\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ =  5  =  5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ =  10  =  5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ =  15  =  5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ =  20  =  5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ =  25  =  5}}{\rm{.5}}\]

Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ =  5n}}\].

\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ =  3}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.1}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ +  2  =  }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}} \right){\rm{  +  2  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.2}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ +  2  =  }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.2}}} \right){\rm{  +  2  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.3}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ +  2  =  }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.3}}} \right){\rm{  +  2  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.4}}\]

…

\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ +  2  =  }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{2}}} \right)} \right){\rm{  +  2  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2}}{\rm{.}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{  =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ +  2n}} - {\rm{2  =  3  +  2n}} - {\rm{2  =  2n  +  1}}\]

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ =  2n  +  1}}\]

Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là \({T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211,99\) triệu đồng.

Ta có \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}\).

a) u1 = 1.

b) \({u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5}\).

c) \({u_4} - {u_5} = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{7} =  - \frac{1}{{14}} < 0\) Þ u4 < u5.

d) Xét \(\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}}\)Û 84(2n + 1) = 167(n + 2) Û n = 250.

Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\)là số hạng thứ 250 của dãy số (un).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5.

b) Ta có u5 = u4 + 3 = 11.

c) Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\...................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\)

Cộng theo vế toàn bộ các đẳng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

un = −1 + 3(n – 1) = 3n – 4.

Vậy công thức số hạng tổng quát là un = 3n – 4.

d) Ta có 101 = 3n – 4 Þ n = 35.

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} =  - 11\).

Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Ta có \({u_3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

b) \({u_7} - {u_8} =  - \frac{1}{{56}}\).

c) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \ge 1\).

d) Theo câu c, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2}.1 =  - \frac{1}{2}\) và \({S_2} = {2^2} - \frac{3}{2}.2 = 1\).

b) Với n ³ 2 thì un = Sn – Sn – 1. Do đó u2 = S2 – S1 = \(\frac{3}{2}\).

c) Ta có \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {n^2} - \frac{3}{2}n - {\left( {n - 1} \right)^2} + \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)\) \( = {n^2} - \frac{3}{2}n - {n^2} + 2n - 1 + \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}\) \( =  - \frac{5}{2} + 2n,\forall n \ge 2\).

d) Xét  \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - \frac{5}{2} + 2\left( {n + 1} \right) + \frac{5}{2} - 2n = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó (un) là dãy tăng.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Có  −n2 + n + 1 = −19 Û −n2 + n + 20 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  - 4\end{array} \right.\).

Do n Î ℕ* nên n = 5.

Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Trả lời: 5.

Ta có \({u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0,4\).

Trả lời: 0,4.

Ta có \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\). Mặt khác \({u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0\). Nên suy ra dãy (un) bị chặn trên bởi số 1.

Trả lời: 1.

\({u_n} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos n - \frac{1}{2}\sin n} \right) = 2\cos \left( {n + \frac{\pi }{6}} \right)\) \( \Rightarrow  - 2 \le {u_n} \le 2\).

Vậy m = −2; M = 2 nên m + M = 0.

Trả lời: 0.

Ta có u1 = 1; u2 = 2u1 + 1 = 3; u3 = 2u2 + 1 = 7; u4 = 2u3 + 1 = 15.

Trả lời: 15.