Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Áp dụng công thức tính lãi kép \[{P_n} = P{\left( {1 + r} \right)^n}\] với \[P\] là số tiền ban đầu, \[{P_n}\] là số tiền sau \[n\] năm, \[r\] là lãi suất.

Ta có \[250 = 100{\left( {1 + 0,07} \right)^n}\]\[ \Leftrightarrow \]\[n = {\log _{1,07}}2,5\]\[ \Leftrightarrow n \approx 13,54\].

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}k.{a^2} = 3\% \\k.{a^5} = 10\% \end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}};k = \frac{{3\% }}{{{a^2}}}\)

a) \({3^{x - 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).

b) \({5^{x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {5^{x - 1}} = {5^{ - 2x}} \Leftrightarrow x - 1 =  - 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{1}{3}\).

c) \({3^{x - 2}} = 6 \Leftrightarrow x - 2 = {\log _3}6 \Leftrightarrow x = {\log _3}6 + 2\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _3}6 + 2\).

d) \({7^{x + 2}} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^2}{.7^x} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {9.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 0\).

a) \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 =  - x - 3 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\).

b) Ba số \(a,2,3\) tạo thành cấp số cộng với công sai bằng \(d = 1\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 8\)

d) \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x\)

Điều kiện: \({x^2} - 3x + 21 > 0\). \((*)\)

\({\log _5}\sqrt {{x^2} - 3x + 21}  = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x + 21}  = 5 \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

a) Điều kiện: \( - x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < 3\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)

Khi đó, do cơ số \(2 > 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:

\( - x + 3 \ge {2^1} \Leftrightarrow x \le 1.{\rm{ }}\)

Kết hợp với điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(x \le 1\).

b) Điều kiện: \(2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)

Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:

\(2x - 2 \ge {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow 2x \ge \frac{{55}}{{27}} \Leftrightarrow x \ge \frac{{55}}{{54}}.\)

Kết hợp với điều kiện \((*)\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{55}}{{54}}\).

c) Điều kiện: \({x^2} + 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 1}\\{x <  - 4}\end{array}} \right.\).

Khi đó, do cơ số \(2 > 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành

\({x^2} + 5x + 4 < {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + 5x < 0 \Leftrightarrow  - 5 < x < 0.\)

Kết hợp với điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\), ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

\(S = ( - 5; - 4) \cup ( - 1;0){\rm{. }}\)

d) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x <  - \frac{1}{2}}\\{x >  - 1}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 < x <  - \frac{1}{2}} \right.} \right.\). \({\rm{(}}*{\rm{)}}\)

Khi đó, do cơ số \(0 < \frac{1}{9} < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{{x^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 1.{\rm{(}}*{\rm{)}}\)

\(\ln 2x + \ln (x - 1) = \ln {x^2} \Leftrightarrow \ln [2x(x - 1)] = \ln {x^2} \Rightarrow 2x(x - 1) = {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\), ta thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\) thoả mãn điều kiện \({\rm{(}}*{\rm{)}}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).

\(\begin{array}{l}{25^x} - {5^{1 + x}} - 6 \ge 0 \Leftrightarrow {5^{2x}} - {5.5^x} - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - 1 - 5 \cdot \left( {{5^x} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0.\end{array}\)

Vì \({5^x} + 1 > 0\) nên bất phương trình trở thành: \({5^x} \ge 6 \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6\) (do \(5 > 1\)).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge {\log _5}6\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 2 > 0}\\{2x - 4 > 0}\end{array}} \right.\).\((*)\)

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4) \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \log (2x - 4)\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Thay lần lượt hai giá trị này vào \((*)\), ta thấy chỉ có giá trị \(x = 3\) thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).

Dân số đạt gấp đôi nghĩa là \(S = 2A\), ta có:

\(2A = A \cdot {e^{1,13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1,13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1,13\% .t = {\ln _e}2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1,13\% }} \approx 61,34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}\)

Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.

Ta có: \(A = 500,S(360) = 2000,6\) giờ \( = 360\) phút.

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 2000 con, tức là: \(2000 = 500 \cdot {e^{r.360}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{r.360}} = 4 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 4}}{{360}}{\rm{ (do }}e > 1{\rm{)}}{\rm{. }}\)

Số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con, nghĩa là: \(500 \cdot {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 120000\)

\( \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 240 \Leftrightarrow \frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t \ge \ln 240 \Leftrightarrow t \ge \frac{{360 \cdot \ln 240}}{{\ln 4}} \approx 1423,24{\rm{ (ph\'u t)}}{\rm{. }}\)

Vậy sau ít nhất 24 (giờ) thì số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.

Ta có: \(A = 150\) (triệu đồng), \(r = 8,4\% \)

Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là \({T_n} > 200\) (triệu đồng)

Ta có: \(150{(1 + 8,4\% )^n} > 200 \Leftrightarrow {(1 + 8,4\% )^n} > \frac{4}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 8,4\% }}\frac{4}{3} \approx 3,6\)

Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.