20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và logarit (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Nghiệm của phương trình 3x – 1 = 27 là
x = 4.
x = 3.
x = 2.
x = 1.
A
3x – 1 = 27 Û x – 1 = 3 Û x = 4.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.
Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\) là
S = (2; +∞).
(−∞; 2).
\(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
\(S = \left( { - 1;2} \right)\).
C
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\)\( \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
Nghiệm của phương trình log2(x – 1) = 3 là
7.
6.
10.
9.
D
Điều kiện: x – 1 > 0 Û x > 1.
log2(x – 1) = 3 Û x – 1 = 8 Û x = 9 (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.
Nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 3}} < 9\) là
\(x > \frac{1}{2}\).
x > 2.
x < 2.
\(x < \frac{1}{2}\).
A
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 3}} < 9\)\( \Leftrightarrow {3^{ - 2x + 3}} < {3^2}\)\( \Leftrightarrow - 2x + 3 < 2\)\( \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{{x^2} - 2x}} > 27\) là
(3; +∞).
(−1; 3).
(−∞; −1) È (3; +∞).
(−∞; −1).
C
\({3^{{x^2} - 2x}} > 27\)\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x}} > {3^3}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x > 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −1) È (3; +∞).
Phương trình log2(3x – 2) = 2 có nghiệm là
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
x = 1.
x = 2.
D
Điều kiện 3x – 2 > 0 Û \(x > \frac{2}{3}\).
log2(3x – 2) = 2 Û 3x – 2 = 4 Û x = 2 (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Giải phương trình 42x + 3 = 84 – x.
\(x = \frac{6}{7}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
x = 2.
\(x = \frac{4}{5}\).
A
42x + 3 = 84 – x Û 24x + 6 = 212 – 3x Û 4x + 6 = 12 – 3x Û x = \(\frac{6}{7}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6}{7}\).
Số nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 4x + 4}} = {4^{2{x^2} - 3x + 2}}\) là
0.
1.
Vô số.
2.
\({2^{{x^2} - 4x + 4}} = {4^{2{x^2} - 3x + 2}}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 4x + 4}} = {2^{4{x^2} - 6x + 4}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 4{x^2} - 6x + 4\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) < {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\) là
S = (−1; +∞).
(2; +∞).
(1; +∞).
(0; +∞).
B
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
\({\log _2}\left( {x + 1} \right) < {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 1 < 2x - 1\)\( \Leftrightarrow x > 2\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (2; +∞).
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {8^{1 - x}}\).
31.
8.
4.
16.
A
\({2^{{x^2} + 2x}} = {8^{1 - x}}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2x}} = {2^{3 - 3x}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 3 - 3x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}\\x = \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2}\end{array} \right.\).
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là
\({\left( {\frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)^2} = 31\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho bất phương trình log6(x + 4) < 2 + log6(7 – x).
a) Điều kiện xác định của bất phương trình là −4 < x < 7.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với log6(x + 4) < log6(14 – 2x).
c) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{{15}}{4};7} \right)\).
d) Bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.
a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 > 0\\7 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 4 < x < 7\).
b) log6(x + 4) < 2 + log6(7 – x) Û log6(x + 4) < log662 + log6(7 – x)
\( \Leftrightarrow {\log _6}\left( {x + 4} \right) < {\log _6}\left[ {36\left( {7 - x} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow x + 4 < 36\left( {7 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x < \frac{{248}}{{37}}\).
c) Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( { - 4;\frac{{248}}{{37}}} \right)\).
d) Vì x Î ℤ nên x Î {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai;d) Sai.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right)\).
a) Điều kiện xác định của hàm số f(x) là x > 1.
b) Phương trình f(x) = 1 có một nghiệm duy nhất.
c) Tích hai nghiệm của phương trình f(x) = log3(6x – 9) bằng 3.
d) Bất phương trình \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) có tập nghiệm S = (2; +∞).
a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).
b) f(x) = 1 Û \({\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\).
Vì x > 1 nên \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\).
c) f(x) = log3(6x – 9) Û log3[(x + 2)(x – 1)] = log3(6x – 9) Û x2 + x – 2 = 6x – 9
Û x2 – 5x + 7 = 0 (vô nghiệm).
d) \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)
Điều kiện: x > 4
\({\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > {\left( {x - 4} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 > {x^2} - 8x + 16\)\( \Leftrightarrow x > 2\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (4; +∞).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai;d) Sai.
Cho phương trình \({3^{x - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {x + 1} }}\) (1).
a) x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
b) x = 3 không là nghiệm của phương trình (1).
c) Điều kiện của x để vế phải của (1) có nghĩa là x ≥−1.
d) Phương trình (1) có tổng bình phương các nghiệm lớn hơn 30.
a) Thay x = 1 vào phương trình ta được \({3^{1 - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {1 + 1} }}\) (vô lí).
Vậy x = 1 không là nghiệm của phương trình.
b) Thay x = 3 vào phương trình ta được \({3^{3 - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {3 + 1} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{9}\) (luôn đúng).
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
c) Điều kiện: x + 1 ³ 0 Û x ³ −1.
d) \({3^{x - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {x + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {3^{x - 5}} = {3^{ - \sqrt {x + 1} }}\)\( \Leftrightarrow x - 5 = - \sqrt {x + 1} \)\( \Leftrightarrow x + 1 + \sqrt {x + 1} - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 2\)\( \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).
Tổng bình phương các nghiệm là 9.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số mũ \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\). Xét phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\).
a) x = 0 là một nghiệm của phương trình.
b)\(f\left( x \right) = {3^{3{x^2} + 4x}}\).
c) Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành.
d) \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\) với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
a) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).
Thay x = 0 vào phương trình ta được \({9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}\) (vô lí).
Vậy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
b) Ta có \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\)\( = {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}}\)\( = {3^{3{x^2} + 4x}}\).
c) Đồ thị hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành.
d) Có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\) hoặc x = −1.
Khi đó \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililít nước chứa P0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là P = P0.10-αt với α là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililít nước có 4000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 1000.
a) α nằm trong khoảng (1; 2).
b) Sau 3 giờ 30 phút thì lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước ít hơn 500.
c) Lượng vi khuẩn mất đi trong mỗi mililít trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 2,5 giờ tính từ lúc dùng thuốc thì lớn hơn 1200.
d) Lượng vi khuẩn sau khoảng 1,32 giờ sẽ bằng 40% lượng vi khuẩn ban đầu.
a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\) \( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).
b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)
\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).
c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).
Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).
Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.
d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Bất phương trình log3(2x – 1) £ log35 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
log3(2x – 1) £ log35 Û 2x – 1 £ 5 Û x £ 3.
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{2};3} \right]\) mà x Î ℤ nên x Î {1; 2; 3}.
Vậy bất phương trình trên có 3 nghiệm nguyên.
Trả lời: 3.
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức V(t) = A.(0,905)t, trong đó A là giá xe (tính theo triệu đồng) lúc mới mua. Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết A = 780 (triệu đồng).
Ta cóV(t) = A.(0,905)t ≤ 300 Û 780.(0,905)t ≤ 300 Û \(t \ge {\log _{0,905}}\frac{{300}}{{780}} \approx 9,57\).
Vậy sau ít nhất 10 năm sử dụng.
Trả lời: 10.
Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?
Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau n tháng tháng là A = 200(1 + 0,58%)n = 200.1,0058n (triệu đồng).
Theo đề bài A ³ 225 Û 200.1,0058n ³ 225 \( \Leftrightarrow 1,{0058^n} \ge \frac{9}{8}\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,0058}}\frac{9}{8} \approx 20,37\).
Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đền kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.
Trả lời: 21.
Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s0.2t, trong đó s0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 624 nghìn con. Hỏi sau khoảng bao nhiêu giây, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con?
Sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 624 nghìn con nên 624 = s0.23 Þ s0 = 78 nghìn con.
Số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con cần thời gian là
30000 = 78.2t Þ \(t = {\log _2}\left( {\frac{{30000}}{{78}}} \right) \approx 8,59\) phút ≈ 515,24 giây.
Sau khoảng 516 giây thì số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con.
Trả lời: 516.
Biết rằng mức cường độ âm (đo bằng dB) được tính bởi công thức \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) trong đó I là cường độ âm tính theo W/m2 và I0 =10-12 (W/m2). Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 70 dB đến 85 dB. Khi đó cường độ âm thay đổi trong đoạn [10m; 10n] (trong đó m, n là các số thập phân). Tính giá trị m – n.
Theo giả thiết ta có \(70 \le 10\log \frac{I}{{{I_0}}} \le 85\)\( \Leftrightarrow 7 \le \log \frac{I}{{{I_0}}} \le \frac{{17}}{2}\)\( \Leftrightarrow {10^7} \le \frac{I}{{{I_0}}} \le {10^{\frac{{17}}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {10^7}{I_0} \le I \le {10^{\frac{{17}}{2}}}{I_0}\)\( \Leftrightarrow {10^{ - 5}} \le I \le {10^{ - 3,5}}\).
Suy ra m = −5; n = 3,5. Do đó m + n = −1,5.
Trả lời: −1,5.
