28 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Đẳng thức đúng là \(\cot \left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - \cot \alpha .\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\cos 45^\circ  + \sin 45^\circ \,{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ  + sin60^\circ cos30^\circ  = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\].

Đáp án đúng là: D

\(A = \left( {\tan 1^\circ  \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ  \cdot \tan 88^\circ } \right) \cdot ... \cdot \left( {\tan 44^\circ  \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \)

\[ = \left( {\tan 1^\circ  \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ  \cdot \cot 2^\circ } \right) \cdot ... \cdot \left( {\tan 44^\circ  \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \]

\( = 1\).

Đáp án đúng là: B

\(\tan \alpha  - \cot \alpha  = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  - 2\tan \alpha  \cdot \cot \alpha  = 9\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  = 11\).

Đáp án đúng là: B

Do \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ  \Rightarrow \cos \alpha  > 0\).

Từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Bất đẳng thức đúng là \(\cos 95^\circ  > \cos 100^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Do \({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1 \Rightarrow 5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)

Đáp án đúng là: D

Vì \[90^\circ  < \alpha  < 180^\circ  \Rightarrow \cot \alpha  < 0\].

\(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \cot \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1}  = \frac{{ - 3}}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = \frac{{\frac{{3\sin \alpha  + 4\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha  - 5\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\,\, = \,\,\frac{{3\, + 4\,\cot \alpha }}{{2 - \,5\,\cot \alpha }}\,\, = \,\,\frac{{3\,\, + \,\,4 \cdot \,\frac{1}{3}}}{{2\, - \,5 \cdot \frac{1}{3}}}\, = \,\,\,13\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\widehat C = 180^\circ  - \widehat A - \widehat B = 180^\circ  - 40^\circ  - 60^\circ  = 80^\circ \).

Áp dụng định lý sin: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} \cdot \sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }} \cdot \sin 40^\circ  \approx 3,3\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 9}} = \frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Theo định lí sin: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1\).

Đáp án đúng là: D

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)

\({c^2} = {8^2} + {10^2} - 2 \cdot 8 \cdot 10\cos 60^\circ  = 84 \Rightarrow c = 2\sqrt {21} \).

a) Sai. Ta có \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha  < 0\).

b) Đúng. Vì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Do đó \[\cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{{16}}{{25}}}  =  - \frac{4}{5}\].

c) Sai. Ta có \[\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{3}{4} \Rightarrow \,\tan \left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha  = \frac{3}{4}\].

d) Đúng. \[A = \frac{{\tan \alpha  - \cot \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ  - \alpha } \right)}} = \frac{{\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}}}}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} - \frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{125}}{{48}}\].

a) Đúng. Do \(0^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha  > 0\).

b) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Mà \(\sin \alpha  > 0\) nên \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

c) Đúng. Ta có \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \cot \alpha  \cdot \sin \alpha  =  - \sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

d) Sai. Ta có \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

a) Đúng. Ta có \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}\).

b) Sai. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = 2 > 0 \Rightarrow \sin \alpha  \cdot {\rm{cos}}\alpha  > 0\).

c) Đúng. Vì \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \({\rm{cos}}\alpha  > 0\).

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {2^2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Sai. Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha  \cdot {\rm{cos}}\alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Suy ra \({\rm{sin}}\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

a) Đúng. Vì \(\cos \alpha \, < \,0\) nên \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \).

b) Đúng. Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha  > 0\), mà \(\cos \alpha \, < \,0\), từ đó suy ra \(\cot \alpha \, < \,0\).

c) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha \, + \,{\cos ^2}\alpha  = \,1\, \Leftrightarrow \,{\sin ^2}\alpha \, = \,1\, - \,{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{5}{9}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\). 

d) Sai. Có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }}\, =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

a) Đúng. Ta có \(\tan \alpha  = 3\) nên \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

b) Đúng. Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {3^2} = 10\) \[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\{\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\).

Vì \({\rm{0}}^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha  > 0\)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

c) Sai. Vì \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = {\rm{1}} - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\];

\(\cot \left( {90^\circ  - \alpha } \right) = \tan \alpha  = 3\).

Suy ra \(5{\sin ^2}\alpha  - 3{\cos ^2}\alpha  + \cot \left( {90^\circ  - \alpha } \right) = 5 \cdot \frac{9}{{10}} - 3 \cdot \frac{1}{{10}} + 3 = \frac{{36}}{5}\).

d) Đúng. Vì \({\rm{tan}}\alpha  = 3\) nên \(\cos \alpha  \ne 0\).

Chia tử và mẫu của \(E\) cho \({\cos ^2}\alpha  \ne 0\), ta được:

\(E = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{5{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  - 5}}{{2{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + 3{\rm{tan}}\alpha  + 1}}\,\)

\(E = \frac{{9 - 5}}{{18 + 9 + 1}} = \frac{4}{{28}} = \frac{1}{7} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8\).

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow {a^2} = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ  = 109.\)

Do đó, \(a = \sqrt {109} \;{\rm{cm}}\).

b) Sai. Ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109}  \cdot 5}} \approx 0,81\).

c) Đúng. Tương tự, \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109}  \cdot 7}} \approx 0,91\).

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) nên \(R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{\sqrt {109} }}{{2 \cdot \sin 120^\circ }} \approx 6,03\,\,({\rm{cm}})\).

Vì \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được:

\(P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}} =  - 2 = \frac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(A = {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} = 5\).

Đáp án: \(5\).

Ta có \[P = \sin \left( {90^\circ  - \alpha } \right) - \cos \left( {180^\circ  - \alpha } \right) = \cos \alpha  - \left( { - \cos \alpha } \right) = 2\cos \alpha \].

Mặt khác \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\).

Lại có \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha  > 0\), từ đó ta được \(\cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \[P = 2\cos \alpha  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \approx 1,89\].

Đáp án: \(1,89\).

Vì \(\cot \alpha  = 2 \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của B cho \({\sin ^3}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {\sin \alpha  + 2\cos \alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}}{{\left( {{{\sin }^3}\alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2\cot \alpha  \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }}\)\(\)

\( = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha  + 2\cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = \frac{{2{{\cot }^3}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha  + 2\cot \alpha  + 1}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} =  - \frac{{25}}{7} =  - \frac{a}{b}\).

Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{{25}}{7}\) và \(a = 25,b = 7\). Vậy \(a - b = 25 - 7 = 18\).

Đáp án: 18.

\(F = 1 - 2{\sin ^2}55^\circ  + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \tan 55^\circ \tan 35^\circ \)\[ = 1 - 2{\sin ^2}\left( {90^\circ  - 35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \tan \left( {90^\circ  - 35^\circ } \right)\tan 35^\circ \]\( = 1 - 2{\cos ^2}35^\circ  + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \cot 35^\circ  \cdot \tan 55^\circ \)\( = 1 - 2\left( {{{\sin }^2}35^\circ  + {{\cos }^2}35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ  + \tan 35^\circ \cot 35^\circ  = 1 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 1\).

Đáp án: 1.

Vì \(\tan \alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha  + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + {{\tan }^2}\alpha  + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\).

Đáp án: 3.

Ta có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}}\).

Theo định lý sin trong tam giác ta tính được \(b = 8,c = 6\).

Chu vi tam giác là \(a + b + c = 24\).

Đáp án: 24.

Ta có \(a\left( {{a^2} - {c^2}} \right) = b\left( {{b^2} - {c^2}} \right) \Leftrightarrow {a^3} - {b^3} - {c^2}\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - {c^2}\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} - {c^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + ab + {b^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} =  - ab\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{v\`i  }}a \ne b} \right)\)

\( \Rightarrow \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{. }}\)

Do đó \(\widehat C = 120^\circ \).

Đáp án: 120.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\), ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{1}{8}\).

Mà \(\widehat A < 180^\circ \) nên \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{64}}}  = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

Áp dụng định lí sin, ta có: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{6}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} \approx 3\,\,\,{\rm{(cm)}}\].

Đáp án: 3.