Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1\) là
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{8};3} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{8};1} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{8}; + \infty } \right)\).
Ta có \({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1\) \( \Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}x < {3^1}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} > x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\) \( \Leftrightarrow 1 > x > \frac{1}{8}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)\).
Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {6 + x} \right) + {\log _3}9x - 5 = 0\].
\(2\).
\(1\).
\(0\).
\[3\].
Điều kiện \(x > 0\)
Phương trình \[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {6 + x} \right) + {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {6 + x} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 27 = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 9(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\). Vậy phương trình có \(1\) nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là \(1\).
Cho bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x - 1}}\)có tập nghiệm \(S = \left( {a\,;\,b} \right)\). Giá trị của \(b - a\) bằng
\( - 2\).
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
Ta có:\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 < 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1\,;\,2} \right)\).
Vậy \(a = 1;b = 2 \Rightarrow b - a = 1\).
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\) được tập nghiệm là \(\left( {a;b} \right)\). Hãy tính tổng \(S = a + b\).
\(S = \frac{{26}}{5}\).
\(S = \frac{{11}}{5}\).
\(S = \frac{{28}}{{15}}\).
\(S = \frac{8}{3}\).
Ta có: \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.\)
Vậy \(S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.\)
Biết tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} < 3 - \frac{2}{{{2^x}}}\) là \(\left( {a\,;\,b} \right)\). Giá trị \(5a + 3b\) bằng
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(0\).
Ta có: \({2^x} < 3 - \frac{2}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 3.\left( {{2^x}} \right) + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1\).
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {0\,;\,1} \right)\).
Suy ra \(a = 0\) và \(b = 1\) nên \(5a + 3b = 3\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 1}} \ge \frac{1}{3}\) là
\(\left( { - \infty ;0} \right]\).
\(\left( {0;1} \right]\).
\[\left[ {1; + \infty } \right)\].
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 1}} \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow 2x - 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 1\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;1} \right]\).
Tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{2x}} < {2^{x + 6}}\] là
\(\left( {0;6} \right)\).
\(\left( { - \infty ;6} \right)\).
\(\left( {0;64} \right)\).
\(\left( {6; + \infty } \right)\).
Ta có \[{2^{2x}} < {2^{x + 6}} \Leftrightarrow 2x < x + 6 \Leftrightarrow x < 6\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;6} \right)\).
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {x - 1} \right) > 2\).
\(x > 10\).
\(x < 10\).
\(0 < x < 10\).
\(x > 9\).
Điều kiện \(x > 1\), ta có \({\log _3}\left( {x - 1} \right) > 2\)\( \Leftrightarrow x - 1 > {3^2}\)\( \Leftrightarrow x > 10\).
Phương trình \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2\) có bao nhiêu nghiệm?
\(2\).
\(0\).
\(3\).
\(1\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 3\).
Ta có \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1{\rm{ }}\left( {loai} \right)\\x = 4{\rm{ }}\left( {t/m} \right)\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 4\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;5} \right)\) của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương?
1.
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Đặt \(t = {2^x}\) với \(t > 0\)
Khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2m - 1\end{array} \right.\)
Với \(t = 1\) \( \Rightarrow {2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Với \(t = 2m - 1 \Rightarrow {2^x} = 2m - 1\)
ycbt\( \Leftrightarrow {2^x} = 2m - 1 > 1 \Leftrightarrow m > 1\)
kết hợp với điều kiện suy ra 1<m<5→m∈ℤm∈2;3;4
Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi \({}^{226}Ra\) là 1602 năm (tức là một lượng \({}^{226}Ra\) sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A.{e^{ - r.t}}\) trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm \(\left( {r < 1} \right)\), t là thời gian phân hủy, s là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam \({}^{226}Ra\) sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
1,023 gam.
0,795 gam.
0,923 gam.
0,886 gam.
Vì chu kì bán rã của chất phóng xạ radi \({}^{226}Ra\) là 1602 năm nên ta có:
\(\frac{A}{2} = A.{e^{ - 1602.r}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = {e^{ - 1602.r}} \Leftrightarrow \ln 2 = 1602.r \Leftrightarrow \)\(r = \frac{{\ln 2}}{{1602}}\).
Vậy 5 gam \({}^{226}Ra\) sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại số gam là:
\(S = A.{e^{ - r.t}} = 5.{e^{ - 4000.\frac{{\ln 2}}{{1602}}}} \approx 0,886\) (gam).
Số lượng của loại vi khuẩn \(C\) trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S\left( t \right) = S\left( 0 \right){.5^t},\)trong đó \(S\left( 0 \right)\) là số lượng vi khuẩn \(C\) lúc ban đầu, \(S\left( t \right)\) là số lượng vi khuẩn \(C\) có sau \(t\) phút. Biết sau \(4\) phút thì số lượng vi khuẩn \(C\) là \(625\) nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn \(C\) là \(390625000\) con?
\(24\)phút.
\(17\)phút.
\(8\)phút.
\(10\)phút.
Sau \(4\) phút ta có: \(S\left( 4 \right) = S\left( 0 \right){.5^4}\)\( \Rightarrow S\left( 0 \right) = \frac{{S\left( 4 \right)}}{{{5^4}}} = 1000.\)
Tại thời điểm \(t\) số lượng vi khuẩn \(C\) là \(390625000\) con nên ta có:
\(S\left( t \right) = S\left( 0 \right){.5^t}\)\( \Leftrightarrow {5^t} = \frac{{S\left( t \right)}}{{S\left( 0 \right)}} \Leftrightarrow {5^t} = \frac{{390625000}}{{1000}}\)\( \Leftrightarrow {5^t} = 390625 \Leftrightarrow t = {\log _5}390625 = 8\).
Xét phương trình: \({a^x} > b\left( 1 \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Nếu \[0 < a < 1,b > 0\] thì tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \left( { - \infty ;lo{g_b}a} \right)\).
Nếu \[a > 1,b \le 0\] thì tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \mathbb{R}\).
Nếu \[0 < a < 1,b \le 0\] thì tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \mathbb{R}\).
Nếu \[a > 1,b > 0\] thì tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \left( {lo{g_a}b; + \infty } \right)\).
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Nếu \[0 < a < 1,b > 0\] thì tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \left( { - \infty ;lo{g_b}a} \right)\).
Cho phương trình \[{3^x} = m + 1\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Phương trình có nghiệm dương nếu \[m > 0\].
Phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m\].
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất \[x = {\log _3}\left( {m + 1} \right)\].
Phương trình có nghiệm với \[m \ge - 1\].
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
Ta có \[{3^x} > 0\], \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên \[{3^x} = m + 1\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\].
Từ đó ta loại được đáp án b và d
Xét đáp án a, phương trình có nghiệm dương thì \[{3^x} > {3^0} = 1\] nên \[m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0\].
Từ đó đáp án a đúng.
Xét đáp án c, ta thấy sai vì ở đây thiếu điều kiện \[m > - 1\].
Gọi a là một nghiệm của phương trình \({4.2^{2\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({\left( {a - 10} \right)^2} = 1\).
\(a\) cũng là nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}} = \frac{9}{4}\).
\({a^2} + a + 1 = 2\).
\(a = {10^2}\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Điều kiện \(x > 0\).
Chia cả hai vế của phương trình cho \({3^{2\log x}}\) ta được \(4{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2\log x}} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}} - 18 = 0\).
Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}}\), \(t > 0\).
Ta có \(4{t^2} - t - 18 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{4}\\t = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\).
Với \(t = \frac{9}{4}\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}} = \frac{9}{4}\) \( \Leftrightarrow \log x = 2\) \( \Leftrightarrow x = 100\).
Vậy \(a = 100 = {10^2}\).
Cho phương trình\[{2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} - 1}}\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
Phương trình vô nghiệm.
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
\[{2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} - 1}} \Leftrightarrow {2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {2^{4{x^2} - 4}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4{x^2} - 4\,\,\left( 1 \right).\]
TH1: Nếu \[x > - \frac{3}{7}.\] PT \[\left( 1 \right):\] \[\frac{{28}}{3}x + 4 = 4{x^2} - 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - \frac{{28}}{3}x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\x = - \frac{2}{3}\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\]
TH1: Nếu \[x \le - \frac{3}{7}.\] PT \[\left( 1 \right):\] \[ - \frac{{28}}{3}x - 4 = 4{x^2} - 4 \Leftrightarrow 4{x^2} + \frac{{28}}{3}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( L \right)\\x = - \frac{7}{3}\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]
Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { - \frac{7}{3};\,3} \right\}\].
Tìm nghiệm phương trình \(\sqrt 2 \cdot {2^{3x + 1}} = 8\)
\(\sqrt 2 \cdot {2^{3x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{3x + 1}} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow 3x + 1 = {\log _2}4\sqrt 2 = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\).
Tìm nghiệm bất phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} > \frac{1}{9}\)
\({3^{{x^2} - 4x + 5}} > \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} > {3^{ - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 > - 2\) (do \(3 > 1\)). \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 7 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \in \mathbb{R}\).
Tìm nghiệm bất phương trình \({\log _2}3 + {\log _5}x \ge 1 + {\log _2}3 \cdot {\log _5}x\);
Điều kiện: \(x > 0.(*)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}3 + {{\log }_5}x \ge 1 + {{\log }_2}3 \cdot {{\log }_5}x}&{ \Leftrightarrow {{\log }_5}x \cdot \left( {1 - {{\log }_2}3} \right) - \left( {1 - {{\log }_2}3} \right) \ge 0}\\{}&{ \Leftrightarrow \left( {1 - {{\log }_2}3} \right)\left( {{{\log }_5}x - 1} \right) \ge 0.}\end{array}\)
Khi đó, do \(1 - {\log _2}3 < 0\) và cơ số \(5 > 1\) nên bất phương trình trở thành:
\({\log _5}x \le 1 \Rightarrow x \le 5.{\rm{ }}\)
Kết hợp với điều kiện \((*)\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(0 < x \le 5\).
Dân số nước ta năm 2022 ước tính là 99200000 người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của nước ta không đổi là \(r = 0,93\% \). Biết rằng sau \(t\) năm, dân số Việt Nam (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức \(S = A \cdot {e^{rt}}\). Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?
Xét bất phương trình:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{99200000 \cdot {e^{0,93\% .t}} > 120000000 \Leftrightarrow {e^{0,93\% .t}} > \frac{{75}}{{62}}}&{ \Leftrightarrow 0,93\% .t > \ln \left( {\frac{{75}}{{62}}} \right)}\\{}&{ \Leftrightarrow t > 20,468.}\end{array}\)
Vậy từ năm 2043 trở đi thì dân số nước ta vượt quá 120 triệu người.
Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, bác Thảo đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng số tiền là 500 triệu đồng với lãi suất \(r < 0\) cho kỳ hạn một năm. Điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi năm trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho năm sau (theo thể thức lãi kép). Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình, bác đã thanh toán hợp đồng ngân hàng với số tiền là 599823000 đồng. Hỏi bác Thảo đã vay ngân hàng với lãi suất \(r\) là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Ta có: \(A = 500\) triệu đồng, lãi suất \(r/\) năm, \(n = 2\) năm, \(T = 599823000\) đồng.
Theo công thức lãi kép, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{T = A{{(1 + r)}^n}}&{ \Leftrightarrow 599823000 = 500000000{{(1 + r)}^2}}\\{}&{ \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{{599823}}{{500000}}} - 1 \approx 0,095.}\end{array}\)
Vậy lãi suất mà bác Thảo vay ngân hàng là xấp xỉ \(9,5\% \).
Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức mũ như sau \(Q(t) = {Q_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{3t}}{2}}}} \right)\), với \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_o}\) là dung lượng nạp tối đa. Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn pin cho đến khi điện thoại đạt được \(80\% \) dung lượng pin tối đa (làm tròn đến hàng phần trăm).
Theo giả thiết, ta có phương trình:
\(\frac{{80}}{{100}}{Q_o} = {Q_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{3t}}{2}}}} \right) \Rightarrow {e^{ - \frac{{3t}}{2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow - \frac{{3t}}{2} = - \ln 5 \Rightarrow t \approx 1,07{\rm{ }}\)giờ
Vậy thời gian nạp pin của điện thoại là khoảng 1,07 giờ.
