10 Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n + 1} > u_n,  ∀n ∈ ℕ^*.

Đáp án đúng là: C

+) \({u_{n + 1}}--{\rm{ }}{u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)< 0  ∀n ∈ ℕ^*.

⟹ Dãy số có tính giảm ⟹ C đúng, B sai.

+) u₁ = 1 ⟹ D sai.

+) u₇ = \(\frac{1}{7}\)⟹ A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 – u_n = (n + 1)! – n! = (n + 1 – 1). n! = n.n! > 0  ∀n∈ ℕ^*.

Do đó dãy số có tính tăng.

⟹ D đúng, A sai.

u₂ = 2! ⟹B sai.

u₁₀ = 10! > 20 ⟹ C sai.

Đáp án đúng là: D

Ta luôn có: u_n > 0  ∀n ∈ ℕ^*.

•\[u_n^2 = {\rm{ }}2n + 5\]

•\[u_{n + 1}^2 = 2\left( {n + 1} \right) + 5 = 2n + 7 = u_n^2 + 2\]

Do đó \[u_{n + 1}^2 > {\rm{ }}u_n^2\].

Ta luôn có: u_n > 0  ∀n ∈ ℕ^*.

Nên u_n+1 > u_n ⟹ Dãy có tính tăng ⟹ D đúng, C sai.

•\({u_3} = \sqrt {2\,.\,3 + 5} = \sqrt {11} \)⟹ A sai.

•\({u_2} = \sqrt {2\,.\,2 + 5} = 3\)⟹ B sai.

Đáp án đúng là: A.

•Xét dãy số: u_n = 2n + 1

u_{n + 1} – u_n = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0∀n ∈ ℕ^*.

⟹ Dãy có tính tăng ⟹ A đúng.

•Xét dãy số: u_n = 5 – 4n

u_{n + 1} – u_n = 5 – 4(n + 1) – (5 – 4n) = – 4 < 0∀n ∈ ℕ^*.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ B sai.

•Xét dãy số: u_n = n² – n

u_{n + 1} – u_n = – (n + 1)² + (n + 1) – (– n² + n) = – 2n < 0∀n ∈ ℕ^*.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ C sai.

•Xét dãy số: u_n = (–2)ⁿ

Có: u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –8; …

⟹ Dãy không có tính tăng ⟹ D sai.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy \(f\left( n \right) = \frac{1}{{2n + 3}}\) là hàm số nghịch biến trên ℕ^*.

Suy ra u_n+1 < u_n∀n ∈ ℕ^* ⟹ Dãy số có tính giảm.

⟹ C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} – u_n = a(n + 1) + 1 – (an + 1) = a.

Để u_n là dãy số giảm thì a < 0.

⟹ A đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 4}}{{2n + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {2n + 1} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0\].

Do (2n + 3)(2n + 1) > 0 ∀n ∈ ℕ^*.

⟹\[(an + a + 4).(2n + 1) - (an + 4).(2n + 3)\]> 0

⟹ a.(2n + 1) – (an + 4).2 > 0

⟹ a – 8 > 0 \(\Leftrightarrow \) a > 8.

Suy ra A đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u_{n + 1} – u_n = (a – 3)(n + 1) + 2 – [(a – 3)n + 2]

= (a – 3)(n + 1) + 2 – (a – 3)n – 2 = a – 3.

Để dãy số là dãy số giảm thì a – 3 < 0 hay a < 3.

Vậy có 2 giá trị thỏa mãn: a = 1 hoặc a = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

•u_{n + 1} – u_n = (n + 1)² + 1 – n² – 1= 2n + 1 ∀n ∈ ℕ^*.

•v_{n + 1} – v_n = (n + 1)³ – n³ = 3n² + 3n + 1 ∀n ∈ ℕ^*.

•w_{n + 1} – w_n = 7(n + 1) – 8 – 7n + 8 = 7 ∀n ∈ ℕ^*.

•\({a_{n + 1}}--{a_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)∀n ∈ ℕ^*.

⟹ Cả 4 dãy số đều là các dãy số tăng.