26 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 1. Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) (có lời giải)
26 câu hỏi
Cho hàm số \[y = - 3{x^2}\]. Lập bảng tính các giá trị của \[y\] ứng với giá trị của \[x\] lần lượt bằng: \[ - 2\]; \[ - 1\]; \[0\]; \[\frac{1}{3}\]; \[1\]; \[2\].
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = - 3x\) | \( - 12\) | \( - 3\) | \(0\) | \( - \frac{1}{3}\) | \( - 3\) | \( - 12\) |
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2}\]
a) Chứng minh rằng \[f\left( a \right) - f\left( { - a} \right) = 0\] với mọi \[a\].
b) Tìm \[a \in \mathbb{R}\]biết \[f\left( {a - 1} \right) = 4\].
a) \(f\left( { - a} \right) = \left( { - a} \right){}^2 = {a^2} = f\left( a \right) \Rightarrow f\left( a \right) - f\left( { - a} \right) = 0\)
b)
\(\begin{array}{l}f\left( {a - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 2\\a - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Chứng minh rằng hàm số \[y = - 5{x^2}\] có các tính chất sau:
a) \[y\] không dương với mọi giá trị của \[x\].
b) nếu \[\left| x \right|\] gấp \[n\] lần thì \[y\] gấp \[{n^2}\] lần.
a) Vì \( - 5{x^2} \le 0,\forall x \in R\)nên \(y \le 0\).
b) Để biểu thị \(\left| x \right|\) gấp n lần cho ta x hai giá trị là K và nK \(\left( {K \ne 0} \right)\).
Các giá trị tương ứng của y là \( - 3{K^2}\)và \( - 3{n^2}{K^2}\).
Cho hàm số \[y = \left( {m + 2} \right){x^2}\] \[\left( {m \ne - 2} \right)\], Tìm các giá trị của \[m\] để:
a) có giá trị \[y = 4\] khi \[x = - 1\].
b) hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
c) hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
a) \(m = 2;\) b) \(m < - 2;\) c) \(m > - 2.\)
Cho hàm số \[y = - {x^2}\]
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không?
\(A\left( {3;\frac{9}{{10}}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B\left( { - 5;\frac{5}{2}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C( - 10;1)?\)
b) Điểm A; B thuộc đồ thị hàm số.
Xác định hệ số a để đồ thị hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}\] đi qua điểm \(A( - \sqrt 3 ;9)\). Vẽ đồ thị trong trường hợp này.
\(a = 3.\)
Xác định m để đồ thị hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{m^2}{\rm{ }} - 2} \right){x^2}\]đi qua điểm\[{\rm{A}}\left( {1;2} \right)\]. Với \[m\]tìm được, đồ thị hàm số có đi qua điểm \[{\rm{B}}\left( {2;9} \right)\]không?
\(m = \pm 2.\)
Cho parabol \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{1}{4}{x^2}\]. Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol:
\(a){\rm{ A}}(\sqrt 2 ;m)\,\) \(\,\,b){\rm{ B}}( - \sqrt 2 ;m)\,\,\,\) \(c){\rm{ C}}\left( {m;\frac{3}{4}} \right)\)
a) \(m = \frac{1}{2}\) b) \(m = \frac{1}{2}\) c) \(m = \pm \sqrt 3 \)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc \[O\]và điểm\[{\rm{M}}\left( {2;4} \right)\].
b) Viết phương trình parabol dạng \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}\]và đi qua \[{\rm{M}}\left( {2;4} \right)\].
c) Vẽ parabol và đường thẳng trên trong cùng hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
a) \(y = 2x\) b) \(y = {x^2}\) c) \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\)
Trên cùng một hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số\[y = f\left( x \right) = {x^2}{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}y = g\left( x \right) = \frac{1}{2}x.\]
Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình:
a) \[f\left( x \right) < {\rm{ }}g\left( x \right)\] b) \[f\left( x \right)\; \ge g\left( x \right).\]
a) \(x = 0;x = \frac{1}{2}\) b) \(0 < x < \frac{1}{2}\) c) \(x < 0\) hoặc \(x > \frac{1}{2}.\)
a) Xác định a để đổ thị hàm số đi qua \[{\rm{A}}\left( { - 1;2} \right)\]
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4
d) Tìm tọa độ các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
a) \(a = 2\)
b) \(y = 2{x^2}.\)
c) \(\left( { - \sqrt 2 ;4} \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\);
d) Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là các đường thẳng \(y = x\) và \(y = - x\). Ta cần tìm giao điểm của đồ thị \(y = 2{x^2}\)với cá đường thẳng \(y = x\), \(y = - x\) từ đó có ba điểm \(O\left( {0;0} \right){;_{}}A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right){;_{}}B\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)\(m < 1\)
Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo \[m\]số nghiệm của phương trình \[2{x^2}{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}m\]
Vẽ đồ thị \(y = 2{x^2}\)và đường thẳng \(y = m - 1\)
\(m < 1\): Vô nghiệm.
\(m = 1\): 1 nghiệm.
\(m > 1\): 2 nghiệm.
Cho hàm số \(y = a{x^2}\) có đồ thị hàm số \((P)\).
1. Xác định \(a\) biết \((P)\) đi qua điềm \(A(1; - 2)\).
2. Vẽ đồ thị \((P)\).
3. Tìm điểm thuộc \((P)\) có hoành độ bằng 2.
1. \((P)\) đi qua điểm \(A(1; - 2)\) khi và chỉ khi \( - 2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = - 2\).
2. Bảng giá trị
Vẽ đồ thị.
Cho parabol \((P):y = \frac{{{x^2}}}{2}\) và đường thẳng \((d):y = x + 4\).
1. Vẽ \((P)\) và \((d)\) trên cùng hệ trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\).
1. Vẽ đường thẳng \((d)\)
Cho \(x = - 2 \Rightarrow y = 2\).
Cho \(x = 4 \Rightarrow y = 8\).
Vẽ parabol \((P)\):
Bảng giá trị
Vẽ đồ thị
2. Phương trình hoành độ giao điểm
\(\frac{{{x^2}}}{2} = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).
Với \(x = - 2 \Rightarrow y = 2\).
Với \(x = 4 \Rightarrow y = 8\).
Vậy \((d)\) và \((P)\) có hai điểm chung có tọa độ là \(( - 2;2)\) và \((4;8)\).
Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\).
b) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.
c) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
a)
- Bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] như sau:
\[x\] | \[ - 2\] | \[ - 1\] | \[0\] | \[1\] | \[2\] |
\[y = {x^2}\] | \[4\] | \[1\] | \[0\] | \[1\] | \[4\] |
- Vẽ các điểm \[A\left( { - 2;4} \right),B\left( { - 1;1} \right),O\left( {0;0} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2;4} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) trong mặt phẳng \[Oxy\].
- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\)
b) Gọi \(C\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 16.
Ta có: \({y_C} = 16 \Leftrightarrow {x^2}_C = 16 \Leftrightarrow {x_C} = \pm 4\). Vậy \(C\left( {4;16} \right)\) hoặc \(C\left( { - 4;16} \right)\).
c) Gọi \(D\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) cách đều hai trục tọa độ.
Ta có: \(d\left( {D,Ox} \right) = \left| {{y_D}} \right| = x_D^2;d\left( {D,Oy} \right) = \left| {{x_D}} \right|\).
Theo giả thiết ta có: \(x_D^2 = \left| {{x_D}} \right| \Leftrightarrow \left| {{x_D}} \right| = 0\) (loại) hoặc \(\left| {{x_D}} \right| = 1\).
Vậy \(D\left( {1;1} \right)\) hoặc \(D\left( { - 1;1} \right)\).
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\) \(\left( P \right)\).
a) Hãy xác định hàm số \(\left( P \right)\) biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\).
b) Tìm \(m\) sao cho \(B\left( {m;{m^3}} \right)\) thuộc Parabol.
a) Ta có \(A \in \left( P \right)\) nên thay điểm \(A\left( {2;4} \right)\) vào đồ thị ta có
\(\begin{array}{l}4 = a{.2^2}\\a = 1\end{array}\)
Vậy \(a = 1\) là giá trị cần tìm.
b) Thay tọa độ điểm \(B\) vào \(\left( P \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}{m^3} = {m^2}\\{m^3} - {m^2} = 0\\{m^2}\left( {m - 1} \right) = 0\end{array}\)
\({m^2} = 0\) hoặc \(m - 1 = 0\).
\(m = 0\) hoặc \(m = 1\).
Vậy \(m = 0\) và \(m = 1\) là giá trị cần tìm.
Biết rằng đường cong trong hình bên dưới là một parabol \(y = a{x^2}\)
a) Xác định hê số \(a\).
b) Tìm các điểm trên parabol có hoành độ bằng \(6\).
c) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng \( - 25\).
a) Từ đồ thị ta có điểm \(\left( {2; - 1} \right)\)thuộc parabol \(y = a{x^2}\) nên
\(\begin{array}{l} - 1 = a{.2^2}\\a = - \frac{1}{4}\end{array}\)
b) Từ câu a, ta có parabol \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\)
Với \(x = 6\) nên \(y = - \frac{1}{4}{.6^2} = - 9\)
Vậy điểm cần tìm là \(\left( {6; - 9} \right)\)
c) Thay \(y = - 25\) vào parabol \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) ta có:
\(\begin{array}{l} - 25 = - \frac{1}{4}{x^2}\\{x^2} = 100\end{array}\)
\(x = - 10\) hoặc \(x = 10\)
Vậy các điểm cần tìm là \(\left( { - 10; - 25} \right);\left( {10; - 25} \right)\)
Cho hàm số \(y = (2m - 1){x^2}\) (\(m\) là tham số).
a) Tìm các giá trị của m để \(y = - 2\) khi \(x = - 1\)
b) Tìm giá trị của m biết \((x;y)\) thỏa mãn:\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.\)
a) Thay \(y = - 2\) và \(x = - 1\) vào hàm số \(y = (2m - 1){x^2}\) ta được:
\(\begin{array}{l} - 2 = (2m - 1){\left( { - 1} \right)^2}\\m = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{ - 1}}{2}\) là giá trị cần tìm.
b) Ta đi giải các hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.\) ta được nghiệm\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Thay \(x = 2;y = 1\)và hàm số \(y = (2m - 1){x^2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}1 = (2m - 1){.2^2}\\1 = 8m - 4\end{array}\)
\(m = \frac{5}{8}\)
Vậy \(m = \frac{5}{8}\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) có đồ thị là Parabol (P).
a) Xác định \(a\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A( - \sqrt 2 ;4)\)
b) Với giá trị \(a\) vừa tìm được, hãy:
+ Vẽ \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ
+ Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 2
+ Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) cách đều hai trục tọa độ.
a)\(A( - \sqrt 2 ;4) \in (P) \Rightarrow 4 = a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\)
Vậy \(a = 2\) là giá trị cần tìm.
b) Ta có \(y = 2{x^2}\)
+ Vẽ \(\left( P \right)\): Học sinh tự vẽ nhé
+ Thay \(y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}2 = 2{x^2}\\x = \pm 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( {1;2} \right);\left( { - 1;2} \right)\)
+ Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = 2x_{_0}^2\).
\(M\) cách đều \(Ox,\,\,Oy\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right|\\\left| {{x_0}} \right| = \left| {2x_{_0}^2} \right|\\2x_{_0}^2 = \left| {{x_0}} \right|\end{array}\)
\(2x_{_0}^2 = - {x_0}\) hoặc \(2x_{_0}^2 = {x_0}\)
\(2x_{_0}^2 + {x_0} = 0\) hoặc \(2x_{_0}^2 - {x_0} = 0\)
\({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\) hoặc \({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)
Giải \({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\)
\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = - \frac{1}{2}\)
Giải\({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)
\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = \frac{1}{2}\)
Do đó \({x_0} \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right\}\)
\( \Rightarrow {M_1}(0;0);{M_2}\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);{M_3}\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right).\)
Cho hàm số \(y = (m - 1){x^2}(m \ne 1)\) có đồ thị là Parabol (P).
a) Xác định \(m\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A( - \sqrt 3 ;1)\)
b)Với giá trị \(m\) vừa tìm được, hãy:
- Vẽ \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ
- Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 1
- Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có tung độ gấp đôi hoành độ.
a) Ta có (P) đi qua điểm \(A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right) \Rightarrow 1 = \left( {m - 1} \right).{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow m = \frac{4}{3}\)
b) Ta có \(y = \frac{1}{3}{x^2}\)
- Vẽ \(\left( P \right)\): học sinh tự vẽ
Vì các điểm có hoành độ bằng 1 nên ta có: \(y = \left( {\frac{4}{3} - 1} \right){.1^2} \Rightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow \) điểm cần tìm \(\left( {1;\frac{1}{3}} \right)\)
+
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{3}x_{_0}^2\).
tung độ gấp đôi hoành độ là: \({y_0} = 2{x_0}\)
hay
\(\frac{1}{3}x_{_0}^2 = 2{x_0}\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{3}x_{_0}^2 - 2{x_0} = 0\\{x_0}\left( {\frac{1}{3}{x_0} - 2} \right) = 0\end{array}\)
\({x_0} = 0\) hoặc \(\frac{1}{3}{x_0} - 2 = 0\)
\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 6\)
\( \Rightarrow \left( {0;0} \right);\left( {6;12} \right)\)
Vậy các điểm trên \(\left( P \right)\) có tung độ gấp đôi hoành độ là: \(\left( {0;0} \right);\left( {6;12} \right)\)
Trên parabol \((P):y = {x^2}\), ta lấy hai điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {3\;;9} \right)\). Xác định điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) của \((P)\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất.
Giả sử \(C\left( {c;{c^2}} \right)\) thuộc \((P)\) với \( - 1 < c < 3\).
Gọi \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) là hình chiếu của \(A,\;B\) và \(C\) xuống trục \(Ox\) Ta có:
\({S_{A{A^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + B{B^\prime }} \right){A^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{(1 + 9).4}}{2} = 20\),
\({S_{A{A^\prime }{C^\prime }C}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + C{C^\prime }} \right){A^\prime }{C^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {1 + {c^2}} \right) \cdot (1 + c)}}{2}\),
\({S_{C{C^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {C{C^\prime } + B{B^\prime }} \right){C^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {9 + {c^2}} \right) \cdot (3 - c)}}{2}\).
Suy ra SABC=SAA'B'B−SCC'B'B−SAA'C'C=6−2c2+4c=8−2(c−1)2⩽ 8.
Vận tốc lăn \(v\) (tính bằng \({\rm{m}}/{\rm{s}})\) của một vật thể nặng \({\rm{m}}\)(tính bằng kg ) được tác động một lực \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\) (gọi là năng lượng Kinetic Energy, ký hiệu \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\), tính bằng J ) được cho bởi công thức: \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = \frac{{\rm{m}}}{2}{{\rm{v}}^2}\)
a) Hãy tính vận tốc của một quả banh bowling nặng 3 kg khi một người tác động một lực \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = 18\;{\rm{J}}\)?
b) Muốn lăn một quả bowling nặng 3 kg với vận tốc \(6\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\), thì cần sử dụng năng lượng Kinetic \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\) bao nhiêu Joule?
a) Thay \({E_k} = 18,m = 3\) vào công thức \({E_k} = \frac{m}{2}{v^2}\), ta được: \(\frac{3}{2} \cdot {v^2} = 18 \Rightarrow v = 2\sqrt 3 \approx 3,46\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\).
Vậy vận tốc của một quả banh bowling là \(3,46\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\).
b) Thay \({\rm{v}} = 6,\;{\rm{m}} = 3\) vào công thức \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = \frac{{\rm{m}}}{2}{{\rm{v}}^2}\), ta được: \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = \frac{3}{2} \cdot {6^2} = 54\;{\rm{J}}\).
Vậy cần sử dụng năng lượng Kinetic \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = 54\;{\rm{J}}\).
Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức dưới đây để ước lượng tốc độ \(v\) (đơn vị: dặm/giờ) của xe từ vết trượt trên mặt đường sau khi thắng đột ngột \(d = \frac{1}{{30f}}{v^2}\). Trong đó, \(d\) là chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đường tính bằng feet \(({\rm{ft}}),f\) là hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường (là thước đo sự "trơn trượt" của mặt đường).
Đường Cao tốc Long Thành - Dầu Giây có tốc độ giới hạn là \(100\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\). Sau một vụ va chạm giữa hai xe, cảnh sát đo được vết trượt của một xe là \(d = 185{\rm{ft}}\) và hệ số ma sát mặt đường tại thời điểm đó là \(f = 0,73\). Chủ xe đó nói xe của ông không chạy quá tốc độ. Hãy áp dụng công thức trên để ước lượng tốc độ chiếc xe đó rồi cho biết lời nói của người chủ xe đúng hay sai? (Biết 1 dặm \( = 1609\;{\rm{m}})\). (Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
1 dặm \( = 1609\;{\rm{m}} = 1,609\;{\rm{km}}\). Tốc độ của người lái xe là:
\(d = \frac{1}{{30f}} \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 30fd = 30 \cdot 185 \cdot 0,73 = 4051,5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 63,65{\rm{ (nh\^a n) }}}\\{v = - 63,65{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.\)
\(v = 63,65 \cdot 1,609 = 102,41(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\)
Vì \(102,41 > 100\) (km/giờ) nên người chủ xe chạy quá tốc độ.
Vậy người chủ xe nói sai.
Một quả bóng được thả rơi từ độ cao \(360m\). Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao của quả bóng so với ví trí đứng thả (tính bằng mét) có thể mô tả bởi phương trình: \(s = a{t^2},a > 0\).
a) Xác định hệ số \(a\) biết sau 2 giây, bóng rơi được \(22m\).
b) Sau 5 giây, bóng cách đất bao nhiêu mét?
c) Quãng đường bóng đi được trong 2 giây cuối?
a) Khi \({\rm{t}} = 2,\;{\rm{s}} = 22\) ta có: \(22 = a \cdot {2^2} \Rightarrow a = 5,5\) (nhận).
Vậy phương trình quãng đường bóng rơi có dạng \({\rm{s}} = 5,5{{\rm{t}}^2}\).
b) Với \(t = 5\) ta có: \({\rm{s}} = 5,{5.5^2} = 137,5(\;{\rm{m}})\).
Khoảng cách của bóng cách đất lúc này là: \(360 - 137,5 = 222,5(\;{\rm{m}})\)
c) Với \({\rm{s}} = 360\) ta có \(360 = 5,5{{\rm{t}}^2} \Rightarrow {\rm{t}} = 8(\;{\rm{s}})\).
Quãng đường bóng rơi được trước 2 giây cuối là: \({\rm{s}} = 5,5 \cdot {{\rm{t}}^2} = 5,5 \cdot {(8 - 2)^2} = 198(\;{\rm{m}})\).
Vậy quãng đường bóng đi được trong 2 giây cuối là: \(360 - 198 = 162\;{\rm{m}}\).
Với thiết kế độc đáo, cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội được xây dựng cách đây khoảng 50 năm và đã từng là niềm tự hào của tri thức thế hệ mới. Chiếc cổng có chiều cao \(7,6\;{\rm{m}}\) và khoảng cách giữa hai chân cổng là \({\rm{AB}} = 9\;{\rm{m}}\). Một bạn sinh viên đứng cách chân cổng một đoạn \({\rm{AE}} = 0,5\;{\rm{m}}\) thì đỉnh đầu bạn ấy vừa chạm vào cổng. Hỏi bạn đó cao bao nhiêu.
Phương trình parabol của cổng trường có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\;{\rm{m}};{\rm{OE}} = {\rm{OA}} - {\rm{AE}} = 4,5 - 0,5 = 4\;{\rm{m}}\). Vì \({\rm{OS}} = 7,6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{A}}(4,5; - 7,6)\).
\({\rm{A}}(4,5; - 7,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 7,6 = a \cdot {(4,5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 7,6}}{{4,{5^2}}} = - \frac{{152}}{{405}}\)
Vậy \((P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\)
Thay \(x = 4\) vào \((P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\), ta có: \(y = - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx - 6\)
\( \Rightarrow {\rm{HM}} = 6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 7,6 - 6 = 1,6\;{\rm{m}}\)
Vậy bạn sinh viên đó cao \(1,6\;{\rm{m}}\).
Từ lan can một tòa nhà cách mặt đất \(18m\) bạn An ném một chiếc máy bay đồ chơi theo phương ngang xuống đất. Biết máy bay rơi xuống theo quỹ đạo là một đường parabol và sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi chạm mặt đất. Tìm hàm số biểu thị quỹ đạo nhảy của máy bay đồ chơi. Suy ra độ cao của máy bay sau 3 giây.
Quỹ đạo máy bay là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
Sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi xuống đất nên khi \(y = - 18\) thì \(x = 6\).
Khi đó \( - 18 = a{.6^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 18}}{{36}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của máy bay đồ chơi là: \((P):y = - \frac{1}{2}{x^2}\).
Thay \(x = 3\) vào \((P):y = - \frac{1}{2}{x^2} \Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot {3^2} = - 4,5\)
\( \Rightarrow {\rm{MB}} = 4,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{MH}} = {\rm{BH}} - {\rm{MB}} = 18 - 4,5 = 13,5\;{\rm{m}}\)
Vậy sau 3 giây thì máy bay cách mặt đất \(13,5\;{\rm{m}}\).
