47 câu Trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án
47 câu hỏi
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
\[3{x^2} - 2\sqrt x + 1 = 0\].
\[2{x^2} - 2022 = 0\].
\[3x + \frac{1}{x} - 5 = 0\].
\[4x - 1 = 0\].
Chọn B
Vì chỉ có đáp án B có dạng\[a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\] với \[a = 2,b = 0,c = - 2022\] là phương trình bậc hai một ẩn.
Khẳng định nào sau đây sai?
\[{x^2} - 3 = 4x \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0\]trong đó: \[a = 1;b = - 4;c = - 3\].
\[\sqrt 2 x = 4{x^2} + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\]trong đó: \[a = 4;b = - \sqrt 2 ;c = 1\].
\[ - {x^2} + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\]trong đó: \[a = 1;b = - 4;c = 5\].
\[\sqrt 5 {x^2} - m = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 {x^2} - m - 1 = 0\]trong đó: \[a = \sqrt 5 ;b = 0;c = - m - 1\].
Chọn C
Câu C sai vì \[ - {x^2} + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow - {x^2} - 4x + 5 = 0\].
Có bao nhiêu phương trình trong các phương trình dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?\[\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\]; \[3{y^2} - 2021 = 0\]; \[x - \sqrt x + 4 = 0\]; \[2{y^2} + 2x + 3 = 0\].
\[0\].
\[1\].
\[2\].
\[3\].
Chọn C
Phương trình bậc hai một ẩn là các phương trình: \[\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0;\,3{y^2} - 2021 = 0\], vậy có hai phương trình bậc hai một ẩn.
Cho phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]\[(a \ne 0)\]có biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]. Phương trình đãcho có nghiệm khi
\[\Delta < 0\].
\[\Delta = 0\].
\[\Delta \ge 0\].
\[\Delta > 0\].
Chọn C
Xét phương trình bậc hai một ẩn \[a{x^2} + bx + c = 0\] \[(a \ne 0)\] và biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]
• TH1: Nếu \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
• TH2: Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\].
• TH3: Nếu \[\Delta > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\].
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình \[4{x^2} + 9 = 0\]?
vô nghiệm.
\[1\].
\[2\].
\[3\].
Chọn A
Ta có \[4{x^2} + 9 = 0\] \[ \Leftrightarrow 4{x^2} = - 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{ - 9}}{4} < 0\] (vô lí).
Giả sử \({x_1}\); \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\] có \(\Delta ' > 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - \frac{{b\prime + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = - \frac{{b\prime - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - \frac{{b\prime + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = - \frac{{b\prime - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - b\prime + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b\prime - \sqrt {\Delta '} }}{a}\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b\prime + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b\prime - \sqrt {\Delta '} }}{a}\).
Theo công thức nghiệm thu gọn ta chọn D
Nghiệm của phương trình \[2{x^2} = 8\] là
\[x = 4\].
\[x = 2\].
\[x = 2\]và \[x = - 2\].
\[x = 2\]và \[x = 4\].
Chọn C
\[2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{2} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 4 \\x = - \sqrt 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \[x = 2\]và \[x = - 2\].
Phương trình nào sau đây nhận \[x = 1\]và \[x = - 3\]làm nghiệm?
\[2{x^2} + 6x = 0\].
\[{x^2} - 2x + 1 = 0\].
\[{x^2} + 2x - 3 = 0\].
\[\sqrt 3 {x^2} + x - 3 = 0\].
Chọn C
Phương trình nhận \[x = 1\]và \[x = - 3\] làm nghiệm có dạng: \[(x - 1)(x + 3) = 0\,\,\,\,(*)\]
Phương trình \[(*) \Leftrightarrow {x^2} + 3x - x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\].
Cho hai phương trình sau đây: \[{x^2} - 6x + 8 = 0\]\[(1)\]; \[{x^2} + 2x - 3 = 0\]\[(2)\]. Câu trả lời đúng là
Phương trình \[(1)\]có nghiệm kép, phương trình \[(2)\]vô nghiệm.
Phương trình \[(1)\]vô nghiệm, phương trình \[(2)\]có nghiệm kép.
Cả hai phương trình \[(1),(2)\]đều có nghiệm bằng \[0\].
Cả hai phương trình \[(1),(2)\]đều có hai nhiệm phân biệt.
Chọn D
Phương trình \[{x^2} - 6x + 8 = 0\] có \[\Delta = {( - 6)^2} - 4.1.8 = 36 - 32 = 4 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{6 - 2}}{2} = 2;{x_2} = \frac{{6 + 2}}{2} = 4\].
Phương trình \[{x^2} + 2x - 3 = 0\] có \[\Delta = {2^2} - 4.1.( - 3) = 16 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{ - 2 - 4}}{{2.1}} = 2;{x_2} = \frac{{ - 2 + 4}}{{2.1}} = 1\].
Phương trình \[{x^2} - 7x + 12 = 0\]có tổng hai nghiệm là
\[ - 4\].
\[7\].
\[ - 3\].
\[ - 7\].
Chọn B
Phương trình \[{x^2} - 7x + 12 = 0\]có \[\Delta = {( - 7)^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0\]nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{7 - 1}}{2} = 3;{x_2} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4\].
Do đó tổng hai nghiệm của phương trình là \[3 + 4 = 7\].
Biệt thức \({\Delta ^'}\) và số nghiệm của phương trình \(5{x^2} - 6x + 1 = 0\) là
\(\Delta ' = 16\) và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\Delta ' = 4\) và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\Delta ' = 16\) và phương trình có nghiệm kép.
\(\Delta ' = 4\) và phương trình có nghiệm kép.
Chọn B
Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - 5.1 = 4 > 0 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\) là
\({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = - 1.\)
\({x_1} = 2;\,\,{x_2} = - \frac{1}{2}.\)
\({x_1} = 2;\,\,{x_2} = \frac{1}{2}.\)
\({x_1} = - \frac{1}{2};\,\,{x_2} = - 2.\)
Chọn C
Phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\) và \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \frac{1}{2}.\)
Phương trình \(9{x^2} - 30x + 25 = 0\) có nghiệm là
\({x_1} = {x_2} = \frac{5}{3}.\)
\({x_1} = {x_2} = - \frac{5}{3}.\)
\({x_1} = {x_2} = - \frac{3}{3}.\)
\({x_1} = {x_2} = \frac{3}{5}.\)
Chọn A
Phương trình \(9{x^2} - 30x + 25 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 30} \right)^2} - 4.9.25 = 0\)
Suy ra phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{30}}{{2.9}} = \frac{5}{3}.\)
Cho phương trình \(3{x^2} + 6x + 9 = 0\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(\Delta = 72\) và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\Delta = - 72\) và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\Delta = 0\) và phương trình có nghiệm kép.
\(\Delta = - 72\) và phương trình vô nghiệm.
Chọn B
Phương trình \(3{x^2} + 6x + 9 = 0\) có \(\Delta = {6^2} - 4.3.9 = - 72 < 0\).
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Phương trình nào sau đây nhận \(x = 1\) và \(x = - 3\) làm nghiệm?
\(2{x^2} + 6x = 0.\)
\({x^2} - 2x + 1 = 0.\)
\({x^2} + 2x - 3 = 0.\)
\(\sqrt 3 {x^2} + x - 3 = 0.\)
Chọn C
Phương trình nhận \(x = 1\) và \(x = - 3\) làm nghiệm có dạng:
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) hay \({x^2} + 3x - x - 3 = 0\) hay \({x^2} + 2x - 3 = 0.\)
Cho hai phương trình sau đây: \({x^2} - 6x + 8 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\,;\,\,{x^2} + 2x - 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\,.\) Khẳng định nào sau đây đúng.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm kép, phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép.
Cả hai phương trình \(\left( 1 \right)\,,\,\,\left( 2 \right)\) đều có nghiệm bằng \(0.\)
Cả hai phương trình \(\left( 1 \right)\,,\,\,\left( 2 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt.
Chọn D
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.8 = 4 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(\Delta = {2^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 16 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có tổng hai nghiệm là
\( - 4.\)
\(7.\)
\( - 3.\)
\( - 7.\)
Chọn B
Phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{7 - 1}}{2};\,\,{x_2} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4.\)
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là \(3 + 4 = 7.\)
Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài, diện tích hình chữ nhật đó là \(5400\)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\), diện tích hình chữ nhật là \(5400{\rm{\;}}\)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Chu vi hình chữ nhật là
\(300{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\).
\(250{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\).
\(350{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\).
\(400{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\).
Chọn A
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\)\(\left( {{\rm{cm,}}\,\,x > 0} \right)\). Khi đó, chiều rộng hình chữ nhật là \(\frac{2}{3}x\)\(\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Theo đầu bài, ta có phương trình
\(x \cdot \frac{2}{3}x = 5400 \Leftrightarrow {x^2} = 8100\)
Để phương trình \[2{x^2}\; + {\rm{ }}ax{\rm{ }} - 3{a^2}{\rm{ = }}0\]có một nghiệm bằng \[ - 2\] thì các giá trị của \[a\]là.
\[ - 2\].
\[\frac{4}{3}\].
\[{\rm{2}}\] hoặc \[\frac{4}{3}\].
\[ - 2\] hoặc\[\frac{4}{3}\].
Chọn D
Thay \[x = - 2\] vào phương trình \[2{x^2}\; + {\rm{ }}ax{\rm{ }} - 3{a^2}{\rm{ = }}0\]ta có \[8\; - 2a - 3{a^2}{\rm{ = }}0\].
Giải phương trình \[8\; - 2a - 3{a^2}{\rm{ = }}0\] ta tìm được \[a = - 2\] hoặc\[a = \frac{4}{3}\].
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) vô nghiệm.
\(m < - 2\).
\(m > - 2\).
\(m \le - 2\).
\(m \ge - 2\).
Chọn A
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) vô nghiệm khi \(\Delta ' < 0\)
\({\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) < 0\)
\({m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 3 < 0\)
\(2m < - 4\)
\(m < - 2\).
Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai \(3\) giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là \(x\) giờ thì thời gian của xe thứ hai là
\(\left( {x - 3} \right)\)giờ.
\(3x\) giờ.
\(\left( {3 - x} \right)\) giờ.
\(\left( {x + 3} \right)\) giờ.
Chọn D
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai \(3\) giờ nên thời gian xe thứ hai đi nhiều hơn xe thứ nhất \(3\) giờ.
Nếu thời gian đi của xe thứ nhất là \(x\) giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là \(x + 3\) giờ.
Số thứ nhất gấp \(6\) lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là \(x\) thì số thứ hai là
\(6x\).
\(\frac{6}{x}\).
\(\frac{x}{6}\).
\(x + 6\).
Chọn C
Vì số thứ nhất gấp \(6\) lần số thứ hai nên số thứ hai bằng \(\frac{1}{6}\) lần số thứ nhất.
Vậy số thứ nhất là \(x\) thì số thứ hai là \(\frac{x}{6}\).
Giải ra ta được \(x = 90\) vì \(\left( {x > 0} \right)\). Vậy chiều dài hình chữ nhật là \(90{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\), chiều rộng hình chữ nhật là \(60{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\). Do đó, chu vi hình chữ nhật là \(300{\rm{\;}}\)\({\rm{cm}}\).
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \[4m\]. Nếu gọi chiều dài của hình chữ nhật là \[x\,\,(m)\,\,\,(x > 4)\]thì chiều rộng của hình chữ nhật là:
\[x - 4\,\,(m)\]
\[4 - x\,\,(m)\]
\[x + 4\,\,(m)\]
\[4{\rm{x}}\,\,{\rm{(m)}}\]
Chọn A
Chiều dài của hình chữ nhật là \[x\,\,(m)\,\,\,(x > 4)\]
Vì chiều dài hơn chiều rộng \[4m\] nên chiều rộng của hình chữ nhật là \[x - 4\](m)
Độ dài cạnh của hình vuông là \[x\,(m)\,\,(x > 0)\] Diện tích của hình vuông là \[35\,{m^2}\]. Phương trình lập được là:
\[4{\rm{x}} = 35\]
\[{x^2} = 35\]
\[{x^3} = 35\]
\[2{\rm{x - }}35 = 0\]
Chọn B
Hình vuông có cạnh là x thì diện tích hình vuông là \[{x^2}\]
Theo bầi ra diện tích hình vuông là \[35\,{m^2}\] nên ta có phương trình \[{x^2} = 35\]
Một hình chữ nhật có chiều rộng là \[x\,(cm)\,\,(x > 0)\]. Chiều dài hơn chiều rộng là \[3\,cm\]. Diện tích của hình chữ nhật là \[40\,c{m^2}\]. Phương trình lập được là:
\[{\rm{3x}} = 40\]
\[x.(x + 3) = 40\]
\[3.(x - 3) = 40\]
\[x.(x - 3) = 40\]
Chọn B
Chiều rộng của hình chữ nhật là \[x\,(cm)\,\,(x > 0)\]
Vì chiều dài hơn chiều rộng \[3\,m\] nên chiều dài của hình chữ nhật là \[x + 3\](m)
Theo bầi ra diện tích hình chữ nhật là \[40\,{m^2}\] nên ta có phương trình: \[x.(x + 3) = 40\]
Một tam giác vuông có độ dài một cạnh góc vuông là \[x\,(cm)\,\,(5 > x > 0)\], độ dài cạnh huyền là \[5\,cm\]. Bình phương độ dài cạnh góc vuông còn lại được biểu diễn là:
\[5 - x\]
\[25 + {x^2}\]
\[25 - {x^2}\]
\[{x^2} - 25\]
Chọn C
Tam giác vuông có độ dài một cạnh góc vuông là \[x\,(cm)\,\,(5 > x > 0)\], độ dài cạnh huyền là \[5\,cm\]
Gọi độ dài cạnh góc vuông còn lại là \[y\,(cm,\,\,5 > y > 0)\]
Theo định lí Pythagore: \[{x^2} + {y^2} = {5^2}\] suy ra: \[{y^2} = 25 - {x^2}\]
Vậy bình phương độ dài cạnh góc vuông còn lại là: \[25 - {x^2}\]
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đây bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất 3 giờ. Nếu gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là \(x\)(giờ) với \(x > 6.\) Phương trình của bài toán này là
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x - 3}} = \frac{1}{6}.\)
Chọn A
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ) với \(x > 6.\)
Vì nều mỗi vòi chảy một mình cho đây bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất 3 giờ nên thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \(x - 3\) (giờ)
Trong \(1\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể)
Trong \(1\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{{x - 3}}\) (bể)
Trong \(1\) giờ, cả hai vòi chảy được \(\frac{1}{6}\) (bể)
Phương trình của bài toán là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{6}.\)
Một đội xe cần phải chuyên chở \(150\) tấn hàng. Hôm làm việc có \(5\) xe được điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm \(5\) tấn. Nếu gọi số xe ban đầu là \(x\). Phương trình của bài toán này là
\(\frac{{150}}{{x + 5}} - \frac{{150}}{x} = 5\).
\(\frac{{150}}{{x - 5}} - \frac{{150}}{x} = 5\).
\(\frac{{150}}{{x - 5}} + \frac{{150}}{x} = 5\).
\(\frac{{150}}{{x + 5}} + \frac{{150}}{x} = 5\).
Chọn B
Gọi số xe ban đầu là \(x\) (xe) \(\left( {x > 0,\,\,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Trong thực tế, số xe là \(x - 5\) (xe)
Trong dự định, số hàng mỗi xe chở là \(\frac{{150}}{x}\) (tấn)
Trong thực tế, mỗi xe chờ được số tấn hàng là \(\frac{{150}}{{x - 5}}\) (tấn)
Vì trong thực tế, mỗi xe còn lại phải chở thêm \(5\) tấn nên ta có phương trình: \(\frac{{150}}{{x - 5}} - \frac{{150}}{x} = 5.\)
Một phòng họp có \(360\) ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu tăng số dãy thêm \(1\) và số ghế của mỗi dãy tăng thêm \(1\) thì trong phòng có \(400\) ghế. Nếu gọi số dãy ghế là \(x\) (dãy) với \(x \in {\mathbb{N}^*}.\) Biết số dãy ghế ít hơn, lập phương trình của bài toán là
\(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
Chọn B
Gọi số dãy ghế là \(x\) (dãy) với \(x \in {\mathbb{N}^*}.\)
Số dãy ghế lúc sau là \(x - 1\) (dãy)
Số ghế mỗi dãy lúc đầu là \(\frac{{360}}{x}\) (ghế)
Số ghế mỗi dãy lúc sau là \(\frac{{360}}{x} + 1\) (ghế)
Phương trình của bài toán là \(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\).
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là \(48\)km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là \(5\) giờ (không tính thời gian nghỉ). Gọi vận tốc của canô trong nước yên lặng là \(x\)(km/h) với \(x > 4\). Biết rằng vận tốc của dòng nước là \(4\)km/h, phương trình cần tìm của bài toán này là
\(\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x + 4}} = 5\).
\(\frac{{48}}{{x - 4}} - \frac{{48}}{{x + 4}} = 5.\)
\(\frac{{48}}{{x + 4}} - \frac{{48}}{{x - 4}} = 5.\)
\(\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5.\)
Chọn D
Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là \(x\) (km/h) với \(x > 4\).
Vận tốc ca nô khi nước xuôi dòng là \(x + 4\) (km/h)
Thời gian canô chạy khi nước xuôi dòng là \(\frac{{48}}{{x + 4}}\) (h)
Vận tốc canô khi nước ngược dòng là \(x - 4\) (km/h)
Thời gian canô chạy khi nước xuôi dòng là \(\frac{{48}}{{x - 4}}\) (h)
Theo giả thiết ta có phương trình \(\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5\).
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng \(3\) m và diện tích bằng \(270\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Gọi chiều rộng của khu vườn là \(x\) (m) với \(x > 0.\) Phương trình của bài toán này là
\(x\left( {x + 3} \right) = 270\)
\(x\left( {x - 3} \right) = 270\)
\(x + \left( {x + 3} \right) = 270\)
\(x:\left( {x + 3} \right) = 270\)
Chọn A
Gọi chiều rộng của khu vườn là \(x\) (m) với \(x > 0.\)
Chiều dài của khu vườn là \(x + 3\) (m)
Do diện tích khu vườn là \(270\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có phương trình \(x\left( {x + 3} \right) = 270\).
Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoa Hồng dự định trồng \(300\)cây xanh. Đến ngày lao động, có \(5\) bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm \(2\) cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\)học sinh. Phương trình của bài toán này là gì?
\(\frac{1}{x} - 2 = \frac{1}{{x - 5}}.\)
\(\frac{{300}}{x} + 2 = \frac{{300}}{{x - 5}}.\)
\[\frac{{300}}{x} - 2 = \frac{{300}}{{x - 5}}.\]
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 5}} = 300.\)
Chọn B
Gọi \(x\) là số học sinh lớp 9A \(\left( {x > 5,\,\,x \in \mathbb{Z}} \right)\)
Số cây mỗi bạn dự định trồng là: \(\frac{{300}}{x}\) (cây)
Sau khi 5 bạn tham gia chiến dịch an toàn giao thông thì lớp còn lại: \(x - 5\) (học sinh).
Do đó mỗi bạn còn lại phải trồng: \(\frac{{300}}{{x - 5}}\) (cây)
Theo đề ra ta có phương trình \(\frac{{300}}{x} + 2 = \frac{{300}}{{x - 5}}\).
Một công nhân dự định làm \(70\) sản phẩm trong thời gian quy định. Nhưng do áp dụng kĩ thuật nên đã tăng năng suất thêm \(5\) sản phẩm mỗi giờ. Do đó, không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn \(40\) phút mà còn làm thêm được \(10\) sản phẩm so với dự định. Tính năng suất dự định.
\(15\) sản phẩm/giờ.
\(20\) sản phẩm/giờ.
\(25\) sản phẩm/giờ.
\(30\) sản phẩm/giờ.
Chọn A
Gọi năng suất dự định là \(x\) (sản phẩm/giờ, \(\left. {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\);
Thời gian dự định làm \(70\) sản phẩm là \(\frac{{70}}{x}\) giờ.
Thời gian thực tế làm \(80\) sản phẩm với năng suất \(x + 5\) (sản phẩm/giờ) là \(\frac{{80}}{{x + 5}}\). giờ.
Theo đề bài, công nhân hoàn thành trước kế hoạch \(40\) phút (\( = \frac{2}{3}\) giờ).
Ta có phương trình:
\(\frac{{70}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {x^2} + 20x - 525 = 0.\)
\(\Delta = {20^2} - 4 \cdot ( - 525) = 2500 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 15\) (nhận); \({x_2} = - 35\) (loại).
Vậy năng suất dự định là \(15\) sản phẩm/giờ.
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích \[180\,{{\rm{m}}^2}\]. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên \[4\,{\rm{m}}\] và chiều cao tương ứng giảm đi \[1\,{\rm{m}}\] thì diện tích không đổi.
\[35\;{\rm{m}}\].
\[36\,{\rm{m}}\].
\[37\,{\rm{m}}\].
\[38\,{\rm{m}}\].
Chọn B
Gọi dộ dài cạnh đáy là: \[x\,(m),\,x > 0\].
Chiều cao của thửa ruộng là: \[\frac{{360}}{x}\,({\rm{m}})\].
Vì nếu tăng cạnh đáy lên \[4\,{\rm{m}}\], và chiều cao tương ứng giảm đi \[1{\rm{m}}\]thì diện tích không đổi nên ta có phương trình:
\[\frac{1}{2}.(x + 4).\left( {\frac{{36}}{x} - 1} \right) = 180 \Leftrightarrow (x + 4).\left( {\frac{{36}}{x} - 1} \right) = 360\]
\[ \Leftrightarrow 360 - x + \frac{{1440}}{x} - 4 = 360 \Leftrightarrow - x + \frac{{1440}}{x} - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow - {x^2} - 4x + 1440 = 0 \Leftrightarrow - (x - 36)(x + 40) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 36 = 0\\x + 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36\\x = - 40\,\,(L)\end{array} \right.\]
Vậy chiều dài cạnh đáy của thửa ruộng đó là: \[36{\rm{m}}\].
Tích hai số tự nhiên liên tiếp hơn tổng của chúng là \(109\). Hai số đó là
\(11\) và \(12\)
\(10\) và \(11\)
\(12\) và \(13\)
\(13\) và \(14\)
Chọn A
Gọi số tự nhiên bé là \(x\) (\(x \in {N^*}\))
Số tự nhiên lớn là \(x + 1\)
Tích hai số là:\(x(x + 1) = {x^2} + x\)
Tổng của chúng là: \(x + x + 1 = 2x + 1\)
Theo bài ta có phương trình: \({x^2} + x - 2x - 1 = 109\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 110 = 0\)
Ta có: \(\Delta = 1 + 440 = 441\): vì \(\Delta > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{1 + 21}}{2} = 11\). ( TMĐK) \({x_2} = \frac{{1 - 21}}{2} = - 10\) ( KTMĐK) Vậy hai số phải tìm là \(11\) và \(12\)
Hai số chẵn nguyên dương liên tiếp có tổng bình phương của hai số là \(244\) là:
\(16\) và \(18\)
\(14\) và \(16\)
\(12\) và \(14\)
\(10\) và \(12\)
Chọn D
Gọi số thứ nhất là \(x\) (\(x \in {N^*}\))
⇒ Số thứ hai là \(x + 2\)
Vì tổng bình phương của hai số là \(244\) nên ta có phương trình
\({x^2} + {(x + 2)^2} = 244\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 240 = 0\) Giải phương trình
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 120 = 0\).
Ta có \(\Delta = 4 + 480 = 484 > 0\)
vì \(\Delta > 0\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - 2 + 22}}{2} = 10\), \({x_2} = \frac{{ - 2 - 22}}{2} = - 12\)
Với \(x = 10\) (thỏa mãn điều kiện) do đó số thứ nhất là \[10\] và số thứ hai là \[12\]
Với \(x = - 12\) (không thỏa mãn điều kiện) nên loại
Hai số tự nhiên biết số lớn hơn số bé \[3\] đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng\[369\].
\(12\) và \(15\)
\(11\) và \(14\)
\(10\) và \(13\)
\(13\) và \(16\)
Chọn A
Gọi số thứ nhất là \(x\) (\(x \in {N^*}\))
⇒ Số thứ hai là \(x + 3\)
Vì tổng bình phương của hai số là \(369\) nên ta có phương trình
\({x^2} + {(x + 3)^2} = 369\)
Giải phương trình
Với \(x = 12\) (thỏa mãn điều kiện) do đó số thứ nhất là \(12\) và số thứ hai là \(15\)
Với \(x = - 15\) (không thỏa mãn điều kiện) nên loại
Hai số có tổng bằng \[17\] và tổng lập phương của chúng bằng \[1241\] là:
\(10\) và \(7\)
\(11\) và \(6\)
\(8\) và \(9\)
\(5\) và \(12\)
Chọn C
Gọi số thứ nhất là \(x\) thì số thứ hai là \(17 - x\)
Vì tổng lập phương của hai số đó bằng \(1241\) nên ta có phương trình
\({x^3} + {(17 - x)^3} = 1241\)
\({x^3} + 4913 - 867{\rm{x + 51}}{x^2} - {x^3} = 1241\)
\({\rm{51}}{x^2} - 867{\rm{x}} = 3672\)
\({x^2} - 17{\rm{x - }}72 = 0\) Giải phương trình tìm được hai số là \(8\)và \(9\)
\(\Delta = 289 - 288 = 1 > 0\) vì \(\Delta > 0\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{17 + 1}}{2} = 9\) \({x_2} = \frac{{1711}}{2} = 8\)
Vậy hai số cần tìm là \(8\)và \(9\)
Hai số nguyên liên tiếp mà bình phương số thứ nhất cộng hai lần số thứ hai bằng là:
\(4\) và \(3\)
\(3\) và \(4\)
\( - 3\) và \( - 4\)
\( - 4\) và \( - 3\)
Chọn D
Gọi gọi số lẻ thứ nhất là \(a\), thứ hai là \(a + 1\) (\(a \in Z\))
Theo bài ta có: \({a^2} + 2.(a + 1) = 10\)
\({a^2} + 2.a - 8 = 0\)
Ta có: \(\Delta = 4 - 4.( - 8) = 36\) vì \(\Delta > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({a_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = 2\), \({a_1} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = - 4\)
Với \(a = 2\) thì \(a + 1 = 3\)
Với \(a = - 4\) thì \(a + 1 = - 3\)
Một bể chứa có thể tích 60m3, trong bể đang chứa sẵn 10m3 nước. Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước đó trong một thời gian nhất định. Do người công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5m3/h nên bể đã được bơm đầy sớm hơn dự kiến 1 giờ 40 phút. Tính công suất máy bơm đã được công nhân cho hoạt động.
\(10{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/{\rm{h}}\)
\(15{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/{\rm{h}}\)
\(5{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/{\rm{h}}\)
\(20{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/{\rm{h}}\)
Chọn B
Gọi năng suất máy bơm công nhân cho hoạt động là \(x({m^3}/h)\) \(x > 5\)thì
Năng suất theo kế hoạch \(x - 5({m^3}/h)\)
Thời gian theo kế hoạch \(\frac{{50}}{{x - 5}}\)(h) Thời gian thực tế \(\frac{{50}}{x}\) (h)
Ta có phương trình \(\frac{{50}}{x} + \frac{5}{3} = \frac{{50}}{{x - 5}}\)
Giải phương trình được \(x = - 10\) (loại), \(x = 15\) (thỏa mãn)
Hai vòi nước chảy vào hai bể có dung tích như nhau là 2400 lít. Mỗi phút vòi thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất 8 lít nên thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể ít hơn vòi thứ nhất là 10 phút. Mỗi phút cả hai vòi chảy được bao nhiêu lít?
40
44
88
80
Chọn C
Gọi số lít vòi 1 chảy trong 1 phút đầy bể là \(x\)(lít)
Thi số lít vòi 2 chảy trong 1 phút là là \(x + 8\)(lít)
Thời gian vòi 1 chảy đầy bề là \(\frac{{2400}}{x}\)(phút)
Thời gian vòi 2 chảy đầy bề là \(\frac{{2400}}{{x + 8}}\) (lít)
Ta có phương trình \(\frac{{2400}}{x} - \frac{{2400}}{{x + 8}} = 10\)
Giải phương trình được \(x = 40\)(thỏa mãn), \(x = - 48\)(loại)
Vậy môĩ phút cả 2 vòi chảy được: 40 + 40 + 8 = 88 (lít)
Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau \[2cm\,\]. Biết diện tích tam giác vuông đó là \[31,5\,\,c{m^2}\,\]. Độ dài cạnh góc vuông nhỏ là:
\[7\,cm\]
\[9\,cm\]
\[11\,cm\]
\[13\,cm\]
Chọn A
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là \[x\,(cm,\,x > 0)\]
Độ dài cạnh góc vuông lớn là \[x\, + 2\,\,(cm)\]
Vì diện tích của tam giác vuông là \[31,5\,\,c{m^2}\,\]nên ta có phương trình:
\[\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2) = 31,5\] suy ra: \[{x^2} + 2{\rm{x}} - 63 = 0\]
Giải phương trình ta được:
\[{x_1} = 7\] (tmđk)
\[{x_2} = - 9\] (không tmđk)
Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ là \[7\,cm\]
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \[720\,{m^2}\], nếu tăng chiều dài \[6\,m\] và giảm chiều rộng \[4\,m\] thì diện tích của mảnh đất không đổi. Chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là :
\[20\,m,\,\,36\,m\]
\[36\,m,\,\,20\,m\]
\[30\,m,\,\,24\,m\]
\[24\,m,\,\,30\,m\]
Chọn C
Gọi chiều dài của mảnh đất là\[x\,(m,\,\,x > 0)\]
Chiều rộng của mảnh đất là \[\frac{{720}}{x}\,\,(m)\]
Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6m là : \[x + 6\,(m)\]
Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4m là : \[\frac{{720}}{x} - 4\,\,(m)\]
Theo bài ra nếu tăng chiều dài \[6\,m\] và giảm chiều rộng \[4\,m\] thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình: \[(x + 6).(\frac{{720}}{x} - 4) = 720\]
Suy ra: \[{x^2} + 6x - 1080 = 0\]
Giải phương trình ta được:
\[{x_1} = 30\] (tmđk)
\[{x_2} = - 36\] (không tmđk)
Vậy chiều dài mảnh đất là \[30\,m\], chiều rộng mảnh đất là \[24\,m\]
Một thửa ruộng tam giác có diện tích \[180\,{m^2}\]. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên \[4\,m\] và chiều cao tương ứng giảm đi \[1\,m\] thì diện tích tăng \[228\,{m^2}\]
\[10\,m\]
\[18\,m\]
\[20\,m\]
\[36\,m\]
Chọn C
Gọi cạnh đáy của thửa ruộng tam giác là\[x\,(m,\,\,x > 0)\]
Chiều cao tương ứng của thửa ruộng tam giác là \[\frac{{360}}{x}\,\,(m)\]
Cạnh đáy tăng thêm \[4\,m\] thì có độ dài là : \[x + 4\,(m)\]
Chiều cao giảm đi \[1\,m\] thì có độ dài là : \[\frac{{360}}{x}\, - 1\,(m)\]
Theo bài ra nếu tăng cạnh đáy lên \[4\,m\] và chiều cao tương ứng giảm đi \[1\,m\] thì diện tích không đổi.
\[(x + 4).(\frac{{360}}{x} - 1) = 180 + 228\]
Suy ra: \[{x^2} + 52x - 1440 = 0\]
Giải phương trình ta được:
\[{x_1} = 20\] (tmđk)
\[{x_2} = - 72\] (không tmđk)
Vậy chiều dài cạnh đáy của thửa ruộng là \[20\,m\]
Bác An đi xe máy từ nhà đến nơi làm việc cách nhau \(60\)km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được \(\frac{1}{3}\) quãng đưỡng, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng đường còn lại bác An phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc dự định ban đầu \(10\) km/h. Vận tốc dự định của bác An khi đi từ nhà đến nơi làm việc là bao nhiêu? Biết bác An đến nơi làm việc muộn hơn dự định \(20\) phút.
\(70\) km/h.
\(60\) km/h.
\(40\) km/h.
\(30\) km/h.
Chọn C
Đổi \(20\) phút = \(\frac{1}{3}\) (giờ).
Gọi vận tốc dự định của bác An đi từ nhà đến nơi làm việc là \(x\)(km/h) \(\left( {x > 10} \right)\)
Thời gian bác An dự định đi từ nhà đến nơi làm việc là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ).
Thời gian bác An đi trong \(\frac{1}{3}\) quãng đường đầu là \(\frac{{20}}{x}\) (giờ).
Thời gian bác An đi \(\frac{2}{3}\) quãng đường còn lại là \(\frac{{40}}{{x - 10}}\) (giờ).
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\frac{{20}}{x} + \frac{{40}}{{x - 10}} = \frac{{60}}{x} + \frac{1}{3}\)
\(\frac{{40}}{{x - 10}} = \frac{{40}}{x} + \frac{1}{3}\)
\(40x \cdot 3 = 40 \cdot 3 \cdot \left( {x - 10} \right) + x\left( {x - 10} \right)\)
\(120x = 120x - 1200 + {x^2} - 10x\)
\({x^2} - 10x - 1200 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 1\,\,200} \right) = 1\,\,225\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {1225} }}{1} = 40\) (thỏa mãn điều kiện); \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt {1225} }}{1} = - 30\) (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc dự định của bác An khi đi từ nhà đến nơi làm việc là \(40\) km/h.
Hai đội công nhân làm chung một công việc thì hoàn thành sau \(12\) giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là \(7\)giờ. Hỏi nếu cần làm riêng thì thời gian để đội thứ nhất hoàn thành công việc là bao nhiêu?
\(12\) giờ
\(49\) giờ.
\(21\) giờ.
\(28\) giờ.
Chọn D
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(x > 12\)
Thời gian đội hai làm một mình xong công việc là \(x - 7\) (giờ)
Trong \(1\) giờ, đội một thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc)
Đội thứ hai làm được \[\frac{1}{{x - 7}}\](công việc)
Cả hai đội làm được \[\frac{1}{{12}}\] (công việc)
Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 7}} = \frac{1}{{12}}\)
\(12\left( {x - 7} \right) + 12x = x\left( {x - 7} \right)\)
\({x^2} - 31x + 84 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( { - 31} \right)^2} - 4.1.\left( {84} \right) = 625\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{31 + \sqrt {625} }}{{2.1}} = 28\) (thỏa mãn điều kiện); \({x_1} = \frac{{31 - \sqrt {625} }}{{2.1}} = 3\) (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời gian đội thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là \(28\) (giờ)
Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở \(24\) tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đoàn xe được điều thêm \(6\)chiếc xe nữa nên mỗi xe lúc đó phải chởi ít hơn \(2\) tấn hàng so với dự định. Tính số xe thực tế tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau).
\(81.\)
\(12.\)
\(6.\)
\(18.\)
Chọn B
Gọi số chiếc xe theo dự định của đoàn xe là \(x\) (chiếc) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Số chiếc xe thực tế chuyên chở là \(x + 6\) (chiếc)
Theo dự định mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(\frac{{24}}{x}\) (tấn)
Thực tế mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(\frac{{24}}{{x + 6}}\) (tấn)
Do thực tế mỗi xe chở ít hơn dự định là \(2\) tấn nên ta có phương trình:
\(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 6}} = 2\)
\(24\left( {x + 6} \right) - 24x = 2\left( {{x^2} + 6x} \right)\)
\({x^2} + 6x - 72 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - 1.\left( { - 72} \right) = 81\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {81} }}{1} = - 12\) (loại); \({x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {81} }}{1} = 6\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thực tế đoàn xe có \(6 + 6 = 12\) (chiếc xe).
