Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Giải bất phương trình: \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - 2 + x}}\) ta được nghiệm là
\(x \ge 1.\)
\(x < 1.\)
\(x \le 1.\)
\(x > 1.\)
Bất phương trình tương đương \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - 2 + x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2 - x}} \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 2 - x \Leftrightarrow x \ge 1.\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({4^x} < {2^{x + 1}}\) là
\(S = \left( {1; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;1} \right)\).
\(S = \left( {0;1} \right)\).
\(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Ta có \({4^x} < {2^{x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} < {2^{x + 1}} \Leftrightarrow 2x < x + 1\)\( \Leftrightarrow x < 1\).
Tập nghiệm của phương trình \({9^{x + 1}} = {27^{2x + 1}}\) là
\(\left\{ 0 \right\}\).
\(\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\).
\(\emptyset \).
\(\left\{ { - \frac{1}{4};0} \right\}\).
Ta có: \({9^{x + 1}} = {27^{2x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {3^{2x + 2}} = {3^{6x + 3}}\)\( \Leftrightarrow 2x + 2 = 6x + 3\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\).
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\) là
\(S = \left( {1\,;\,9} \right)\).
\(S = \left( {1\,;\,10} \right)\).
\(S = \left( { - \infty \,;\,10} \right)\).
\(S = \left( { - \infty \,;\,9} \right)\).
\({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 < {2^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 9\).
Vậy tập nghiệm là \(S = \left( {1\,;\,9} \right)\).
Nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2\) là
\(x \le \frac{{13}}{4}\).
\(x \ge \frac{{13}}{4}\).
\(3 < x \le \frac{{13}}{4}\).
\(3 \le x \le \frac{{13}}{4}\).
Điều kiện \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2\)\( \Leftrightarrow x - 3 \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{13}}{4}\).
Kết hợp với điều kiện \(x > 3\) ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(3 < x \le \frac{{13}}{4}\).
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\) là
\[3\].
\[2\].
\[1\].
\[0\].
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 4\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).
Phương trình \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện ta được \(x = 1\).
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\].
\[\left( { - \infty ;\,\frac{{13}}{2}} \right)\].
\[\left[ {\frac{{13}}{2};\, + \infty } \right)\].
\[\left( {4;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {4;\,\frac{{13}}{2}} \right)\].
\[{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) > - 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[0 < x - 4 < \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow \]\[4 < x < \frac{{13}}{2}\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( {4;\,\frac{{13}}{2}} \right)\].
Tích các nghiệm của phương trình \[{\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) = - 2\] bằng
\[5\].
\[0\].
\[1\].
\[{\log _6}5\].
Ta có: \[{\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) = - 2 \Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{6^x} = 1\\{6^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _6}5\end{array} \right.\].
Vậy tích các nghiệm của phương trình là \[0\].
Bất phương trình \({2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 10}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
\(2\).
\(4\).
\(6\).
\(3\).
Bất phương trình tương đương với \({2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {2^{10 - 2x}}\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 \le 10 - 2x\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0\)
\[ \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\].
Mà \(x \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \[x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\].Vậy bất phương trình có có \(3\) nghiệm nguyên dương.
Phương trình \({\log _3}\left( {{2^x} - 1} \right) = 4\) có nghiệm là
\[x = {\log _2}82\].
\[x = {\log _2}65\].
\[x = {\log _2}81\].
\[x = {\log _2}66\].
Ta có \({\log _3}\left( {{2^x} - 1} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow {2^x} - 1 = 81\)\( \Leftrightarrow x = {\log _2}82\).
E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau \[20\] phút thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có \[40\] vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là \[671088640\] con?
\[48\] giờ.
\[24\] giờ.
\[12\] giờ.
\(8\) giờ.
Gọi \({N_0}\) là số vi khuẩn ban đầu, \({N_n} = 671088640\).
Vì cứ sau 20 phút (bằng \(\frac{1}{3}\) giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng theo quy luật \({N_n} = {N_0}{.2^n} \Leftrightarrow 671088640 = {40.2^n} \Rightarrow n = 24\). Vậy sau \(24.\frac{1}{3} = 8\) giờ thì số vi khuẩn đạt mức \[671088640\] con.
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất \[8,4\% \]/năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn \[2\] lần số tiền gửi ban đầu.
\[10\] năm.
\[9\] năm.
\[8\] năm.
\[11\] năm.
Gọi số tiền gửi ban đầu là \[A\] và số năm thỏa yêu cầu bài toán là \[n\].
Ta có \[A{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} > 2A \Leftrightarrow 1,{084^n} > 2 \Leftrightarrow n > {\log _{1,084}}2 \approx 8,59\].
Vậy số năm tối thiểu là \[9\] năm.
Giải được các phương trình sau. Khi đó:
Phương trình \({\log _3}x = 4\) có một nghiệm duy nhất
Phương trình \({\log _2}(2x - 2) = 3\) có điều kiện nghiệm là: \(x > 1\)
Phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 2\) tổng các nghiệm của phương trình bằng \( - 5\)
Phương trình \(3 \cdot {e^{2x + 4}} = 4\) có hai nghiệm phân biệt
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _3}x = 4 \Rightarrow x = {3^4} = 81\) (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 81\).
b) Điều kiện: \(2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
\({\log _2}(2x - 2) = 3 \Rightarrow 2x - 2 = {2^3} \Leftrightarrow x = 5\) (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).
c) Điều kiện: \({x^2} + 5x + 10 > 0.{\rm{(}}*{\rm{)}}\)
\({\log _4}\left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 2 \Rightarrow {x^2} + 5x + 10 = {4^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 6}\end{array}} \right.\).
Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \{ - 6;1\} \).
d) \(3 \cdot {e^{2x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {e^{2x + 4}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 2x + 4 = \ln \left( {\frac{4}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - 2\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - 2\).
Giải được các bất phương trình sau. Khi đó:
\({16^x} < \frac{1}{4}\) có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\)
\({5^{x - 1}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x}\) có nghiệm lớn nhất là \(x = \frac{1}{3}\)
\({(0,3)^{x - 2}} \le 3\) có nghiệm lớn nhất là \(x = 2 + {\log _6}3\)
\({2.7^{x + 2}} > 9\) có tập nghiệm là \(\left( { - 2 + {{\log }_7}\left( {\frac{9}{2}} \right); + \infty } \right)\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) \({16^x} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{4x}} < {2^{ - 2}} \Leftrightarrow 4x < - 2 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}\) (do \(2 > 1\)).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < - \frac{1}{2}\).
b) \({5^{x - 1}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {5^{x - 1}} \ge {5^{ - 2x}} \Leftrightarrow x - 1 \ge - 2x \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}(\)do \(5 < 1)\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{1}{3}\).
c) \({(0,3)^{x - 2}} \le 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge {\log _{0,3}}3 \Leftrightarrow x \ge 2 + {\log _{0,3}}3\) (do \(0 < 0,3 < 1\)).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge 2 + {\log _{0,3}}3\).
d) \({2.7^{x + 2}} > 9 \Leftrightarrow {7^{x + 2}} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow x + 2 > {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right) \Leftrightarrow x > - 2 + {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)({\mathop{\rm do}\nolimits} 7 > 1)\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > - 2 + {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)\).
Cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Bất phương trình tương đương với \({2^x} < 32\).
Bất phương trình tương đương với \({2^{x + 5}} < 1\).
Bất phương trình tương đương với \({2^x} > \frac{1}{{32}}\).
Bất phương trình tương đương với \({\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\log _{\frac{1}{2}}}32\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow {2^{ - x}} > {2^5} \Leftrightarrow {2^x} < {2^{ - 5}} \Leftrightarrow {2^{x + 5}} < {2^{ - 5}}{.2^5} \Leftrightarrow {2^{x + 5}} < 1\).
Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là \(5\% \) một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất \(5\% \) của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(r\% \) một năm thì tổng số tiền \(P\) ban đầu, sau \(n\) năm số tiền đó chỉ còn giá trị là: \(A = P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}\)
Nếu tỉ lệ lạm phát là \(7\% \) một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 86490000 đồng.
Nếu tỉ lệ lạm phát là \(7\% \) một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 96490000 đồng.
Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau ba năm chỉ còn lại 80 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm đó là \(9,17\% \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(6\% \) một năm thì sau 15 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
a) b) Giả thiết cho \(P = 100\) triệu đồng, \(r\% = 7\% ,n = 2\) năm.
Ta có: \(A = {100.10^6}{\left( {1 - \frac{7}{{100}}} \right)^2} = 86490000\) đồng.
Vậy sau hai năm sức mua còn lại của 100000000 là 86490000 đồng.
c) Giả thiết cho \(P = 100\) triệu đồng, \(A = 80\) triệu đồng, \(n = 3\) năm.
Ta có: \(80 = 100{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^3} \Leftrightarrow 1 - \frac{r}{{100}} = \sqrt[3]{{\frac{4}{5}}} \Leftrightarrow r \approx 7,17\).
Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm là \(r\% \approx 7,17\% \).
d) Giả thiết cho \(P = X\) triệu đồng, \(A = \frac{X}{2}\) triệu đồng, \(r\% = 6\% \).
Ta có: \(\frac{X}{2} = X{\left( {1 - \frac{6}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow {(0,94)^n} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow n \approx 11,2\) (năm).
Vậy sau khoảng 12 năm sức mua của số tiền còn lại là một nửa.
Tìm nghiệm phương trình \({\log _{\frac{1}{4}}}( - x + 2) = - 2\)
Điều kiện: \( - x + 2 > 0 \Leftrightarrow x < 2\).
\({\log _{\frac{1}{4}}}( - x + 2) = - 2 \Leftrightarrow - x + 2 = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 14\) (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 14\).
Tìm nghiệm phương trình \({\log _3}(2x - 3) = {\log _3}(x - 2) + 1\);
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3 > 0}\\{x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 2.{\rm{(}}*{\rm{)}}\)
\({\log _3}(2x - 3) = {\log _3}(x - 2) + 1 \Leftrightarrow {\log _3}(2x - 3) = {\log _3}(x - 2) + {\log _3}3\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}(2x - 3) = {\log _3}3(x - 2) \Rightarrow 2x - 3 = 3x - 6 \Leftrightarrow x = 3\)(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).
Tìm nghiệm bất phương trình \(\frac{{0,5}}{{{2^{x - 2}}}} \ge {4^{\frac{x}{2}}}\)
\(\frac{{0,5}}{{{2^{x - 2}}}} \ge {4^{\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow 0,5 \ge {2^{x - 2}} \cdot {2^x} \Leftrightarrow {2^{ - 1}} \ge {2^{2x - 2}} \Leftrightarrow - 1 \ge 2x - 2 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}(\)do \(2 > 1)\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{1}{2}\).
Một người gửi tiết kiệm 10 tỉ đồng theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng với lãi suất \(7\% \) một năm và lãi hẳng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng?
Theo công thức lãi kép: \(T = A{(1 + r)^n}\), số tiền người đó nhận được sau \(n\) năm là:
\(T = {10.10^9}{(1 + 7\% )^n} = {10^{10}} \cdot 1,{07^n}\)(đồng)
Để nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng thì
\(T = {10^{10}} \cdot 1,{07^n} > 12 \cdot {10^9} \Leftrightarrow 1,{07^n} > \frac{6}{5} \Leftrightarrow n > {\log _{1,07}}\left( {\frac{6}{5}} \right) \approx 2,695.\)
Vậy sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng.
Mức cường độ âm \(L\) (đơn vị: \(dB\)) được tính bởi công thức
\(L = 10\log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right)\), trong đó \(I\) (đơn vị: \(W/{m^2}\)) là cường độ âm. Hãy tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được, biết rằng tai người có thể nghe được âm với cường độ âm từ \({10^{ - 12}}\;W/{m^2}\) đến \({10^1}\;W/{m^2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{10^{ - 12}} \le I \le {10^1} \Leftrightarrow \frac{{{{10}^{ - 12}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} \le \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} \le \frac{{{{10}^1}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\\ \Leftrightarrow 1 \le \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} \le {10^{13}} \Leftrightarrow \log 1 \le \log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right) \le \log {10^{13}}\\ \Leftrightarrow 0 \le 10\log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right) \le 130({\rm{ do }}10 > 1)\\ \Leftrightarrow 0 \le L \le 130.\end{array}\)
Vậy mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được là từ \(0\;dB\) đến \(130\;dB\).
Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu \({M_0}\) là:
\(M(t) = {M_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}}\), trong đó \(t\) là thời gian tính từ thời điểm ban đầu; \(T\) là chu kỳ bán rã chất phóng xạ. Đồng vị phóng xạ của polonium-209 có chu kỳ bán rã là 103 ngày, biết khối lượng ban đầu \({M_0} = 300\;g\).
Hỏi khối lượng polonium-209 còn lại sau 515 ngày.
Khối lượng polonium-209 còn lại sau 515 ngày là: \(M(515) = {300.2^{ - \frac{{515}}{{103}}}} = 9,375\;g\).
