43 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng có đáp án (Phần 2)

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0 (a\ne 0)$. Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Đáp án: A

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+ c=0 (a\ne 0)$ có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm $x_1=1$, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0 (a\ne 0)$ có a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm $x_1=-1$, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$

Đáp án: C

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm $x_1=1$, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm $x_1=-1$, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$

Đáp án: A

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

$X^2 – SX + P = 0 (ĐK: S^2\ge 4P)$

Đáp án: B

Ta có $\left\{\begin{array}{l}S=u+v=m+1-m=1\\ P=uv=m(1-m)\end{array}\right.$ $\Rightarrow$u, v là hai nghiệm của phương trình  $x^2 – x + m (1 – m) = 0$  

Đáp án: A

Phương trình $x^2$ − 6x + 7 = 0 có  $∆$= ${(-6)}^2$ – 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $x_1+x_2 =-\frac{-6}{1}=6\iff x_1+x_2=6$

Đáp án C

Phương trình −3$x^2$ + 5x + 1 = 0 có $∆$ = $5^2$ – 4.1.(−3) = 37 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $x_1+x_2=-\frac{5}{-3}\iff x_1+x_2=\frac{5}{3}$

Đáp án: D

Phương trình $x^2$ − 5x + 2 = 0 có  = ${(-5)}^2$ – 4.1.2 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1.x_2=2\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} A=x_1^2+x_2^2 ={(x_1+x_2)}^2 – 2x_1.x_2 \\ =5^2–2.2=21 \end{gathered}$$

Đáp án: B

Phương trình 2$x^2$ − 11x + 3 = 0 có $∆={\left(-11\right)}^2-4.2.3=97>0$  nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{11}{2}\\ x_1.x_2=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Ta có

$A=x_1^2 +x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$ = ${\left(\frac{11}{2}\right)}^2-2.\frac{3}{2}$ = $\frac{109}{4}$

Đáp án: A

Phương trình −2$x^2$ − 6x − 1 = 0 có  = ${(-6)}^2$ – 4.(− 2).(−1) = 28 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-3\\ x_1.x_2=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} N=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3} \\ =\frac{x_1+x_2+6}{x_1.x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9} \\ =\frac{-3+6}{\frac{1}{2}+3.\left(-3\right)+9}=6 \end{gathered}$$

Đáp án: A

Phương trình: $-x^2$ − 4x + 6 = 0 có $∆$ = ${(-4)}^2$ – 4.(− 1).6 = 40 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-4\\ x_1.x_2=-6\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} N=\frac{1}{x_1+2}+\frac{1}{x_2+2} \\ =\frac{x_1+x_2+4}{x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4} \\ =\frac{-4+4}{-6+2.\left(-4\right)+4}=0 \end{gathered}$$

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ − 20x − 17 = 0 có  $∆$= 468 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=20\\ x_1.x_2=-17\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} C = x_1^3+x_2^3 \\ =x_1^3+ 3x_1^2{x}_2 +3x_1{x}_2^2 + x_2^3 - 3{x_1}^2{x}_2 - 3x_1{x}_2^2 \\ ={(x_1+x_2)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2) \\ ={20}^3–3.(-17).20 = 9020 \end{gathered}$$

Đáp án: D

Phương trình 2$x^2$ − 18x + 15 = 0 có $∆$' = 51 > 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=9\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{15}{2}\end{array}\right.$

Nên

$C=x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$ 

= $9^3-3.\frac{15}{2}.9=\frac{1053}{2}$

Đáp án: B

Phương trình (m – 2)$x^2$ – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2; b = − (2m + 5);

c = m + 7

Vì a + b + c = m – 2 – 2m – 5 + m + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

$x_1=1; x_2=\frac{m+7}{m-2}$

Đáp án: C

Phương trình m$x^2$ + (3m − 1)x + 2m − 1 = 0 (m $\ne$0) có

a = m; b = 3m – 1; c = 2m – 1

Vì a – b + c = m – 3m + 1 + 2m – 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

$x_1=-1; x_2=\frac{1-2m}{m}$

Đáp án: A

Phương trình 18$x^2$ + 23x + 5 = 0 có a – b + c = 18 – 23 + 5 = 0  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-1; x_2=-\frac{5}{18}$. Khi đó A = 18 (x + 1)$\left(x+\frac{5}{18}\right)$

Đáp án: A

Phương trình 5$x^2$ + 21x − 36 = 0  có a + b + c = 5 +21 – 26 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_1=1; x_2=-\frac{26}{5}$. Khi đó B = 5. (x − 1)$\left(x+\frac{26}{5}\right)$

Đáp án: C

Ta có S = u + v = 15, P = uv = 36. Nhận thấy $S^2$ = 225 > 144 = 4P nên u, v là hai nghiệm của phương trình

$x^2$ – 15x + 36 = 0 $\iff$ (x – 12)(x – 3) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=12\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy u = 12; v = 3 (vì u > v) nên u – v = 12 – 3 = 9

Đáp án: C

Ta có S = u + v = 14, P = uv = 40. Nhận thấy $S^2$ = 196 > 160 = 4P nên u, v là hai nghiệm của phương trình $x^2$ – 14x + 40 = 0 $\iff$ (x – 4)(x – 10) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=10\end{array}\right.$

Vậy u = 4; v = 10 (vì u < v) nên u – 2v = 4 – 2.10 = −16

Đáp án: C

Ta có S = 3 − $\sqrt{5}$ + 3 + $\sqrt{5}$ = 6 và P = (3 − $\sqrt{5}$).(3 + $\sqrt{5}$) = 4

Nhận thấy $S^2$ = 36 > 16 = 4P nên hai số 3 − $\sqrt{5}$ và 3 + $\sqrt{5}$ là nghiệm của phương trình $x^2-6x+4=0$

Đáp án: B

Ta có S = 2 + $\sqrt{7}$ + 2 − $\sqrt{7}$ = 4 và P = (2 + $\sqrt{7}$).(2 − $\sqrt{7}$) = 2² – ($\sqrt{7}$)²

= 4 – 7 = −3

Nhận thấy $S^2$ = 16 > −12 = 4P nên hai số 2 + $\sqrt{7}$ và 2 − $\sqrt{7}$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 4x - 3 =$0

Đáp án: A

Theo Vi-ét ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2a-1\\ x_1.x_2=-4a-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2(x_1+x_2)=4a-2\\ x_1,x_2=-4a-3\end{array}\right. \\ \Rightarrow 2(x_1+x_2)+x_1.x_2=-5 \end{gathered}$$

Vậy hệ thức cần tìm là $2(x_1+x_2)+x_1.x_2=-5$

Đáp án: D

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+5\\ x_1.x_2=3m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3(x_1+x_2)=3m+15\\ x_1.x_2=3m+6\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 3(x_1 + x_2) - x_1.x_2 \\ = 3m + 15 – 3m – 6 = 9 \end{gathered}$$

Vậy hệ thức cần tìm là $3(x_{1 }+ x_2) - x_1.x_2 = 9$

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ – 2(m – 1)x – m + 2 = 0 (a = 1; b = −2(m – 1); c = −m + 2)

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0$\iff$1.(−m + 2) < 0

$\iff$m > 2

Vậy m > 2 là giá trị cần tìm

Đáp án: B

Phương trình 3$x^2$ + (2m + 7)x – 3m + 5 = 0 (a = 3; b = 2m + 7; c = −3m + 5)

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi

ac < 0$\iff$3. (−3m + 5) < 0$\iff$−3m + 5 < 0$\iff$3m > 5 $\iff m>\frac{5}{3}$

Vậy $m>\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Phương trình $x^2$ – 2(m – 3) x + 8 – 4m = 0 (a = 1 ; b’ = −(m – 3); c = 8 – 4m)

Ta có

$$\begin{gathered} ∆\text{'}= {(m – 3)}^2 – (8 – 4m) \\ = m^2 – 2m + 1 = {(m – 1)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S = x_1 + x_2 = 2 (m – 3); \\ P = x_1. x_2 = 8 – 4m \end{gathered}$$

Vì a = 1 ≠ 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ P>0\\ S<0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2>0\\ 2\left(m-3\right)<0\\ 8-4m>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m<3\\ m<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m<2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m < 2 và m ≠ 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án: A

Phương trình 3$x^2$ + 7x + m = 0 (a = 3; b = 7; c = m)

Ta có $∆$ = $7^2$ – 4.3.m = 49 – 12m

Gọi $x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình

Theo hệ thức Vi-ét ta có $S = x_1 + x_2 =-\frac{7}{3}; P = x_1.x_2 =\frac{m}{3}$  

Vì a = 3 ≠ 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}49-12m>0\\ \frac{m}{3}>0\\ -\frac{7}{3}<0\left(luondung\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{49}{12}\\ m>0\end{array}\right.\Rightarrow 0<m<\frac{49}{12} \end{gathered}$$

Vậy $0<m<\frac{49}{12}$ là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ − 6x + 2m + 1 = 0 (a = 1; b’ = −3; c = 2m + 1)

Ta có $∆\text{'}$ = 9 – 2m – 1= 8 – 2m; $S=x_1+x_2=6;P=x_1.x_2=2m+1$

Vì a = 1 ≠ 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}8-2m>0\\ 6>0\\ 2m+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<4\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff -\frac{1}{2}<m<4 \end{gathered}$$

mà m $\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$\Rightarrow$m $\in${0; 1; 2; 3}

Vậy m $\in${0; 1; 2; 3}

Đáp án: D

Phương trình $x^2$ + (2m – 1)x + $m^2$ – 2m + 2 = 0

(a = 1; b = 2m – 1; c = $m^2$ – 2m + 2)

Ta có $∆={(2m–1)}^2–4.(m^2–2m+2)=4m–7$

Gọi $x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=1-2m\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2-2m+2\end{array}\right.$

Vì a = 1 ≠ 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.$

 $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4m-7>0\\ 1-2m>0\\ m^2-2m+2>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>\frac{7}{4}\\ m<\frac{1}{2}\\ {\left(m-1\right)}^2+1>0\left(luondung\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>\frac{7}{4}\\ m<\frac{1}{2}\end{array}\right.\left(vo\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ly\right) \end{gathered}$$

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

Đáp án: D

Phương trình m$x^2$ – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 (a = m; b = – 2(m – 2); c = 3(m – 2))

Ta có

$$\begin{gathered} ∆\text{'}={(m–2)}^2-3m(m–2) \\ =-2m^2+2m+4=(4–2m)(m+1) \end{gathered}$$

$P=x_1. x_2 =\frac{3\left(m-2\right)}{m}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \left(4-2m\right)\left(m+1\right)>0\\ \frac{3\left(m-2\right)}{m}>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -1<m<2\\ \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow -1<m<0$

Vậy −1 < m < 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Phương trình (m – 1)$x^2$ + 3mx + 2m + 1 = 0 (a = m – 1; b = 3m; c = 2m + 1)

Ta có

$$\begin{gathered} ∆\text{'}={\left(3m\right)}^2–4.(2m+1).(m–1) \\ =m^2+4m+4={(m+ 2)}^2 \end{gathered}$$

Gọi $x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có

$P=x_1.x_2=\frac{2m+1}{m-1}$

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \ge 0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ {\left(m+2\right)}^2\ge 0\left(luondung\right)\\ \frac{2m+1}{m-1}>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ \frac{2m+1}{m-1}>0\end{array}\right.$

Ta có 

$$\begin{gathered} \frac{2m+1}{m-1}>0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2m+1>0\\ m-1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2m+1<0\\ m-1<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\ m>1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m<-\frac{1}{2}\\ m<1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $\left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ là giá trị cần tìm

Đáp án: D

Phương trình $x^2$ − mx – m − 1 = 0 có a = 1 ≠ 0 và $∆$  = $m^2$ – 4(-m – 1)

$={(m+2)}^2 \ge 0$ với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có  

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=-m-1\end{array}\right.$

Xét ${x_1}^3+{x_2}^3=-1$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1.x_2\left(x_1+x_2\right)=-1 \\ \iff m^3-3\left(-m-1\right).m=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff m^3+3m^2+3m+1=0 \\ \iff {(m+1)}^3=0 \iff m=-1 \end{gathered}$$

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Đáp án: B

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

$∆\text{'}={(m+1)}^2–2m=m^2+1>0$ với mọi  m;  nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1.x_2=2m\end{array}\right.$

Xét $x_1^3+x_2^3=8$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=8$

$\iff {\left[2\right(m + 1\left)\right]}^3 – 3.2m.\left[2\right(m + 1\left)\right] = 8$

$$\begin{gathered} \iff 8 (m^3+3m^2+3m+1)–6m(2m+2)=8 \\ \iff 8m^3+12m^2+12m=0 \end{gathered}$$

$\iff m (2m^2 +3m+3)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ 2m^2+3m+3=0\end{array}\right.$

Phương trình $2m^2+3m+3=0 có {∆}_1=3^2–4.2.3=-15<0$ nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ – 5x + m + 4 = 0 có a = 1 ≠ 0 và $∆$ = 25 – 4(m + 4) = 9 – 4m

Phương trình có hai nghiệm $x_1 ; x_2$ khi $∆\ge 0\iff 9-4m\ge 0\iff m\le \frac{9}{4}$ 

 Theo hệ thức Vi-ét ta có

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=5\\ x_1+x_2=\frac{c}{a}=m+4\end{array}\right.$

Xét 

$x_1^2+x_2^2=23\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$ = 23 ⇔ 25 - 2(m + 4)  = 23 ⇔ m = −3(TM)

Vậy m = −3 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ – 2mx + 2m − 1 = 0 có a = 1 ≠ 0 và $∆$  = 4$m^2$ – 4 (2m – 1)

$=4m^2–8m+4=4{(m–1)}^2 \ge 0; \forall m$

Phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$ với mọi m

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=2m-1\end{array}\right.$

Xét 

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

⇔ $4m^2$– 2(2m–1) = 10

$$\begin{gathered} \iff 4m^2–4m+2–10=0 \\ \iff 4m^{2 }–4m–8=0\iff m^2–m–2=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff m^2–2m+m–2=0 \\ \iff m(m–2)+(m–2)=0\iff (m+1)(m–2)=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-1\end{array}\right.$

Vậy m = 2 và m = −1 là các giá trị cần tìm

Đáp án: D

Phương trình $x^2$ + 3x – m = 0 có a = 1 ≠ 0 và  $∆$= 9 + 4m

Phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$ khi $∆\ge 0\iff 9 + 4m\ge 0\iff m\ge -\frac{9}{4}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-3\left(1\right)\\ x_1.x_2=-m\left(2\right)\end{array}\right.$