC.
b) Sai.
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}} = 30^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{ABC}}} - \widehat {{\rm{ACB}}} = 120^\circ .\)
Vì AO là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{\rm{BAO}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ .\)
Vì AO = OB nên tam giác ABO cân tại O. Mà \(\widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ \) nên tam giác AOB đều.
Do đó, OA = AB = 9 m. Vậy bán kính của ao bằng 9 m.
c) Đúng.
Vì tam giác AOB đều nên \(\widehat {{\rm{BOA}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ \).
Vì OC = OB nên DOBC cân tại O, suy ra OA là đường trung trực đồng thời là đường phân giác của tam giác đó. Suy ra: \(\widehat {{\rm{BOC}}} = 2\widehat {{\rm{BOA}}} = 120^\circ .\)
Vì \(\widehat {{\rm{BOC}}}\) là góc ở tâm chắn cung BC nhỏ đường tròn (O; OA) nên sđ = 120o.
d) Sai.
Độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi B đến chòi C (đi qua chòi A) là:
\(\frac{{120}}{{180}} \cdot 9 \cdot {\rm{\pi }} = 6{\rm{\pi }}\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)
Vậy độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi B đến chòi C (đi qua chòi A) bằng 6p m.
Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 120 cm và đường kính bánh xe trước là 80 cm. Hỏi khi bánh xe trước lăn được 600 vòng thì bánh xe sau lăn được bao nhiêu vòng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 400
Chu vi của bánh xe sau là: 120p (cm).
Chu vi của bánh xe trước là: 80p (cm).
Khi bánh xe trước lăn được 600 vòng thì bánh xe sau lăn được số vòng là:
600. 80p : (120p) = 400 (vòng).
Vậy khi bánh xe trước lăn được 600 vòng thì bánh xe sau lăn được 400 vòng.
Một đĩa CD ở hình dưới đây gồm hai đường tròn đồng tâm. Biết rằng bán kính đường tròn lớn gấp 4 lần bán kính đường tròn nhỏ. Hỏi diện tích phần tô màu gấp bao nhiêu lần diện tích hình tròn nhỏ của đĩa CD?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 15
Gọi bán kính của đường tròn lớn và đường tròn nhỏ lần lượt là r1 và r2.
Vì bán kính đường tròn lớn gấp 4 lần bán kính đường tròn nhỏ nên r1 = 4r2.
Diện tích phần tô màu là: S1 = \(\left( {{\rm{r}}_1^2 - {\rm{r}}_2^2} \right){\rm{\pi }} = \left( {{\rm{16r}}_2^2 - {\rm{r}}_2^2} \right){\rm{\pi }} = 15{\rm{\pi r}}_2^2.\)
Diện tích hình tròn nhỏ là: S2 = \({\rm{\pi r}}_2^2.\)
Do đó, S1 = 15S2.
Vậy diện tích phần tô màu gấp 15 lần diện tích hình tròn nhỏ của đĩa CD.
Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cùng có dạng bánh răng gắn) với bánh xe và bộ xích (hình vẽ). Biết giò đĩa có bán kính 16 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 60 cm.
Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7,5
Ta có: Bán kính tỉ lệ nghịch với số vòng quay được của líp và giò đĩa.
Khi đạp 1 vòng bánh xe (hoặc líp) quay được số vòng là: 16 : 4 = 4 (vòng).
Chu vi của bánh xe là: 60p (cm) = 0,6p (m).
Khi người đi xe đạp được một vòng thì xe chạy được quãng đường là:
0,6p. 4 ≈ 7,5 (m).
Vậy khi người đi xe đạp được một vòng thì xe chạy được quãng đường khoảng 7,5 m.
Có hai chiếc bánh pizza hình tròn. Chiếc bánh thứ nhất được chia thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai được chia thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Biết rằng diện tích bề mặt của mỗi miếng bánh ở chiếc bánh thứ hai cắt ra bằng gấp 3 lần diện tích bề mặt của mỗi miếng bánh ở chiếc bánh thứ nhất. Hỏi bán kính của chiếc bánh thứ hai gấp bao nhiêu lần bán kính của chiếc bánh thứ nhất?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Gọi bán kính của chiếc bánh pizza thứ nhất và thứ hai lần lượt là r1 và r2.
Vì chiếc bánh thứ nhất được chia thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn nên số đo cung ứng mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung \(\frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ .\)
Diện tích bề mặt 1 miếng bánh cắt ra ở chiếc bánh pizza thứ nhất là:
\({{\rm{S}}_1} = \frac{{60}}{{360}}{\rm{\pi r}}_1^2 = \frac{1}{6}{\rm{\pi r}}_1^2.\)
Vì chiếc bánh thứ hai được chia thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn nên số đo cung ứng mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung \(\frac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ .\)
Diện tích bề mặt một miếng bánh cắt ra ở chiếc bánh pizza thứ hai là:
\({{\rm{S}}_2} = \frac{{45}}{{360}}{\rm{\pi r}}_2^2 = \frac{1}{8}{\rm{\pi r}}_2^2.\)
Vì S2 = 3S1 nên \(\frac{1}{8}{\rm{\pi r}}_2^2 = 3 \cdot \frac{1}{6}{\rm{\pi r}}_1^2\), suy ra \({\rm{r}}_2^2 = 4{\rm{r}}_1^2\) nên r2 = 2r1.
Vậy bán kính của chiếc bánh thứ hai gấp 2 lần bán kính của chiếc bánh thứ nhất.
Hai trạm phát sóng M và N đặt cách nhau 200 km. Trạm phát sóng M và trạm phát sóng N có bán kính hoạt động lần lượt là 100 km và \(100\sqrt 3 \) km. Hỏi diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng từ trạm M và N bằng bao nhiêu km2? Biết rằng nếu khoảng cách từ thiết bị thu sóng đến trạm phát sóng lớn hơn bán kính hoạt động của trạm phát sóng thì thiết bị không thu được sóng của trạm phát sóng đó. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8859
Gọi C và D là các điểm chung của hai đường tròn (M; 100 km) và (N; \(100\sqrt 3 \) km).
Vì CM2 + CN2 = 1002 + \({\left( {100\sqrt 3 } \right)^2}\) = 40 000 = MN2 nên tam giác CMN vuông tại C.
Xét tam giác CMN vuông tại C có: \(\sin \widehat {{\rm{CMN}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{{200}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\widehat {{\rm{CMN}}} = 60^\circ .\)
Suy ra: \(\widehat {{\rm{CNM}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{CMN}}} = 30^\circ .\)
Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{DMN}}} = 60^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{DNM}}} = 30^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{CMD}}} = \widehat {{\rm{CMN}}} + \widehat {{\rm{NMD}}} = 120^\circ ;\;\,\widehat {{\rm{CND}}} = \widehat {{\rm{CNM}}} + \widehat {{\rm{MND}}} = 60^\circ \).
Vì CN = ND nên DCND cân tại N, mà \(\widehat {{\rm{CND}}} = 60^\circ \) nên DCND đều nên \({\rm{CD}} = 100\sqrt 3 \;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)
Gọi E là giao điểm của MN và CD.
Vì \(\widehat {{\rm{CNM}}} = \widehat {{\rm{MND}}} = 30^\circ \) nên NM là tia phân giác của góc CND.
Vì DCND đều nên NE là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác đó. Suy ra CD ^ MN tại E.
Diện tích tứ giác CMDN là:
SMCND = SDCMN + SDMND \( = \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{MN}} + \frac{1}{2}{\rm{DE}} \cdot {\rm{MN}} = \frac{1}{2}{\rm{CD}} \cdot {\rm{MN}} = 10\;000\sqrt 3 \;\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích của hình quạt tròn MCD được giới hạn bởi hai bán kính MC, MD và cung nhỏ CD của (M; 100 km) là: \({{\rm{S}}_1} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{100}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích của hình quạt tròn NCD được giới hạn bởi hai bán kính NC, ND và cung nhỏ CD của (N; \(100\sqrt 3 \) km) là: \({{\rm{S}}_2} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{\left( {100\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot 60}}{{360}} = 5\;000{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N là:
S1 + S2 – SMCND \( = \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3} + 5\;000{\rm{\pi }} - 10\;000\sqrt 3 \approx 8\;859\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Vậy diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N bằng khoảng 8 859 km2.
