Bài tập Giá trị lượng giá của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác có đáp án

Do α = 90° ⇒ cos α = cos 90° = 0

⇒ 2bc cos α = 2 bc cos 90° = 0

Tam giác ABC vuông tại A (do α = 90°), áp dụng định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = c² + b² – 0 = b² + c² – 2bc cos α.

Vậy a² = b² + c² – 2bc cos α.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 AB . AC . cos A

$\Rightarrow cosA=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}$.

Thay số vào ta được: $\cos A=\frac{5^2+6^2-7^2}{\mathrm{2.5.6}}=\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$.

Vậy cos A = 0,2. 

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.

Do đó: $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=\alpha$.

Vậy $\widehat{BDC}=\alpha$.

b) Xét tam giác BDC, ta có $\widehat{BDC}=\alpha$.

Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90°$.

Do đó: $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180°$ (hai góc đối)

Suy ra $\widehat{BDC}=180°-\widehat{BAC}=180°-\alpha .$

Vậy $\widehat{BDC}=180°-\alpha$.

b) Xét tam giác BCD, ta có $\widehat{BDC}=180°-\alpha$ và BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90°$.

Do đó: $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin \left(180°-\alpha \right)=\frac{a}{2R}$.

Mà sin(180° – α) = sin α nên $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat{BAC}=\alpha =90°$ nên BC là đường kính của đường tròn (O), khi đó C ≡ D và BC = a = 2R nên $\frac{a}{2R}=1$.

Lại có: sin α = sin 90° = 1 .

Do đó: $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(65°+85°\right)=30°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A$

Do đó: BC = 2 . 6 . sin 30° = 6.

Vậy BC = 6.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC cosA = (3,5)² + (7,5)² – 2 . 3,5 . 7,5 . cos135° ≈ 31,4

Suy ra BC ≈ 5,6.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{\mathrm{5,6}}{2\sin 135°}\approx 4$

Vậy R = 4.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(75°+45°\right)=60°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

Do đó: $AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{50.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{50\sqrt{6}}{3}.$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}$$=\frac{6^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.6.7}}=\frac{1}{4}$> 0.

Do đó góc A nhọn nên ta có: sin²A + cos²A = 1.

Suy ra sin²A = 1 – cos²A = $1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{15}{16}$

Do đó: $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{8}{2.\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}$.

Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin²A + cos²A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA.

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40° 

        = cos 0° + cos 120°

        = 1 + $\left(-\frac{1}{2}\right)$             (giá trị lượng giác của góc đặc biệt)

        = $\frac{1}{2}.$

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°

        = sin 150° + sin 180°

        = $\frac{1}{2}+0$    (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)

        = $\frac{1}{2}.$.

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55° 

        = cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°) 

        = cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°      (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

        = 0.

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

        = tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°)

        = cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)

        = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°

        =  $-\left(\frac{cos65°}{\sin 65°}.\frac{\sin 65°}{cos65°}\right).\tan 45°$

        = (– 1) . 1 = – 1.

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°

       = cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)

     = tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)

     = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°

     = (– 1) . $\sqrt{3}$ = $-\sqrt{3}$.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$ hay $\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90°\Rightarrow \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90°-\frac{\widehat{A}}{2}$.

Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

$\sin \frac{A}{2}=cos\left(90°-\frac{A}{2}\right)=cos\frac{B+C}{2}$ (đpcm câu a)

 $\cot \frac{A}{2}=\tan \left(90°-\frac{A}{2}\right)=\tan \frac{B+C}{2}$ (đpcm câu b).

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(\mathrm{59,95}°+\mathrm{82,15}°\right)=\mathrm{37,9}°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

Do đó: $AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{25.\sin \mathrm{82,15}°}{\sin \mathrm{37,9}°}\approx 40$ (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B khoảng 40 m.

Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được  8 . 2,5 = 20 (hải lí).

Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí).

Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau:

Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB. AC. cos A = 20² + 30² – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4

Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).

Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí.

Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ dưới: