20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Giới hạn của dãy số có đáp án
20 câu hỏi
Kết quả của giới hạn \[\lim \frac{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{n + 8}}}}}}\] bằng:
\(\frac{1}{2}\)
1
\[\frac{1}{8}\]
\[{\rm{ + }}\infty \]
Ta có \[{\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}\frac{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{n + 8}}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{8}}}{{\rm{n}}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{1}}}}}{\rm{ = 1}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Kết quả của giới hạn \[{\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}\frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}\] bằng:
−15
−10
10
15
\[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai dãy (un) và (vn) có \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\] và \[{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\left( { - {\rm{1}}} \right)}^{\rm{n}}}}}{{\rm{n}}}\]. Biết rằng \[\left| {\frac{{{{\left( { - {\rm{1}}} \right)}^{\rm{n}}}}}{{\rm{n}}}} \right| \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\]. Chọn kết luận không đúng
\[{\rm{lim}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]
Không tồn tại giá trị \[\lim {{\rm{v}}_{\rm{n}}}\]
\[{\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} - {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]
Dễ thấy \[{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\] nên A đúng
Do \[\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{\rm{n}}}}}{{\rm{n}}}} \right| \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\] và \[{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]
Theo nguyên lý kẹp suy ra, \[{\rm{lim}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Kết quả của giới hạn \[\lim \sqrt {{{2.3}^{\rm{n}}} - {\rm{n}} + 2} \] bằng:
0
2
3
\[ + \infty \]
Ta có \[{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\]
Khi \[{\rm{n}} \to \infty \Rightarrow {2^{\rm{n}}} < {3^{\rm{n}}}\] do đó \[{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} \Rightarrow \frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)}}{{\rm{2}}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}\]
Ta có \[{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n + 2}}} {\rm{ = lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} \]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{0}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}}} = \frac{{\rm{n}}}{{\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - 1} \right)}}{2}}}}\\{{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}}}\end{array}} \right. = \frac{2}{{{\rm{n}} - 1}} \to 0 \Rightarrow {\rm{lim}}\frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} + 2 + \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} {\rm{ = }}\sqrt 2 > 0}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \lim \sqrt {{{2.3}^{\rm{n}}} - {\rm{n}} + 2} = + \infty \]
Đáp án cần chọn là: D
</></>
Kết quả của giới hạn \[\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}\]bằng:
1
0
2
3
Ta có \[0 \le \left| {\frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| \le \left| {\frac{{\left( {{3^2} + {4^2}} \right).\left( {{{\sin }^2}{\rm{n}} + {{\cos }^2}{\rm{n}}} \right)}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| = \frac{5}{{{\rm{n}} + 1}} \to 0\]
Theo nguyên lý kẹp ta suy ra \[\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}} = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Kết quả của giới hạn \[\lim \left( {5 - \frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}} \right)\] bằng:
4
\[\frac{1}{4}\]
5
−4
Ta có\[0 \le \left| {\frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}} \right| \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \to 0\]
Theo nguyên lý kẹp ta có: \[\lim \frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}} = 0\]
Suy ra \[\lim \left( {5 - \frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}} \right) = 5\]
Đáp án cần chọn là: C
Chọn khẳng định đung
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\] nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể lớn hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu un có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu un có thể lớn hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Định nghĩa 1\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai dãy (un) và (vn) có \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}\] và \[{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{{\rm{n + 2}}}}\]. Khi đó \[\lim \frac{{{{\rm{v}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}\] có giá trị bằng
1
2
0
3
Ta có \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{v}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n + 1}}}}{{{\rm{n + 2}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}}}{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = 1}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho dãy số (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2n + b}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}\] trong đó b là tham số thực. Để dãy số có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là
B là một số thực tùy ý
b = 2
không tồn tại b
b = 5
\[{\rm{lim}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{2n + b}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{2 + }}\frac{{\rm{b}}}{{\rm{n}}}}}{{{\rm{5 + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}\left( {\forall {\rm{b}} \in R} \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho dãy số (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 2}}}}{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5}}}}\] trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2, giá trị của a là
1
4
3
2
Ta có \[{\rm{lim}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 2}}}}{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{4 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{2}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}}}{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{5}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{a}}}\left( {{\rm{a}} \ne 0} \right) \Leftrightarrow {\rm{a}} = 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Tinh giới hạn \[{\rm{L}} = \lim \left( {{\rm{3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3} \right)\]
3
\[ - \infty \]
5
\( + \infty \)
\[{\rm{L = lim(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = {\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right)\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} = + \infty }\\{{\rm{lim}}\left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right) = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{lim(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = + \infty \)
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị của giới hạn \[\lim \left( {\sqrt {{\rm{n}} + 5} - \sqrt {{\rm{n}} + 1} } \right)\] bằng
0
1
3
5
\[\lim \left( {\sqrt {{\rm{n + }}5} - \sqrt {{\rm{n + 1}}} } \right) = \lim \frac{{{\rm{n}} + 5 - {\rm{n}} - 1}}{{\sqrt {{\rm{n + 5}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{n + 1}}} }} = \lim \frac{4}{{\sqrt {{\rm{n}} + 5} + \sqrt {{\rm{n}} + 1} }} = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai dãy (un) và(vn) thỏa mãn \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {{\rm{v}}_{\rm{n}}}\] với mọi n và \[\lim {{\rm{v}}_{\rm{n}}} = 0\]
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = 0\]
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > \lim {{\rm{v}}_{\rm{n}}}\]
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} < \lim {{\rm{v}}_{\rm{n}}}\]
\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} < 0\]
Cho hai dãy (un) và(vn) thỏa mãn \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {{\rm{v}}_{\rm{n}}}\] với mọi n và \[\lim {{\rm{v}}_{\rm{n}}} = 0\] thì \[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Kết quả của giới hạn \[\lim \frac{{{{\rm{n}}^3} - 2{\rm{n}}}}{{1 - 3{{\rm{n}}^2}}}\] là:
\[ - \frac{1}{3}\]
\( + \infty \)
\( - \infty \)
\[\frac{2}{3}\]
\[\lim \frac{{{{\rm{n}}^3} - 2{\rm{n}}}}{{1 - 3{{\rm{n}}^2}}} = \lim n\frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 3}}\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{limn = + \infty }\\{\lim n\frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 3}} = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right. \to \lim \frac{{{{\rm{n}}^3} - 2{\rm{n}}}}{{1 - 3{{\rm{n}}^2}}} = - \infty \)
Đáp án cần chọn là: C
Kết quả của giới hạn \[\lim \left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.5}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 3}}} \right)}}} \right)\] là:
\[\frac{{11}}{{18}}\]
2
1
\[\frac{3}{2}\]
\[\lim \left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.5}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 3}}} \right)}}} \right)\]
\[ = \lim \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{\rm{n}}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)\]
\[ = \lim \frac{1}{3}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)} \right]\]
\[ = \lim \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 1}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right)\]
\[ = \lim \frac{1}{3}\left( {\frac{{11}}{6} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 1}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{n}} + 3}}} \right) = \frac{{11}}{{18}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị của giới hạn \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}\] bằng:
4
1
\(\frac{1}{2}\)
\[\frac{1}{3}\]
Ta có \[{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{\rm{6}}}\]
Do đó \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{{\rm{6n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho dãy số (un) có giới hạn xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2}}\end{array}} \right.,n \ge 1\).Tinh limun
1
0
2
\( + \infty \)
Giả sử \[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = a}} \Rightarrow \lim {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = a}}\]
\[{\rm{a}} = \lim {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} = \lim \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}} + 1}}{2} = \frac{{{\rm{a + 1}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow a = 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị của giới hạn \[\lim \sqrt[3]{{{{\rm{n}}^3} + 1}} - {\rm{n}}\] là:
2
0
\[ - \infty \]
\[ + \infty \]
\[{\rm{ = lim}}\left( {\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}}}} - {\rm{n}}} \right){\rm{ = lim}}\frac{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}} - {{\rm{n}}^{\rm{3}}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\left( {{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 }}} \right)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + n}}\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}\]
\[ = \frac{1}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\left( {{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + n}}\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}\]
\[{\rm{ = lim}}\frac{{\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{{\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\sqrt {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}}}} {\rm{ + 1}}}}}}{\rm{ = 0}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \[\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\]. Tính tổng \[{\rm{T = a + b}}\]
17
68
133
137
Ta có \[0,5111... = 0,5 + {10^{ - 2}} + {10^{ - 3}} + ... + {10^{ - {\rm{n}}}} + ...\]
Dãy số \[{10^{ - 2}};{10^{ - 3}};...;{10^{ - {\rm{n}}}};...\]là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng \[{{\rm{u}}_1} = {10^{ - 2}}\], công bội \[{\rm{q}} = {10^{ - 1}}\] nên \[{\rm{S = }}\frac{{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{q}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{90}}}}\]
Vậy \[0,5111... = 0,5 + {\rm{S}} = \frac{{46}}{{90}} = \frac{{23}}{{45}} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{a = 23}}}\\{{\rm{b = 45}}}\end{array}} \right. \to {\rm{T = a + b}} = 68\]
Đáp án cần chọn là: B
Có bao nhiêu giá trị nguyên a thuộc khoảng (0;20) sao cho \[\lim \sqrt {3 + \frac{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^2} - 1}}{{3 + {{\rm{n}}^2}}} - \frac{1}{{{2^{\rm{n}}}}}} \] là một số nguyên.
1
3
2
4
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}\frac{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3 + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = a}}}\\{{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \lim \sqrt {{\rm{3 + }}\frac{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3 + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}} - \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{n}}}}}} = \sqrt {3 + {\rm{a}}} \)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{a}} \in (0;20) \in {\rm{Z}}}\\{\sqrt {3 + {\rm{a}}} \in {\rm{Z}}}\end{array}} \right. \to {\rm{a}} \in \left\{ {1;6;13} \right\}\)
Đáp án cần chọn là: B
