10 Bài tập Xét tính bị chặn của dãy số (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho dãy số (un): un = n. Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
un giảm.
Đáp án đúng là: B
Ta có: un = n ≥ 1 ∀ n ∈ ℕ* và khi n → +∞ thì un → +∞.
Vậy un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
Cho dãy số hữu hạn (un): un = n2 (n ∈ ℕ*, n ≤ 9). Nhận xét nào sau đây về tính bị chặn của dãy số un là đúng?
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn;
un là bị chặn dưới.
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
Đáp án đúng là: B
Dãy số (un) là dãy số hữu hạn với n ∈ [1; 9].
⟹ u1 ≤ un ≤ u9 \(\Leftrightarrow \) 1 ≤ un ≤ 81.
Vậy dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un): un = 4 – n. Khẳng định nào sau đây đúng?
(un) bị chặn;
(un) bị chặn dưới và không bị chặn trên;
(un) bị chặn trên và không bị chặn dưới;
(un) tăng.
Đáp án đúng là: C
Ta có: un = 4 – n ≤ 3 ∀ n ∈ ℕ* và khi n → +∞ thì un → –∞.
Vậy un bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{2}{n}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
(un) bị chặn;
(un) bị chặn trên.
(un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
(un) giảm.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(0 < {u_n} = \frac{2}{n} \le 2\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Cho dãy số (un): un = sin(n). Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
un tăng.
Đáp án đúng là: A
Ta có: -1 ≤ un = sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ℕ*.
Vậy un là dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn dưới;
un bị chặn trên;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn.
Đáp án đúng là: D
Ta có: un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\)> 0 ∀ n ∈ℕ*⟹ un bị chặn dưới.
Ta có: un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\)=\(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{{4n + 2}}\)
Mặt khác: \(\frac{1}{{4n + 2}} \le \frac{1}{6} \Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
⟹ un bị chặn trên.
Vậy un bị chặn.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\). Giá trị các số hạng của un nằm trong khoảng nào sau đây?
(0; 4);
[0; +∞);
(0; +∞);
(0; 4].
Đáp án đúng là: A
Ta có: un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\)> 0 ∀ n ∈ℕ*⟹ un bị chặn dưới.
Ta có: un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\)=\(4 - \frac{2}{{n + 1}}\)< 4 ⟹ un bị chặn trên.
Vậy un bị chặn: 0 < un < 4.
Dãy số un nào dưới đây bị chặn?
un = n;
un = \(\frac{1}{n}\);
un = 2 – n;
un = \(\sqrt n \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(0 < {u_n} = \frac{1}{n} \le 1\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số un = \(\frac{1}{n}\) bị chặn.
Dãy số nào dưới đây bị chặn?
un = n2;
un = 2cos(n);
un = 2 – n3;
un = \(\sqrt {n + 4} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: -1 ≤ un = 2cos(n) ≤ 1 ∀ n ∈ℕ*.
Suy ra un = 2cos(n) là dãy số bị chặn.
Cho dãy số được cho bởi công thức tổng quát: un = 2n2 – a.n (a > 5). Biết dãy số trên có giá trị chặn dưới là -5. Giá trị của a nằm trong khoảng nào sau đây?
(5; 6);
(0; 6);
(12; +∞);
(6; +∞).
Đáp án đúng là: D
Khi n → +∞ thì un → +∞ ⟹ Dãy không bị chặn trên.
Xét phương trình bậc 2 có dạng:
y = 2x2 – ax (x ≥ 1) (1).
Phương trình (1) có đạt cực tiểu tại x = \(\frac{{ - \,( - \,a)}}{{2.2}} = \frac{a}{4}\)
Giá trị cực tiểu của (1) là: ymin = \(2.{\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - a.\frac{a}{4} = \frac{{ - \,{a^2}}}{8}\).
\(\Leftrightarrow \) y ≥ \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\)⟹ un ≥ \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\).
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\)= – 5 ⟹ a2 = 40.
a > 5 suy ra a = \(2\sqrt {10} \).
