22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

3^{x + 2} = 27 Û 3^{x + 2} = 3³ Û x + 2 = 3 Û x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

\({3.5^{2{x^2} - x}} = 15\)\( \Leftrightarrow {5^{2{x^2} - x}} = 5\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - x = 1\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - \frac{1}{2}} \right\}\).

2^2x < 2^{x +6} Û 2x < x + 6 Û x < 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 6).

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 3x > 2\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 3x - 2 > 0\)Û 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2).

\({e^{{x^2} - 3x}} = \frac{1}{{{e^2}}}\)\( \Leftrightarrow {e^{{x^2} - 3x}} = {e^{ - 2}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x = - 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)Û x = 2 hoặc x = 1.

Tổng các nghiệm của phương trình là T = 3.

\({\left( {\sqrt 7 + \sqrt 6 } \right)^{{x^2}}} < \frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 6 }}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 7 + \sqrt 6 } \right)^{{x^2}}} < \sqrt 7 + \sqrt 6 \)Û x² < 1 Û −1 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = (−1; 1).

Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).

log₃(2x – 1) = 2 Û 2x – 1 = 3² Û 2x = 10 Û x = 5 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}6 + x > 0\\9x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

log₃(6 + x) + log₃9x – 5 = 0 Û log₃[9x(x + 6)] = 5 Û 9x² + 54x = 3⁵ Ûx² + 6x – 27 = 0

Û x = −9 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Điều kiện x – 2 > 0 Û x > 2.

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow x - 2 \ge \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}\).

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Điều kiện: x > 0

log(2x) < log(x + 6) Û 2x < x + 6 Û x < 6.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là (0; 6).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\)\( \Leftrightarrow x < 2\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right.\).

\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {6 - 5x} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x\)\( \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1\).

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\).

a) Số tiền lãi năm đầu tiên ông nhận được là 300.6% = 18 triệu đồng.

b) Số tiền ông X nhận được cả gốc và lãi sau n năm gửi tiền là T_n = 300000000(1 + 6%)ⁿ đồng.

c) Số tiền ông X nhận được sau 5 năm gửi là T₅ = 300000000(1 + 6%)⁵ ≈ 401467673 đồng nhỏ hơn 410 triệu đồng.

d) Theo giả thiết ta có T_n > 500000000 Û 300000000(1 + 6%)ⁿ > 500000000

Û \(n > {\log _{\left( {1 + 6\% } \right)}}\frac{5}{3} \approx 8,77\).

Vậy sau ít nhất 9 năm thì ông X thu được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 500 triệu đồng.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Ta có \({5^x}{.3^{{x^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x}{{.3}^{{x^2}}}} \right) = {\log _5}1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}{5^x} + {\log _5}{3^{{x^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _5}3 = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_5}3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{1}{{{{\log }_5}3}} = - {\log _3}5\end{array} \right.\).

Vì x₁ < x₂ nên x₁ = −log₃5 và x₂ = 0.

a) Thay x = x₁ = −log₃5 vào phương trình 3^x = 5 ta được \({3^{ - {{\log }_3}5}} = 5\) (vô lí).

b) Thay x = x₂ = 0 vào phương trình \({5^{{x^2} - 2x + 3}} = 125\) ta được \({5^{{0^2} - 2.0 + 3}} = 125\)\( \Leftrightarrow 125 = 125\) (đúng).

c) Tích hai nghiệm x₁x₂ = 0 không phải là số dương.

d) \({3^{{x_1} + {x_2}}} = {3^{ - {{\log }_3}5 + 0}} = \frac{1}{5} < 1\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có  x² – x + 2 > 0, ∀x Î ℝ. Do đó điều kiện xác định của phương trình là x Î ℝ.

b) log₂(x² – x + 2) = 1 Û x² – x + 2 = 2 Û x² – x = 0 Û x = 0 hoặc x = 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Tổng bình phương các nghiệm là 0² + 1² = 1.

d) Phương trình có hai nghiệm không âm.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

b) f(x) = 1 Û\({\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\).

Vì x > 1 nên \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) f(x) = log₃(6x – 9) Û log₃[(x + 2)(x – 1)] = log₃(6x – 9) Û x² + x – 2 = 6x – 9

Û x² – 5x + 7 = 0 (vô nghiệm).

d) \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)

Điều kiện: x > 4

\({\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > {\left( {x - 4} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 > {x^2} - 8x + 16\)\( \Leftrightarrow x > 2\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (4; +∞).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.

a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\)\( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\)\( \Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).

b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Điều kiện: 2^x + 1 > 0, ∀x Î ℝ.

log₂(2^x + 1) > 2 + xÛ 2^x  + 1 > 2^{2 + x}  Û 3.2^x < 1 Û \({2^x} < \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow x < {\log _2}\frac{1}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}\frac{1}{3}} \right)\).

Số nghiệm nguyên thuộc [−2024; 2024] của bất phương trình là {−2024; −2023; …; −2} có 2023 số.

Trả lời: 2023.

Sau 3 năm số tiền khách hàng rút về lớn hơn 850 triệu đồng là

A(1 + 8%)³ > 850 \( \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674,8\).

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng là 675 triệu đồng.

Trả lời: 675.

Ta có A = 200, t = 3 thì S(3) = 200.e^3r = 500 Û\(r = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}\).

Số vi khuẩn có được nhiều hơn gấp 10 lần số vi khuẩn ban đầu nên

A.e^rt = 10A Û e^rt = 10 Û rt = ln10 \( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r} = \frac{{3\ln 10}}{{\ln \frac{5}{2}}} \approx 7,54\) giờ.

Vậy sau 7,54 giờ thì số lượng vi khuẩn có được nhiều hơn gấp 10 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.

Trả lời: 7,54.

Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau n tháng tháng là A = 200(1 + 0,58%)ⁿ = 200.1,0058ⁿ (triệu đồng).

Theo đề bài A ³ 225 Û 200.1,0058ⁿ ³ 225 \( \Leftrightarrow 1,{0058^n} \ge \frac{9}{8}\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,0058}}\frac{9}{8} \approx 20,37\).

Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đền kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.

Trả lời: 21.

Sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 624 nghìn con nên 624 = s₀.2³ Þ s₀ = 78 nghìn con.

Số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con cần thời gian là

30000 = 78.2^t Þ \(t = {\log _2}\left( {\frac{{30000}}{{78}}} \right) \approx 8,59\) phút ≈ 515,24 giây.

Sau khoảng 516 giây thì số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con.

Trả lời: 516.