20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và logarit (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

\({2^{{x^2} + 2x}} = {8^{1 - x}}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2x}} = {2^{3 - 3x}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 3 - 3x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}\\x = \frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2}\end{array} \right.\).

Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là

\({\left( {\frac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)^2} = 31\).

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 > 0\\7 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 4 < x < 7\).

b) log6(x + 4) < 2 + log6(7 – x) Û log6(x + 4) < log662 + log6(7 – x)

\( \Leftrightarrow {\log _6}\left( {x + 4} \right) < {\log _6}\left[ {36\left( {7 - x} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow x + 4 < 36\left( {7 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x < \frac{{248}}{{37}}\).

c) Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( { - 4;\frac{{248}}{{37}}} \right)\).

d) Vì x Î ℤ nên x Î {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Đáp án: a) Đúng;  b) Sai;   c) Sai; d) Sai.

a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

b) f(x) = 1 Û \({\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\).

Vì x > 1 nên \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) f(x) = log3(6x – 9) Û log3[(x + 2)(x – 1)] = log3(6x – 9) Û x2 + x – 2 = 6x – 9

Û x2 – 5x + 7 = 0 (vô nghiệm).

d) \(f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)

Điều kiện: x > 4

\({\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > {\left( {x - 4} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 > {x^2} - 8x + 16\)\( \Leftrightarrow x > 2\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (4; +∞).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;   c) Sai; d) Sai.

a) Thay x = 1 vào phương trình ta được \({3^{1 - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {1 + 1} }}\) (vô lí).

Vậy x = 1 không là nghiệm của phương trình.

b) Thay x = 3 vào phương trình ta được \({3^{3 - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {3 + 1} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{9}\) (luôn đúng).

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.

c) Điều kiện: x + 1 ³ 0 Û x ³ −1.

d) \({3^{x - 5}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {x + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {3^{x - 5}} = {3^{ - \sqrt {x + 1} }}\)\( \Leftrightarrow x - 5 =  - \sqrt {x + 1} \)\( \Leftrightarrow x + 1 + \sqrt {x + 1}  - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 2\)\( \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).

Tổng bình phương các nghiệm là 9.

Đáp án: a) Sai;  b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

a) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).

Thay x = 0 vào phương trình ta được \({9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}\) (vô lí).

Vậy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

b) Ta có \(f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}\)\( = {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}}\)\( = {3^{3{x^2} + 4x}}\).

c) Đồ thị hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành.

d) Có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x =  - 1\)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{3}\) hoặc x = −1.

Khi đó \({\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\) \( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\) \( \Rightarrow \alpha  =  - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).

b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow  - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t >  - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow t >  - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).

log3(2x – 1) £ log35 Û 2x – 1 £ 5 Û x £ 3.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{2};3} \right]\) mà x Î ℤ nên x Î {1; 2; 3}.

Vậy bất phương trình trên có 3 nghiệm nguyên.

Trả lời: 3.

Ta có V(t) = A.(0,905)t  ≤ 300 Û 780.(0,905)t  ≤ 300  Û \(t \ge {\log _{0,905}}\frac{{300}}{{780}} \approx 9,57\).

Vậy sau ít nhất 10 năm sử dụng.

Trả lời: 10.

Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau n tháng tháng là A = 200(1 + 0,58%)n = 200.1,0058n (triệu đồng).

Theo đề bài A ³ 225 Û 200.1,0058n ³ 225 \( \Leftrightarrow 1,{0058^n} \ge \frac{9}{8}\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,0058}}\frac{9}{8} \approx 20,37\).

Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đền kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.

Trả lời: 21.

Sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 624 nghìn con nên 624 = s0.23 Þ s0 = 78 nghìn con.

Số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con cần thời gian là

30000 = 78.2t Þ \(t = {\log _2}\left( {\frac{{30000}}{{78}}} \right) \approx 8,59\) phút ≈ 515,24 giây.

Sau khoảng 516 giây thì số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con.

Trả lời: 516.

Theo giả thiết ta có \(70 \le 10\log \frac{I}{{{I_0}}} \le 85\)\( \Leftrightarrow 7 \le \log \frac{I}{{{I_0}}} \le \frac{{17}}{2}\)\( \Leftrightarrow {10^7} \le \frac{I}{{{I_0}}} \le {10^{\frac{{17}}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow {10^7}{I_0} \le I \le {10^{\frac{{17}}{2}}}{I_0}\)\( \Leftrightarrow {10^{ - 5}} \le I \le {10^{ - 3,5}}\).

Suy ra m = −5; n = 3,5. Do đó m + n = −1,5.

Trả lời: −1,5.