46 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

a) \(a = 1,b = 4,c = {m^2} - 4;\)

b) \(a = 1,b = p,c =  - 1;\)

c) \(a = \sqrt 2 ,b = 1 + \sqrt 2 ,c =  - 2.\)

a) \(x = \pm \frac{3}{2}\) b) Vô nghiệm c) \(x = 0,x = 2.\)

1. \(4{x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{3}{2}\).

Phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right\}\).

2. \( - 2{x^2} + 50 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 25 \Leftrightarrow (x - 5)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 5\).

Phương trình có tập nghiệm là \(S = \{  - 5;5\} \).

3. Vì \(3{x^2} + 11 > 0\) với mọi giá trị của \(x\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Ta có:

\((x - 2) + 4x - 8 = 0\)

\({x^2} - 2x + 4x - 8 = 0\)

\(\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 9 = 0\)

\({(x + 1)^2} - {3^2} = 0\)

\(\left( {x - 2} \right).\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right..\end{array}\)\(\)

Phương trình có tập nghiệm là \(S = \{  - 4;2\} \).

b) Ta có:

\({x^2} - 4x + 2 = 0\)

\({x^2} - 4x + 4 = 2\)

\[\begin{array}{l}{(x - 2)^2} = 4\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = \sqrt 2 }\\{x - 2 =  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\end{array}\].

Phương trình có tập nghiệm là \(S = \{ 2 + \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 \} \).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 5x = 1\\{x^2} + \frac{5}{2}x = \frac{1}{2}\\{x^2} + 2.x.\frac{5}{4} + \frac{{25}}{{16}} = \frac{1}{2} + \frac{{25}}{{16}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{33}}{{16}}\\\left[ \begin{array}{l}x + \frac{5}{4} = \frac{{\sqrt {33} }}{4}\\x + \frac{5}{4} =  - \frac{{\sqrt {33} }}{4}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {33} }}{4} - \frac{5}{4}\\x =  - \frac{{\sqrt {33} }}{4} - \frac{5}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - \frac{{5 - \sqrt {33} }}{4}; - \frac{{5 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}\)

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 16\)

b) \({\left( {2x - 1} \right)^2} = 4\)

c) \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\)

d) \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{49}}{4}.\)

a) \(x = \frac{1}{3};x = 3\) b) \(x = \frac{{18 \pm 3\sqrt 6 }}{{10}}\)

c) \(x = \frac{8}{5};x = 4\) d) \(x = 3 \pm \sqrt 2 \).

a) \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) b) \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)

c) \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{7}{4}\) d) \(\left( {x + 1} \right)\left( {7x + 5} \right) = 0\).

\(c = 5;x = 1;x = 5.\)

a) Phương trình có dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a = \frac{1}{9};b =  - \frac{8}{3}\left( {b' =  - \frac{4}{3}} \right);c = 16.\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{1}{9}.16 = 0.\)

Nên phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = 12.\);

b) Phương trình có dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a = 0,4;b =  - 7;c = 30.\)

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.0,4.30 = 1 > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{7 + 1}}{{2.0,4}} = 10\); \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{7 - 1}}{{2.0,4}} = \frac{{15}}{2}.\)

a) \({x_1} = \frac{8}{3};{x_2} =  - 1\) b) \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{7}\)

c) Vô nghiệm d) \(x = 2 \pm \sqrt 3 \).

a) \({x_1} = \frac{{ - 1}}{3};{x_2} =  - 2\) b) \({x_1} = \frac{1}{{10}};{x_2} =  - \frac{5}{2}\)

c) \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{{5 + \sqrt 2 }}{{5 - \sqrt 2 }}\) d) \({x_1} = 8;{x_2} = 9\).

a) Phương trình có dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a = 2 - \sqrt 5 ;b =  - 1;c = \sqrt 5  - 1.\)

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4\left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right) = 29 - 12\sqrt 5  = {\left( {2\sqrt 5  - 3} \right)^2} > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{1 + 2\sqrt 5  - 3}}{{2\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}} =  - 3 - \sqrt 5 \); \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{1 - 2\sqrt 5  + 3}}{{2\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}} = 1.\)

b) Phương trình có dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a = \sqrt 2 ;b = 4\sqrt 3 \left( {b' = 2\sqrt 3 } \right);c =  - 2\sqrt 2 .\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right) = 16 > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2\sqrt 3  + 4}}{{\sqrt 2 }} =  - \sqrt 6  + 2\sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2\sqrt 3  - 4}}{{\sqrt 2 }} =  - \sqrt 6  - 2\sqrt 2 \)

a) Học sinh tự vẽ đồ thị (P)

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} - 2{x^2} = x - 3\\2{x^2} + x - 3 = 0\\2{x^2} + 3x - 2x - 3 = 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\end{array}\)

\(x = 1\) và \(x =  - \frac{3}{2}\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y =  - 2\)

Với \(x =  - \frac{3}{2} \Rightarrow y =  - \frac{9}{4}\)

Vậy giao điểm của (P) và (d) là \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{9}{4}} \right)\)

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}.\)

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm cần tìm với \(a \ne 0,\,b \ne 0\).

Vì \(M\) có tung độ gấp hai lần hoành độ nên \(b = 2a\)

Khi đó: \(M\left( {a,2a} \right)\)

Vì \(M\left( {a,2a} \right) \in \left( P \right):y = 2{x^2}\) nên:

\(\begin{array}{l}2a = 2{a^2}\\2{a^2} - 2a = 0\\{a^2} - a = 0\\a\left( {a - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(a = 0\) và \(a = 1\)

Vì \(a \ne 0\) nên ta chọn \(a = 1\). Vậy \(M\left( {1;2} \right)\)

+ Vẽ (P):

+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của pt:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x - 2 =  - \frac{1}{4}{x^2}\\\frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0\\{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 4x - 8 = 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\x =  - 4;x = 2\end{array}\)

Với x=2 ta được y=-1; với x=-4 ta được y=-4.

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là : \(\left( {2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 4; - 4} \right)\)

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\).

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) đi qua gốc tọa độ \(O\), có bề lõm hướng xuống và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

 \( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 4} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\), \(\left( {2; - 4} \right)\).

Đồ thị Parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\):

b)

Hoành độ giao điểm của đồ thị \((P)\) và \((d)\)là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l} - {x^2} = 5x + 6\\{x^2} + 5x + 6 = 0\end{array}\)

Ta có: \({\rm{\Delta }} = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{2} =  - 2\\{x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array}\).

Với \({x_1} =  - 2 \Rightarrow {y_1} =  - {( - 2)^2} =  - 4\).

Với \({x_2} =  - 3 \Rightarrow {y_2} =  - {( - 3)^2} =  - 9\).

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và (d) là \(A\left( { - 2; - 4} \right),B\left( { - 3; - 9} \right)\).

a) Vẽ \((P)\)

Vẽ đồ thị hàm số \((P):y = {x^2}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(a = 1 > 0\), hàm số đồng biến nếu \(x > 0\), hàm số nghịch biến nếu \(x < 0\)

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(Oy\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng \((d):y =  - x + 2\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \((P)\) và đường thẳng \((d)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} =  - x + 2\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array}\)

Ta có: \(a + b + c = 1 + 1 - 2 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} =  - 2\)

Với \(x = 1\) ta có \(y = {1^2} = 1\).

Với \(x =  - 2\) ta có \(y = {( - 2)^2} = 4\).

Vậy đồ thị \((P)\) cắt \((d)\) tại hai điểm \((1;1),( - 2;4)\).

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \[Oxy\].

+ Xét parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)

Hệ số \[a = 1 > 0\] nên hàm số đồng biến khi \[x > 0\], nghịch biến khi \[x < 0\] và có bề lõm hướng lên trên

Bảng giá trị:

\[ \Rightarrow \]Parabol \(\left( P \right)\)là đường cong có đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), qua các điểm \(\left( {1;1} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {2;4} \right),\left( { - 2;4} \right)\)

+ Xét đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 2\)

Bảng giá trị:

\[ \Rightarrow \]Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt trục \[Ox\]tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\), cắt trục \[Oy\] tại điểm \(\left( {0;2} \right)\)

Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \[Oxy\].

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\)và đường thẳng \(\left( d \right)\):

\[\begin{array}{l}{x^2} = x + 2\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array}\]

\(a - b + c = 0\)nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} =  - \frac{c}{a} = 2\)

+ Với \({x_1} =  - 1 \to {y_1} =  - 1 + 2 = 1\)

+ Với \({x_2} = 2 \to {y_2} = 2 + 2 = 4\)

Vậy parabol \(\left( P \right)\)và đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right),\left( {2;4} \right)\).

a) Gọi \(y = ax + b\) là phương

trình đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - 1} \right) + b = 1\\a.3 + b = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

suy ra phương trình đường thẳng \(AB\)\(\left( d \right):y = 2x + 3\).

Đường thẳng \(AB\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(I\left( {0;3} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI\).

Ta có \(AH = 1;BK = 3,OI = 3\).

Suy ra \({S_{OAB}} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C\left( {c;{c^2}} \right)\) thuộc cung nhỏ \(\left( P \right)\) với \( - 1 < c < 3\).

Diện tích tam giác:\({S_{ABC}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{ACC'A'}} - {S_{BCC'B'}}\).

Các tứ giác \(ABB'A',AA'C'C,CBB'C'\) đều là hình thang vuông nên ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{{1 + 9}}{2}.4 - \frac{{1 + {c^2}}}{2}.\left( {c + 1} \right) - \frac{{9 + {c^2}}}{2}.\left( {3 - c} \right) = 8 - 2{\left( {c - 1} \right)^2} \le 8\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C\left( {1;1} \right)\).

\(m \ge 0\)

a) \(m = \frac{{27}}{2}\) b) \(m = \frac{{51}}{5}\)

a) \(m > \frac{2}{3}\) b) Với mọi m.

1. Với \(m =  - \frac{3}{5}.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\)trở thành :

\( - \frac{3}{5}{x^2} + \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0.\)

Ta có : \(\Delta  = 1 - 4.3.\left( { - 2} \right) = 25 > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm : \({x_1} = \frac{{1 - 5}}{6} =  - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{{1 + 5}}{6} = 1.\)

2. Ta có :

ý Nếu \(m = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \( - x + 1 = 0.\)

Phương trình này có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

ý Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\)là phương trình bậc hai có :

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4.m.\left( {m + 1} \right) = 1 > 0.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại, với mọi giá trị của m thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm.

3. Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt là :

\({x_1} = \frac{{\left( {2m + 1} \right) - 1}}{{2m}} = 1;{x_2} = \frac{{\left( {2m + 1} \right) + 1}}{{2m}} = \frac{{m + 1}}{m}.\)

Vì nghiệm \({x_1} = 1 < 2\) nên ta phải xét nghiệm \({x_2} > 2.\)

\(\frac{{m + 1}}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{m} > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1.\)

Vậy khi \(0 < m < 1\)thì phương trình \(\left( 1 \right)\)có một nghiệm lớn hơn 2.

Thay \(x =  - 2\) vào phương trình ta tìm được \(m = 1\) hoặc \(m = 2\)

- Với \(m = 1\), ta có: \({x^2} - 6x - 16 = 0\). Giải được \(x =  - 2\) và \(x = 8\)

- Với \(m = 2\), ta có: \(2{x^2} - 9x - 26 = 0\) Giải được \(x =  - 2\) và \(x = \frac{{13}}{2}\)

a) Với \[m = 2\], phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 1 = 0\] hay \[x =  \pm 1\]

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với \[m = \frac{3}{2}\] phương trình đã cho trở thành: \[x - 1 = 0\] hay \[x = 1\]

TH2: Với \[m \ne \frac{3}{2}\] phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + \left( {2m - 3} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{R}\]

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\]

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[m \ne 1\]

Ta có: \[\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) = m + 1\]

a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt khi \[m \ne 0\] và \[\Delta  > 0\] hay \[m \ne 0\] và \[m >  - 1\]

b) Xét \[m \ne 0.\] Phương trình có nghiệm kép khi \[m \ne 0\] và \[\Delta ' = 0\] hay \[m =  - 1\]

c) Ta tìm được \[m <  - 1\]

d) Ta tìm được \[m = 0;m =  - 1\]

e) Ta tìm được \[m \ge  - 1\]

Ta có: \[\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m - 2} \right) = 4m + 1\]

a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt khi \[m \ne 2\] và \[\Delta ' > 0\] hay \[m \ne 2\]và \[m > \frac{{ - 1}}{4}\]

b) Tìm được \[m = \frac{{ - 1}}{4}\]

c) Ta tìm được \[m < \frac{{ - 1}}{4}\]

d) Ta tìm được \[m = 2;m = \frac{{ - 1}}{4}\]

e) Ta tìm được \[m \ge \frac{{ - 1}}{4}\]

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)

mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) Ta có

\[\begin{array}{l}{x^2} + \left( {m - 5} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\\{x^2} - 3x + \left( {m - 2} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[x = 3\] và \[x = 2 - m\]

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm \[x = 3\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra \[2 - m = 3 \Rightarrow m =  - 1\]

Ta cũng có thể xét \[\Delta  = {\left( {m - 5} \right)^2} + 4.3\left( {m - 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\]

Phương trình có nghiệm kép khi

\[\begin{array}{l}\Delta  = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\m =  - 1\end{array}\]

\(3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ca = 0\)

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\\\Delta ' = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\end{array}\)

\(\Delta ' = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - 4{b^2}{c^2}\)

\( = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {b + a - c} \right) < 0.\)

Gọi số thứ nhất là \(x\), số thứ hai là \(y\).

Theo đề bài tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị nên ta có phương trình \(x + y = 17\). \[\left( 1 \right)\]

Số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị nên ta có phương trình \((x + 3)(y + 2) = 105\). \[\left( 2 \right)\]

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 17}\\{(x + 3)(y + 2) = 105}\end{array}} \right.\)

Rút \(y\) từ \((1)\) thế vào \((2)\) và thu gọn, ta được

\({x^2} - 16x + 48 = 0.\)

Giải phương trình ta được \({x_1} = 12\) (thỏa mãn) và \({x_2} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy nếu số thứ nhất là 12 thì số thứ hai là 5; nếu số thứ nhất là 4 thì số thứ hai là 12.

Gọi hai số cần tìm là \[x\] và \[y\]. Ta có hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 9\\{x^2} - {y^2} = 119\end{array} \right.\]. Giải ra được \[\left( {12;5} \right)\] và \[\left( { - 19,2; - 15,8} \right)\].

Gọi \[x\left( {km/h} \right)\] là vận tốc canô lúc ngược dòng.

Ta có phương trình: \[\frac{{45}}{{x + 6}} - \frac{{18}}{x} = 1\]. Suy ra \[x = 12\]; \[x = 9\].

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian đội thứ nhất đào một mình xong con mương thì \[25 - x\] (giờ) là thời gian đội thứ hai đào một mình xong con mương.

Điều kiện \[0 < x < 25\].

Trong 1 giờ đội thứ nhất đào được \[\frac{1}{x}\] con mương, đội thứ hai đào được \[\frac{1}{{25 - x}}\] con mương và cả hai đội đào chung được \[\frac{1}{6}\] con mương. Ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{{25 - x}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow 6\left( {25 - x} \right) + 6x = x\left( {25 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 25x + 150 = 0\].

Ta có 6 giờ 40 phút \( = 6\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ, \(x > 6\frac{2}{3}\) ).

Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong việc là \(x + 3\) (giờ).

Mỗi giờ công nhân thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi giờ công nhân thứ hai làm được \(\frac{1}{{x + 3}}\) (công việc).

Theo đầu bài, hai công nhân cùng làm thì hoàn thành công việc trong \(6\frac{2}{3}\) giờ. Nên mỗi giờ họ cùng làm được \(1:6\frac{2}{3} = \frac{3}{{20}}\) (công việc). Ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 3{x^2} - 31x - 60 = 0\).

Ta có \(\Delta  = {31^2} - 4.3.( - 60) = 1681 > 0\) nên phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - \frac{5}{3}(\)loại\();{x_2} = 12\) (nhận).

Vậy thời gian công nhân thứ nhất làm xong công việc là 12 giờ. Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Gọi số cạnh của đa giác là \[n\] (\[n\] nguyên dương)

Số đường chéo của đa giác \[n\] cạnh là \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\]

Ta có phương trình: \[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 170\] hay \[{n^2} - 3n - 340 = 0\].

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,(\;{\rm{m}},x > 0)\), thì chiều rộng hình chữ nhật là \(\frac{{100}}{x}(\;{\rm{m}})\).

Theo đầu bài, nếu tăng chiều rộng thửa ruộng lên\(2\;{\rm{m}}\)và giảm chiều dài thửa ruộng đi \(5\;{\rm{m}}\) thì diện tích thửa ruộng tăng thêm \(5\;{{\rm{m}}^2}\), ta có phương trình:

\((x - 5) \cdot \left( {\frac{{100}}{x} + 2} \right) = 100 + 5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x - 500 = 0\)

Ta có \(\Delta  = {15^2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 500) = 4225 > 0\), nên phương trình có nghiệm \({x_1} =  - \frac{{25}}{2}(\)loại\();{x_2} = 20\) (nhận).

Vậy chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là \(20\;{\rm{m}}\), chiều rộng là \(5\;{\rm{m}}\).

Đặt \(MA = x\), ta có \(MB = NC = 12 - x\,(\;{\rm{cm}})\).

\({S_{MPCN}} = {S_{ABC}} - {S_{BMP}} - {S_{AMN}} = 72 - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}{(12 - x)^2} =  - {x^2} + 12x\)

Ta có phương trình \( - {x^2} + 12x = 32 \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 32 = 0.\)

Ta có \(\Delta  = {12^2} - 4 \cdot 2 \cdot (32) = 16 > 0\), nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 8\) (nhận); \({x_2} = 4\) (nhận).

Kết luận khi \(M\) cách\(A\,\)một khoảng bằng \(8\;{\rm{cm}}\)hoặc \(4\;{\rm{cm}}\)thì diện tích hình bình hành bằng \(32\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Gọi \[x\] là số dãy ghế lúc đầu \[\left( {x > 2;x \in \mathbb{N}} \right)\]

Lúc đầu, số người ngồi trên một dãy ghế là \[\frac{{80}}{x}\], lúc sau là \[\frac{{80}}{{x - 2}}\]

Ta có phương trình: \[\frac{{80}}{{x - 2}} - \frac{{80}}{x} = 2\]. Giải ra ta được: \[x = 10\].

Gọi \[x\] là số dãy ghế trong phòng \[\left( {x \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\]

Ta có phương trình: \[\frac{{55}}{{x + 1}} - \frac{{40}}{x} = 1\]. Suy ra \[x = 4\]; \[x = 10\].

\[2g55ph = \frac{{35}}{{12}}\] giờ

Gọi \[x\left( g \right)\] là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể thì \[x + 2\] (giờ) là thời gian vòi II chat một mình đầy bể. Ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{35}} \Leftrightarrow 6{x^2} - 23x - 35 = 0\]

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\,\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}},x > 4)\).

Suy ra vận tốc của ca nô khi xuồi dòng là \(x + 4\,\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là \(x - 4\,\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng \(24\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng \(16\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{16}}{{x - 4}}\) (giờ).

Theo đề bài, thời gian ca nô đi bằng thời gian bè trôi đến chỗ gặp nhau, nên ta có phương trình

\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = \frac{8}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 20x = 0.\)

Ta có \(\Delta  = {20^2} = 400 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 0\) (loại); \({x_2} = 20\) (nhận).

Vậy vận tốc thực của ca nô là \(20\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\,(\;{\rm{m}},0 < x < 13)\), thì chiều dài mảnh đất là \(x + 7(\;{\rm{m}})\).

Theo đầu bài, hình chữ nhật có độ dài đường chéo là \(13\;{\rm{m}}\), áp dụng định lí Pi-ta-go ta có phương trình

\({x^2} + {(x + 7)^2} = {13^2} \Leftrightarrow {x^2} + 7x - 60 = 0.\)

\(\Delta  = {7^2} - 4 \cdot ( - 60) = 289 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} =  - 12\) (loại); \({x_2} = 5\) (nhận).

Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(5\;{\rm{m}}\) và chiều dài của mảnh đất là \(12\;{\rm{m}}\).

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của lớp \(9\;{\rm{A}}\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Số cây xanh mỗi học sinh cần phải trồng lúc đầu là \(\frac{{480}}{x}\) (cây). Số cây xanh mỗi học sinh phải trồng trong buổi lao động \(\frac{{480}}{x} + 3 = \frac{{480 + 3x}}{x}\) (cây). Số học sinh di trồng cây \(x - 8\) (học sinh). Theo đề bài, ta có phương trình

\((x - 8)\left( {\frac{{480 + 3x}}{x}} \right) = 480 \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 1280 = 0\)

\(\Delta  = {8^2} - 4 \cdot ( - 1280) = 5184 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} =  - 32\) (loại); \({x_2} = 40\) (nhận). Vậy số học sinh của lớp \(9\;{\rm{A}}\) là 40 học sinh.

Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là \(x\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3},(x > 200)\); khi đó, khối lượng riêng của chất thứ hai là \(x - 200\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}\).

Thể tích của chất thứ nhất là \(\frac{{0,008}}{x}\;{{\rm{m}}^3}\). Thể tích của chất thứ hai là \(\frac{{0,006}}{{x - 200}}\;{{\rm{m}}^3}\). Thể tích của hỗn hợp chắt lỏng là \(\frac{{0,008 + 0,006}}{{700}}\;{{\rm{m}}^3}\). Vì trước và sau khi trộn, tổng thể tích của hai chất lỏng đều không đổi nên ta có phương trình

\(\frac{{0,008}}{x} + \frac{{0,006}}{{x - 200}} = \frac{{0,008 + 0,006}}{{700}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 800}\\{{x_2} = 100{\rm{ (loai)}}{\rm{. }}}\end{array}} \right.\)