32 câu Trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 1. Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) có đáp án

Chọn A

Hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) xác định với mọi giá trị \(x \in \mathbb{R}.\)

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong.

Chọn C

Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

Có đỉnh là gốc tọa độ \(O\,;\)

Có trục đối xứng là \(Oy\,;\)

Nằm phía trên trục hoành nếu \(a > 0\) và nằm phía dưới trục hoành nếu \(a < 0.\)

Chọn B

Hai điểm \(\left( {x;y} \right)\) và \(\left( { - x;y} \right)\) đối xứng nhau qua trục tung \(Oy.\)

Chọn C

Đồ thị hàm số trong hình vẽ trên có dạng parabol nên \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị hàm số đi nằm phía dưới trục hoành nên \(a < 0.\)

Chọn D

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \(3{\left( { - 1} \right)^2} = 3 \ne  - 3.\)

Điểm \(\left( {4\,;\,\,12} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \({3.4^2} = 48 \ne 12.\)

Điểm \(\left( { - 2\,;\,\, - 6} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \(2.{\left( { - 2} \right)^2} = 8 \ne  - 6.\)

Điểm \(\left( {1\,;\,\,3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \({3.1^2} = 3.\)

Chọn A

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) nên ta có:

\(3 = \left( {m + 2} \right){\left( { - 1} \right)^2}\)

\(m + 2 = 3\)

\(m = 1.\)

Vậy để đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) thì \(m = 1.\)

Chọn B

Ta thấy:

Điểm \[\left( { - 4;\,\, - 4} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{\left( { - 4} \right)^2} =  - 4\).

Điểm \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{\left( { - 2} \right)^2} =  - 1\).

Điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{0^2} = 0\).

Điểm \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{2^2} =  - 1\).

Điểm \(\left( {4;\,\, - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{4^2} =  - 4\).

Vậy để vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) cần xác định các điểm \(\left( { - 4; - 4} \right);\,\,\left( { - 2; - 1} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2; - 1} \right);\,\,\)\(\left( {4; - 4} \right).\)

Chọn A

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng \( - 6\) thì hoành độ \(x\) thỏa mãn phương trình \( - 6 =  - 2{x^2}\) nên \({x^2} = 3.\)

Do đó \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3.\)

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 6} \right);\,\,\left( { - \sqrt 3 ;\, - 6} \right).\)

Chọn A

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m + 2 > 0\) hay \(m >  - 2.\)

Chọn B

Điểm có hoành độ bằng \(1\) là một điểm chung của parabol \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\) thì có tung độ \(y = {2.1^2} = 2.\)

Suy ra \(\left( {1;2} \right)\) là điểm chung của parabol và đường thẳng.

Vì \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\) nên ta có \(2 = \left( {m - 1} \right).1 - 2\) hay \(m = 5.\)

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy:

Đây là đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm \(\left( {1\,;\,2} \right)\) nên ta thay vào hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), ta được

\(2 = a{.1^2}\) suy ra \(a = 2\).

Vậy đồ thị trên là đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}.\)

Chọn B

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\) thì tung độ là \(y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1.\)

Khi đó, điểm \(\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\) đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\).

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(2\) thì tung độ là \(y = {2^2} = 4.\)

Khi đó, điểm \(\left( {2\,;\,\,4} \right)\) đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 2.

Đường thẳng cần tìm có dạng \(y = ax + b\,\,\left( d \right)\)

Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\) và \(2\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 1\,;\,\,1} \right) \in d\\\left( {2\,;\,\,4} \right) \in d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 =  - a + b\\4 = 2a + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right..\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(y = x + 2.\)

Chọn A

Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):\,\,y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + \frac{3}{2}\) là nghiệm của phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\)

\({x^2} = 2x + 3\)

\({x^2} - 2x - 3 = 0\)

\({x^2} - 3x + x - 3 = 0\)

\(x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\)

\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(x - 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x =  - 1.\)

Với \(x =  - 1\) thì \(y =  - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\) nên \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\)

Với \(x = 3\) thì \(y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\) nên \[B\left( {3\,\,;\,\frac{9}{{\,2}}} \right).\]

Do đó, độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - \frac{9}{2}} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 .\)

Chọn D

*Xét điểm \(A\left( { - 1\,{\rm{;}}\,3} \right)\)

Thay \(x =  - 1\) vào công thức \(y =  - 3{x^2}\) ta được \(y =  - 3.{\left( { - 1} \right)^2} =  - 3 \ne 3\)

Vậy điểm \(A\) không thuộc đồ thị hàm số.

Tương tự:

Điểm \(B\left( {{\rm{1}}\,{\rm{;}}\, - 3} \right)\) có \( - {3.1^2} =  - 3\) nên điểm \(B\) thuộc đồ thị hàm số.

Điểm \(C\left( {\frac{1}{2}\,{\rm{;}}\,\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) có \( - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 3}}{4} \ne \frac{{ - 3}}{2}\) nên điểm \(C\) không thuộc đồ thị hàm số.

Điểm \(D\left( {\frac{1}{3}\,{\rm{;}}\,\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) có \( - 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{ - 1}}{3}\) nên điểm \(D\) thuộc đồ thị hàm số.

Vậy các điểm thuộc đồ thị hàm số là điểm \[B\] và \(D\).

Chọn C

Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = \frac{1}{8}{x^2}\) ta được: \(y = \frac{1}{8}{2^{2\,}} = \frac{1}{2}\).

Vậy điểm thuộc parabol \(y = \frac{1}{8}{x^2}\) có hoành độ bằng \(2\) là \[\left( {2\,;\,\frac{1}{2}} \right)\].

Chọn D

Vì điểm \[M\left( {\frac{1}{2};\,\frac{{ - 1}}{2}} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\] nên

\[\frac{{ - 1}}{2} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow a =  - 2\] (thỏa mãn).

Vậy \[a =  - 2\].

Chọn B

Thay \[y =  - 3\] vào \(y =  - {x^2}\) ta được: \[ - 3 =  - {x^2}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} = 3\]\[ \Leftrightarrow x =  \pm 3\].

Vì điểm cần tìm có hoành độ dương nên nó có tọa độ \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 3} \right)\).

Chọn B

Gọi điểm cần tìm là \[A\left( {a\,;\,2a} \right)\,\left( {a \ne 0} \right)\].

Do điểm \[A\] thuộc parabol \[y =  - {x^2}\] nên

\[2a =  - {a^2}\]\[ \Leftrightarrow {a^2} + 2a = 0\]\[ \Leftrightarrow a\left( {a + 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow a =  - 2\] (vì \[a \ne 0\]).

Vậy điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( { - 2;\, - 4} \right)\).

Chọn A

B, C, D đúng.

A sai vì nếu \[a > 0\]thì hàm số mới đồng biến khi \[x > 0\] và nghịch biến khi \[x < 0\].

Chọn C

Từ lí thuyết của hàm số bậc hai \[y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\], ta có kết luận sau:

Điểm đối xứng với \[C\] qua trục \[Oy\] là điểm \(\left( { - m\,;\,n} \right)\) thuộc đồ thị hàm số (vì đồ hàm số \[y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\] nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng);

Điểm đối xứng với \[C\] qua trục \[Ox\] không thuộc đồ thị hàm số;

Điểm đối xứng với \[C\] qua gốc tọa độ \[O\] là điểm \(\left( { - m;\, - n} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.

Chọn C

Cách 1: Parabol đã cho có dạng là đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\left( {a > 0} \right)\].

Do parabol này đi qua điểm \[A\left( { - 2\,;\,2} \right)\] nên \[a.{\left( { - 2} \right)^2} = 2\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\] ( thỏa mãn \[a > 0\]).

Vậy hàm số cần tìm là \[y = \frac{1}{2}{x^2}\].

Cách 2: Parabol đã cho có dạng là đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\left( {a > 0} \right)\] nên ta có thể loại ngay phương án          D.

Thử trực tiếp các phương án còn lại, nhận thấy hàm số có đồ thị đi qua điểm \[A\left( { - 2\,;\,2} \right)\] là \[y = \frac{1}{2}{x^2}\].

Chọn B

Đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\) là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ \[O\], đi qua các điểm \[\left( { - 1;\, - 2} \right),\,\left( {1;\, - 2} \right)\]. Vậy hình vẽ cần tìm là hình \[d)\].

Chọn C

 A đúng, vì khi thay \(x = \frac{1}{3}\)vào \(y =  - 3{x^2}\)ta được \(y =  - 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{ - 1}}{3}\).

 B đúng, vì giá trị lớn nhất của hàm số \(y = a{x^2}\,\left( {a < 0} \right)\)bằng \(0\).

 C sai, vì hàm số \(y = a{x^2}\,\left( {a < 0} \right)\) không có giá trị nhỏ nhất.

 D đúng, vì với \(a < 0\)thì \(y = a{x^2} \le 0\),\(\forall x\).

Chọn C

Hàm số \(y = x\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ - {x^2}\,khi\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Để vẽ đồ thị hàm số \(y = x\left| x \right|\)ta giữ nguyên đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\)phía bên phải trục tung, gạch bỏ phần đồ thị bên trái trục tung của hàm số này và lấy đối xứng phần đồ thị bị gạch ấy qua trục hoành.

Chọn B

Hàm số \(y = a{x^2}\)đồng biến khi \(x < 0\) nếu \(a < 0\). Do vậy các hàm số cần tìm là b) và d).

Chọn A

Hàm số \(y = a{x^2}\)đồng biến khi \(x > 0\) nếu \(a > 0\).

Khi đó \(2 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < 2 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  < m < \sqrt 2 \).

Chọn B

Hàm số \(y = a{x^2}\)nghịch biến khi \(x > 0\) nếu \(a < 0\).

Khi đó \(3m - 1 < 0 \Leftrightarrow 3m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\).

Chọn D

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì diện tích sẽ bằng nửa tích hai đường chéo.

Do vậy \(y = \frac{1}{2}{x^2}\,\left( {x > 0} \right)\) (vì độ dài đường chéo tứ giác là số dương).

Chọn B

Thay \(y = 4\)vào \(y = 2{x^2}\)ta được \(4 = 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \).

Giả sử \(A\)có hoành độ âm, \(B\)có hoành độ dương. Khi đó \(A = \left( { - \sqrt 2 ;4} \right)\) và \(B = \left( {\sqrt 2 ;4} \right)\).

Tam giác \(OAB\)có đường cao \(OH = 4\), đáy \(AB = \sqrt 2  + \sqrt 2  = 2\sqrt 2 \) nên có diện tích là

\(\frac{1}{2}AB.OH = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .4 = 4\sqrt 2 \).

Chọn D

Gọi tọa độ của điểm \(M\) là \(\left( {x;y} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và song song với trục \(Ox\)có dạng \(\left( d \right):y + 1 = 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) là \(MA = \sqrt {{{\left( {0 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \left| {y + 1} \right|\)

Để khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) thì \(\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {y + 1} \right|\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\)\( \Leftrightarrow 4y = {x^2}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Vậy tập hợp các điểm \(M\)là một parabol có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Chọn B

Gọi tọa độ của \(I\) là \(\left( {x;y} \right)\), tọa độ của \(N\) là \(\left( {x';y'} \right)\).

Vì \(N\) đối xứng với \(O\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(ON\)\( \Rightarrow x = \frac{{x'}}{2}\); \(y = \frac{{y'}}{2}\).

Điểm \(I\) thuộc parabol nên ta có \(y = {x^2}\)\( \Rightarrow \frac{{y'}}{2} = {\left( {\frac{{x'}}{2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow y' = \frac{{x{'^2}}}{2}\).

Vậy điểm \(N\) di chuyển trên parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

Chọn A

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 2x + m\) hay \({x^2} - 2x + m = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có: \(\Delta ' = 1 + m\).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta ' > 0\) hay \(1 + m > 0\) hay \(m >  - 1.\)

Mà \(m\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(m = 0.\)