Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Nghiệm thực của phương trình \[{2^x} = 7\] là
\(x = \sqrt 7 \).
\(x = \frac{7}{2}\).
\(x = {\log _2}7\).
\(x = {\log _7}2\).
Ta có: \[{2^x} = 7\]. Lấy logarit cơ số \[2\] cho hai vế ta được nghiệm \(x = {\log _2}7\).
Số nghiệm thực của phương trình \({2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}}\) là
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Ta có: \({2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow \sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 1\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
\({3^x} + 2 = 0\).
\({5^x} - 1 = 0\).
\({\log _2}x = 3\).
\(\log \left( {x - 1} \right) = 1\).
Phương trình \({3^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow {3^x} = - 2\).
Nếu \(b \le 0\) thì phương trình \({a^x} = b\)\(\left( {a > 0;a \ne 1} \right)\)vô nghiệm.
Do đó phương trình \({3^x} + 2 = 0\) vô nghiệm.
Kí hiệu \[A\] và \[B\] lần lượt là tập nghiệm của các phương trình \[{\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1\] và \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}x = 1\]. Khi đó khẳng định đúng là
\[A = B\].
\[A \subset B\].
\[B \subset A\].
\[A \cap B = \emptyset \].
\[{\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow A = \left\{ { - 3;{\rm{ }}1} \right\}\].
Với điều kiện \[x > 0\], phương trình \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}x = 1\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\left( l \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}\]. Vậy \[B \subset A\].
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9}\) là
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left[ { - 4; + \infty } \right)\).
\({3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow {3^{x + 2}} \ge {3^{ - 2}}\)\( \Leftrightarrow x + 2 \ge - 2\)\( \Leftrightarrow x \ge - 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 4; + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0\) là
\(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {3;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,2} \right)\).
\(\left( {2;\,3} \right)\).
\(\left( {3;\, + \infty } \right)\).
Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 7 > 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\{x^2} - 5x + 7 < 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 < 0\)\(2 < x < 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left( {2;\,3} \right)\).
Phương trình \[{\log _3}\left( {3x - 1} \right) = 2\] có nghiệm là
\(x = \frac{3}{{10}}\).
\(x = 3\).
\(x = \frac{{10}}{3}\).
\(x = 1\).
Ta có \[{\log _3}\left( {3x - 1} \right) = 2\]\[ \Leftrightarrow 3x - 1 = 9\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{3}\].
Nghiệm của phương trình \({4^{2x - 3}} = 5\) là
\(x = \frac{3}{2} + {\log _4}5\).
\(x = \frac{3}{2} + {\log _2}5\).
\(x = \frac{3}{2} + \frac{1}{4}{\log _2}5\).
\(x = 3 + {\log _4}5\).
Ta có: \({4^{2x - 3}} = 5 \Leftrightarrow 2x - 3 = {\log _4}5 \Leftrightarrow 2x = 3 + \frac{1}{2}{\log _2}5 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} + \frac{1}{4}{\log _2}5\)
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0\).
\( - 5\).
\(5\).
\(\frac{4}{{27}}\).
\( - \frac{4}{{27}}\).
Ta có
\({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^{\left( {x + 4} \right)}}} \right)^2} - {12.3^{x + 4}} + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{x + 4}} = 9}\\{{3^{x + 4}} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng \( - 5\).
Tập nghiệm của phương trình \({4^{x - {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) là
\(\left\{ {0;\,\frac{2}{3}} \right\}\).
\(\left\{ {0;\,\frac{3}{2}} \right\}\).
\(\left\{ {0;\,2} \right\}\).
\(\left\{ {0;\,\frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có \({4^{x - {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)\( \Leftrightarrow {2^{2x - 2{x^2}}} = {2^{ - x}}\) \( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x = - x\) \( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Một người gửi số tiền \[100\] triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \[7\]%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền \[250\] triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian ít nhất bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi).
\(12\) năm.
\(15\) năm.
\(14\) năm.
\(13\) năm.
Áp dụng công thức tính lãi kép \[{P_n} = P{\left( {1 + r} \right)^n}\] với \[P\] là số tiền ban đầu, \[{P_n}\] là số tiền sau \[n\] năm, \[r\] là lãi suất.
Ta có \[250 = 100{\left( {1 + 0,07} \right)^n}\]\[ \Leftrightarrow \]\[n = {\log _{1,07}}2,5\]\[ \Leftrightarrow n \approx 13,54\].
Vậy cần gửi trong khoảng thời gian ít nhất \[14\] năm.
Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ Trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng, khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm \(2^\circ C\)thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(3\% \); còn khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm \(5^\circ C\) thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(10\% \). Biết rằng, nếu nhiệt độ Trái đất tăng thêm \(t^\circ C\), tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(f\left( t \right)\% \) thì \(f\left( t \right) = k.{a^t}\) trong đó \(k,a\) là các hằng số dương. Khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm bao nhiêu độ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20%?
\(8,4^\circ C\).
\(9,3^\circ C\).
\(7,6^\circ C\).
\(6,7^\circ C\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}k.{a^2} = 3\% \\k.{a^5} = 10\% \end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}};k = \frac{{3\% }}{{{a^2}}}\)
Tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% \( \Rightarrow \frac{{3\% }}{{{a^2}}}.{a^t} = 20\% \)\( \Rightarrow {a^{t - 2}} = \frac{{20}}{3}\)\( \Rightarrow t = 2 + {\log _a}\frac{{20}}{3} = 2 + {\log _{\sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}}}\frac{{20}}{3} \approx 6,7\)
Giải được các phương trình sau. Khi đó:
Phương trình \({3^{x - 1}} = 9\) có một nghiệm
Phương trình \({5^{x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x}\) có nghiệm lớn hơn 3.
Phương trình \({3^{x - 2}} = 6\) có chung tập nghiệm với phương trình \({x^2} - 2x + 4 = 0\)
Phương trình \({7^{x + 2}} - {40.7^x} = 9\) có một nghiệm \(x = a\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 6\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
a) \({3^{x - 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).
b) \({5^{x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {5^{x - 1}} = {5^{ - 2x}} \Leftrightarrow x - 1 = - 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{1}{3}\).
c) \({3^{x - 2}} = 6 \Leftrightarrow x - 2 = {\log _3}6 \Leftrightarrow x = {\log _3}6 + 2\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _3}6 + 2\).
d) \({7^{x + 2}} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^2}{.7^x} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {9.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 0\).
Suy ra limx→0x2+2x+5=5
Cho phương trình \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}\). Biết phương trình có 1 nghiệm là \(x = a\). Khi đó:
\(a > 0\)
Ba số \(a,2,3\) tạo thành cấp số cộng với công sai bằng \(d = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 7\)
Phương trình \({x^2} + x + a = 0\) vô nghiệm
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 = - x - 3 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\).
b) Ba số \(a,2,3\) tạo thành cấp số cộng với công sai bằng \(d = 1\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 8\)
d) \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x\)
Cho phương trình \({\log _5}\sqrt {{x^2} - 3x + 21} = 1\) (*), biết phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:
Phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình \({x^2} - 3x - 4 = 0\)
Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng \(4\)
3 số \({x_1};{x_2};8\) tạo thành một cấp số cộng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} \left( {x - 2} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} \left( {x - 2} \right) = - 1\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Điều kiện: \({x^2} - 3x + 21 > 0\). \((*)\)
\({\log _5}\sqrt {{x^2} - 3x + 21} = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x + 21} = 5 \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)
Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn. Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \{ - 1;4\} \).
Giải được các bất phương trình sau. Khi đó:
\({\log _2}( - x + 3) \ge 1\) có nghiệm lớn nhất bằng \(1\)
\({\log _{\frac{1}{3}}}(2x - 2) \le 3\) có nghiệm bé nhất bằng \(\frac{{55}}{{54}}\)
\({\log _2}\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) < 2\) có điều kiện nghiệm là \( - 4 < x < - 1\)
\({\log _{\frac{1}{9}}}( - 2x - 1) > {\log _{\frac{1}{9}}}(x + 1)\) tập nghiệm của bất phương này là: \(S = \left( { - \frac{2}{3}; - \frac{1}{2}} \right)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Điều kiện: \( - x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < 3\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)
Khi đó, do cơ số \(2 > 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\( - x + 3 \ge {2^1} \Leftrightarrow x \le 1.{\rm{ }}\)
Kết hợp với điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(x \le 1\).
b) Điều kiện: \(2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)
Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\(2x - 2 \ge {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow 2x \ge \frac{{55}}{{27}} \Leftrightarrow x \ge \frac{{55}}{{54}}.\)
Kết hợp với điều kiện \((*)\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{55}}{{54}}\).
c) Điều kiện: \({x^2} + 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > - 1}\\{x < - 4}\end{array}} \right.\).
Khi đó, do cơ số \(2 > 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành
\({x^2} + 5x + 4 < {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + 5x < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0.\)
Kết hợp với điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\), ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
\(S = ( - 5; - 4) \cup ( - 1;0){\rm{. }}\)
d) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < - \frac{1}{2}}\\{x > - 1}\end{array} \Leftrightarrow - 1 < x < - \frac{1}{2}} \right.} \right.\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)
Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{9} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\( - 2x - 1 < x + 1 \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}\). Kết hợp điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\), nghiệm của bất phương trình là \( - \frac{2}{3} < x < - \frac{1}{2}\).
Tìm nghiệm phương trình \(\ln 2x + \ln (x - 1) = \ln {x^2}\);
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{{x^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 1.{\rm{(}}*{\rm{)}}\)
\(\ln 2x + \ln (x - 1) = \ln {x^2} \Leftrightarrow \ln [2x(x - 1)] = \ln {x^2} \Rightarrow 2x(x - 1) = {x^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\), ta thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\) thoả mãn điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
Tìm nghiệm bất phương trình \({25^x} - {5^{1 + x}} - 6 \ge 0\).
\(\begin{array}{l}{25^x} - {5^{1 + x}} - 6 \ge 0 \Leftrightarrow {5^{2x}} - {5.5^x} - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - 1 - 5 \cdot \left( {{5^x} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0.\end{array}\)
Vì \({5^x} + 1 > 0\) nên bất phương trình trở thành: \({5^x} \ge 6 \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6\) (do \(5 > 1\)).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge {\log _5}6\).
Tìm nghiệm phương trình \(\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4)\);
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 2 > 0}\\{2x - 4 > 0}\end{array}} \right.\).\((*)\)
\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4) \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \log (2x - 4)\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)
Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy chỉ có giá trị \(x = 3\) thoả mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).
Dân số ở một địa phương được ước tính theo công thức \(S = A \cdot {e^{r.t}}\), trong đó \(A\) không đổi là dân số của năm 2023, \(S\) là dân số sau \(t\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Hỏi đến năm nào thì dân số ở địa phương đó sẽ đạt gấp đôi dân số năm 2023? Biết \(r = 1,13\% /\)năm.
Dân số đạt gấp đôi nghĩa là \(S = 2A\), ta có:
\(2A = A \cdot {e^{1,13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1,13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1,13\% .t = {\ln _e}2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1,13\% }} \approx 61,34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}\)
Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.
Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S(t) = A \cdot {e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(S(t)\) là số lượng vi khuẩn có sau \(t\) (phút), \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \((r > 0),t\) (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 6 giờ có 2000 con. Hỏi ít nhất bao nhiêu giờ, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con?
Ta có: \(A = 500,S(360) = 2000,6\) giờ \( = 360\) phút.
Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 2000 con, tức là: \(2000 = 500 \cdot {e^{r.360}}\)
\( \Leftrightarrow {e^{r.360}} = 4 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 4}}{{360}}{\rm{ (do }}e > 1{\rm{)}}{\rm{. }}\)
Số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con, nghĩa là: \(500 \cdot {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 120000\)
\( \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 240 \Leftrightarrow \frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t \ge \ln 240 \Leftrightarrow t \ge \frac{{360 \cdot \ln 240}}{{\ln 4}} \approx 1423,24{\rm{ (ph\'u t)}}{\rm{. }}\)
Vậy sau ít nhất 24 (giờ) thì số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.
Nếu một người gửi số tiền \(A\) với lãi suất kép \(r\) mỗi kì thì sau \(n\) kì, số tiền \(T\) người ấy thu được cả vốn lẫn lãi được cho bởi công thức \({T_n} = A{(1 + r)^n}\).
Một người gửi 150 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi suất kép với lãi suất cố định là \(8,4\% /\) năm. Nếu theo kì hạn là 1 năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Ta có: \(A = 150\) (triệu đồng), \(r = 8,4\% \)
Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là \({T_n} > 200\) (triệu đồng)
Ta có: \(150{(1 + 8,4\% )^n} > 200 \Leftrightarrow {(1 + 8,4\% )^n} > \frac{4}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 8,4\% }}\frac{4}{3} \approx 3,6\)
Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.
