Bài tập Giá trị lượng giá của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác có đáp án
23 câu hỏi
Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m2, biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta.
Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).
Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?
Ta có: Bx // CH ⇒BCH^=xBC^=50° (hai góc so le trong)
Ay // CH ⇒ACH^=yAC^=45° (hai góc so le trong)
Tam giác ACH vuông tại H có ACH^=45° nên tam giác ACH vuông cân tại H
Suy ra CH = AH = h (m).
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Tam giác BCH vuông tại H nên tanBCH^=BHCH
Do đó ta có: 20,25+hh=tan50°≈1,2
⇒ 20,25 + h = 1,2h
⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.
Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.
Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC^=α (Hình 2).
a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.
a) Tam giác ABC vuông tại A có ABC^=α. Khi đó ta có:
sinα=ACBC, cosα=ABBC,tanα=ACAB,cotα=ABAC.
b) Áp dụng công thức tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau, ta có:
sin(90° – α) = cos α;
cos(90° – α) = sin α;
tan(90° – α) = cot α;
cot(90° – α) = tan α.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0.
Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0, ta làm như sau:
Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:
sinα=MHOM=y01=y0,cosα=OHOM=x01=x0,
tanα=MHOH=y0x0,cotα=OHMH=x0y0.
Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và xOM^=α (Hình 6).
a) Chứng minh xON^=180°−α.
b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.
a) Do MN // Ox nên NMO^=xOM^=α (hai góc so le trong).
Tam giác OMN có OM = ON (bán kính) nên tam giác OMN cân tại O.
Suy ra MON^=180°−2NMO^=180°−2α.
Ta lại có: xON^=xOM^+MON^=α+180°−2α=180°−α
Vậy xON^=180°−α.
b) Do điểm M có tọa độ (x0; y0) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
sin α = y0; cos α = x0; tanα=y0x0; cotα=x0y0 (1).
Do điểm N có tọa độ (– x0; y0) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho xON^=180°−α nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
sin(180° – α) = y0; cos(180° – α) = – x0;tan180°−α=y0−x0=−y0x0; cot180°−α=−x0y0=−x0y0 (2).
Từ (1) và (2) ta có: sin(180° – α) = sin α;
cos(180° – α) = – cos α;
tan(180° – α) = – tan α;
cot(180° – α) = – cot α.
Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.
Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).
Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:
Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).
Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: SHIFT cùng với sin; cos; tan trên máy tính cầm tay.
Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:
a) cos α = – 0,97;
b) tan α = 0,68;
c) sin α = 0,45.
Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:
Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.
Ta có: Bx // CH ⇒BCH^=xBC^=50° (hai góc so le trong)
Ay // CH ⇒ACH^=yAC^=45° (hai góc so le trong)
Tam giác ACH vuông tại H có ACH^=45° nên tam giác ACH vuông cân tại H
Suy ra CH = AH = h (m).
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Tam giác BCH vuông tại H nên tanBCH^=BHCH
Do đó ta có: 20,25+hh=tan50°≈1,2
⇒ 20,25 + h = 1,2h
⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.
Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, BAC^=α. Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc nhọn, chứng minh:
a) HC = |AC – AH| và BC2 = AB2 + AC2 – 2AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.
Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.
Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.
Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.
Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.
Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2AH . AC
= AB2 + AC2 – 2AH . AC.
b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AH . AC = b2 + c2 – 2bc cosα.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, BAC^=α. Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc tù. Chứng minh:
a) HC = AC + AH và BC2 = AB2 + AC2 + 2 AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC + AH)2
= (BH2 + AH2) + AC2 + 2AH . AC
= AB2 + AC2 + 2AH . AC.
b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 + 2AH . AC = b2 + c2 – 2bc cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, BAC^=α. Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc vuông. Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Do α = 90° ⇒ cos α = cos 90° = 0
⇒ 2bc cos α = 2 bc cos 90° = 0
Tam giác ABC vuông tại A (do α = 90°), áp dụng định lí Pythagore ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = c2 + b2 – 0 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cos A.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB . AC . cos A
⇒cos A=AB2+AC2−BC22AB.AC.
Thay số vào ta được: cosA=52+62−722.5.6=15=0,2.
Vậy cos A = 0,2.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, BAC^=α. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc nhọn. Chứng minh:
a) BDC^=α;
b) asinα=2R.
Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:
a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.
Do đó: BDC^=BAC^=α.
Vậy BDC^=α.
b) Xét tam giác BDC, ta có BDC^=α.
Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên BCD^=90°.
Do đó: sinBDC^=BCBD, tức là sinα=a2R hay asinα=2R.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, BAC^=α. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là tù. Chứng minh:
a) BDC^=180°−α;
b) asinα=2R.
Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:
a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên BAC^+BDC^=180° (hai góc đối)
Suy ra BDC^=180°−BAC^=180°−α.
Vậy BDC^=180°−α.
b) Xét tam giác BCD, ta có BDC^=180°−α và BD là đường kính của đường tròn (O) nên BCD^=90°.
Do đó: sinBDC^=BCBD, tức là sin180°−α=a2R.
Mà sin(180° – α) = sin α nên sinα=a2R hay asinα=2R.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, BAC^=α. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc vuông. Chứng minh: asinα=2R.
Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BAC^=α=90° nên BC là đường kính của đường tròn (O), khi đó C ≡ D và BC = a = 2R nên a2R=1.
Lại có: sin α = sin 90° = 1 .
Do đó: sinα=a2R hay asinα=2R.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc B^=65°, C^=85°. Tính độ dài cạnh BC.
Tam giác ABC có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra A^=180°−B^+C^=180°−65°+85°=30°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
BCsinA=2R⇒BC=2RsinA
Do đó: BC = 2 . 6 . sin 30° = 6.
Vậy BC = 6.
Cho tam giác ABC có AB = 3,5; AC = 7,5; A^=135°. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC cosA = (3,5)2 + (7,5)2 – 2 . 3,5 . 7,5 . cos135° ≈ 31,4
Suy ra BC ≈ 5,6.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
BCsinA=2R⇒R=5,62sin135°≈4
Vậy R = 4.
Cho tam giác ABC có B^=75°, C^=45° và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.
Tam giác ABC có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra A^=180°−B^+C^=180°−75°+45°=60°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
BCsinA=ABsinC
Do đó: AB=BCsinCsinA=50.sin45°sin60°=5063.
Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cosA, sinA và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
cosA=AB2+AC2−BC22AB.AC =62+72−822.6.7=14> 0.
Do đó góc A nhọn nên ta có: sin2A + cos2A = 1.
Suy ra sin2A = 1 – cos2A = 1−142=1516
Do đó: sinA=154.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
BCsinA=2R⇒R=82.154=161515.
Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin2A + cos2A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA.
Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°
= cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)
= cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°
= cos 0° + cos 120°
= 1 + −12 (giá trị lượng giác của góc đặc biệt)
= 12.
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°
= sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°
= sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°
= sin 150° + sin 180°
= 12+0 (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)
= 12..
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°
= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)
= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35° (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)
= 0.
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°
= tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°)
= cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)
= – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°
= −cos65°sin65°.sin65°cos65°.tan45°
= (– 1) . 1 = – 1.
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°
= cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)
= tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)
= – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°
= (– 1) . 3 = −3.
Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sinA2=cosB+C2;
b) tanB+C2=cotA2.
Tam giác ABC có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra: A^+B^+C^2=180°2=90° hay A^2+B^+C^2=90°⇒B^+C^2=90°−A^2.
Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:
sinA2=cos90°−A2=cosB+C2 (đpcm câu a)
cotA2=tan90°−A2=tanB+C2 (đpcm câu b).
Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, BAC^=59,95°, BAC^=82,15° (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.
Tam giác ABC có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra: B^=180°−A^+C^=180°−59,95°+82,15°=37,9°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=ACsinB
Do đó: AB=ACsinCsinB=25.sin82,15°sin37,9°≈40 (m).
Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B khoảng 40 m.
Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hướng tạo với nhau góc 75°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được 8 . 2,5 = 20 (hải lí).
Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí).
Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau:
Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB. AC. cos A = 202 + 302 – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4
Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).
Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí.
Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ dưới:
Ta có: AI là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A nên AI = 1,5 m.
BE là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên BE = 1,5 m.
Lại có: h = IB + BE ⇒ IB = h – BE = 20 – 1,5 = 18,5 (m).
Và AB = AI + IB = 1,5 + 18,5 = 20 (m).
Ta có: CAB^=α+90°=35°+90°=125°; ABC^=90°−β=90°−75°=15°
Tam giác ABC có ABC^+CAB^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra ACB^=180°−ABC^+CAB^=180°−15°+125°=40°
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinACB^=BCsinCAB^
Do đó: BC=AB.sinCAB^sinACB^=20.sin125°sin40°≈25,5.
Tam giác CBH vuông tại H nên sinCBH^=CHBC
⇒ CH = BC . sin β = 25,5 . sin 75° ≈ 24,6.
Lại có HK = BE = 1,5 m.
Do đó CK = CH + HK = 24,6 + 1,5 = 26,1 (m).
Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.
