Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để dân số S’ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính S thì S = 2Anên ta có:

Ta có 2A = A . e^rt

Suy ra e^rt = 2

Do đó rt = ln2

Nên $t=\frac{\ln 2}{r}$

Vậy sau $\frac{\ln 2}{r}$ thì dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính.

a)Ta có công thức S = A . e^rt, trong đó:

⦁ A là dân số của năm lấy làm mốc tính;

⦁ S là dân số sau t năm;

⦁ r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm, và r = 1,14%.

Để dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu thì S = 2A

Suy ra 2A = A . e^1,14%t nên e^0,0114t = 2.

Vậy phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu là e^0,0114t = 2.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t nằm ở số mũ của lũy thừa.

Hai ví dụ về phương trình mũ là: 3^x+1 = 9 và 5^2x = 25.

a)⦁ Xét hàm số y = 3^x có cơ số 3 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = 3^x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(-1;\frac{1}{3}\right);B\left(0;1\right);C\left(1;3\right);D\left(2;9\right)$ (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 7 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 7 (hình vẽ).

b) Đồ thị hàm số y = 3^x cắt đường thẳng y = 7 tại 1 điểm.

Vậy phương trình 3^x = 7 có 1 nghiệm.

a) 9^{16 – x} = 27^{x + 4}

⇔3^{2(16 – x)} = 3^{3(x + 4)}

⇔ 2(16 – x) = 3(x + 4)

⇔ 32 – 2x = 3x + 12

⇔ –5x = –20

⇔ x = 4.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

b) 16^{x – 2} = 0,25 . 2^{–x + 4}

⇔2^{4(x – 2)} = 0,25 . 2^{–x + 4}

⇔2^{4(x – 2)}: 2^{–x + 4}= 0,25

⇔2^{5x – 12}  = 2⁻²

⇔ 5x – 12  = −2

⇔ 5x  = 10

⇔ x  = 2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

a)Ta có pH = 6,1 suy ra – log[H⁺] = 6,1 ⇔– logx = 6,1.

Vậy phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen [H⁺] trong mẫu nước sông đó là:

– logx = 6,1.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn x nằm trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Hai ví dụ về phương trình lôgarit là: log₂(x + 3) = 8 và log₃(x² + x + 1) = 2.

a)⦁ Xét hàm số y = log₄x có cơ số 4 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = log₄x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);B\left(1;0\right);C\left(2;\frac{1}{2}\right);D\left(4;1\right);E\left(8;\frac{3}{2}\right)$ (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 5 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 5 (hình vẽ).

b) Từ bảng biến thiên của hàm số y = log₄x ta thấy đường thẳng y = 5 cắt đồ thị hàm số y = log₄x tại 1 điểm.

Khi đó phương trình log₄x = 5 có 1 nghiệm.

$$\begin{gathered} {\log }_5\left(2x-4\right)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x-1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-4>0\\ {\log }_5\left(2x-4\right)=-{\log }_{5^{-1}}\left(x-1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ {\log }_5\left(2x-4\right)={\log }_5\left(x-1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ 2\text{x}-4=x-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x=3\end{array}\right. \\ \iff x=3 \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm x=3.

log₂x + log₄x = 3

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x+{\log }_{2^2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{3}{2}{\log }_{2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x=2^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x=4\end{array}\right. \\ \iff x=4 \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm x=4.

Từ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ở Hình 11 ta thấy hàm số này nghịch biến trên ℝ.

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ở phía trên đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi x < −1.

Do đó ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>2\iff x<-1.$

Hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản là 3^x < 27 và 4^x ≥ 16.

a) 7^x+3 < 343

⇔x + 3 < log₇343

⇔x + 3 < 3

⇔x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; 0).

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 3$

$\iff x\le {\log }_{\frac{1}{4}}3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;\left.{\log }_{\frac{1}{4}}3\right]\right.$

Hàm số y = log₂x đồng biến trên tập xác định (0; +∞).

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = log₂x ở phía trên đường thẳng y = 1 khi và chỉ khi x > 2.

Vậy log₂x > 1 ⇔ x > 2.

Hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản là logx > 1 và log₃x ≤ 6.

a) log₃x < 2

⇔ 0 < x < 3²

⇔ 0 < x < 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).

b) ${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-5\right)\ge -2$

$\iff 0<x-5\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}$

⇔ 0 < x – 5 ≤ 16

⇔ 5 < x ≤ 21

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21].

a) (0,3)^x–3 = 1⇔ x – 3 = log_0,31 ⇔x – 3 = 0 ⇔x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=3.

b) 5^3x–2 = 25

⇔5^3x–2 = 5²

⇔ 3x – 2 = 2

$\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{4}{3}.$

c) 9^x–2 = 243^x+1⇔3^2x–4 = 3^5x+5

⇔ 2x – 4 = 5x + 5 ⇔ 3x = –9 ⇔ x = –3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –3.

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3\iff x+1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\iff x+1=8\iff x=7$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=7.

e) log₅(3x – 5) = log₅(2x + 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-5>0\\ 3x–5=2x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{5}{3}\\ x=6\end{array}\right.\iff x=6.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=6.

f) $\log \frac{1}{7}\left(x+9\right)=\log \frac{1}{7}\left(2x-1\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+9=2x-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x=10\end{array}\right.\iff x=10.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=10.

a) $3^x>\frac{1}{243}\iff x>{\log }_3\frac{1}{243}\iff x>{\log }_3\frac{1}{3^5}\iff x>{\log }_3{3}^{-5}\iff x>-5$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–5; +∞). 

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2}\iff 3x-7\ge {\log }_{\frac{2}{3}}\frac{3}{2}$

$\iff 3x-7\ge {\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\iff 3x-7\ge -1\iff x\ge 2.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [2; +∞). 

c) 4^x+3 ≥ 32^x ⇔ x + 3 ≥ log₄32^x ⇔ x + 3 ≥ xlog₄32

$$\begin{gathered} \iff x+3\ge xlo{g}_{2^2}{2}^5\iff x+3\ge x\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\cdot lo{g}_{2}2 \\ \iff x+3\ge \frac{5}{2}x\iff \frac{-3}{2}x\ge -3\iff x\le 2. \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (−∞; 2].

d) log(x – 1) < 0 ⇔0 < x – 1 < 10⁰

⇔0 < x – 1 < 1 ⇔1 < x < 2

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; 2).

e) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+3\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ 2x–1\le x+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\le 4\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}<x\le 4$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{1}{2};4\right].$

g) ln(x + 3) ≥ ln(2x – 8)

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-8>0\\ x+3\ge 2x–8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ x\le 11\end{array}\right.\iff 4<x\le 11.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (4; 11].

Công thức tính số tiền rút được (cả gốc và lãi) sau n năm là: 100(1 + x%)ⁿ (triệu đồng).

Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng nên ta có:

100(1 + x%)³ = 119,1016

$$\begin{gathered} \iff {\left(1+\frac{x}{100}\right)}^3=1,191016 \\ \iff 1+\frac{x}{100}=\sqrt[3]{1,191016}=1,06 \end{gathered}$$

$\iff \frac{x}{100}=0,06\iff x=6$ (thỏa mãn x > 0).

Vậy lãi xuất là 6% / năm.

Ta có công thức tính mức cường độ âm L (đơn vị dB) là $L=10\log \frac{I}{{10}^{-12}}$

Do giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB nên ta có L ≤ 130

$$\begin{gathered} \iff 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 130\iff \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 13 \\ \iff \frac{I}{{10}^{-12}}\le {10}^{13} \\ \iff I\le {10}^{13}{.10}^{-12}\iff I\le 10 \end{gathered}$$

Vậy cường độ âmmà tai người có thể chịu đựng được là 10 W/m².