20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Giới hạn của dãy số (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hai dãy (un) và (vn) thỏa mãn limun = 6 và limvn = 12. Giá trị của lim(un – vn) bằng
2.
72.
18.
−6.
D
lim(un – vn) = 6 – 12 = −6.
\(2\sqrt 3 \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(2 + \sqrt 3 \).
\( - 2 + \sqrt 3 \).
B
Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(I = \frac{2}{3}\).
\(I = \frac{3}{2}\).
\(I = \frac{{2023}}{{2024}}\).
\(I = 1\).
A
\(I = \lim \frac{{2n + 2023}}{{3n + 2024}}\)\( = \lim \frac{{2 + \frac{{2023}}{n}}}{{3 + \frac{{2024}}{n}}} = \frac{2}{3}\).
2.
0.
\(\frac{{ - 3}}{5}\).
−3.
B
\(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{{n^6} + 5{n^5}}}\)\(\lim \frac{{\frac{2}{{{n^4}}} - \frac{3}{{{n^6}}}}}{{1 + \frac{5}{n}}} = 0\).
0.
\(\frac{5}{4}\).
\(\frac{3}{4}\).
+∞.
A
\(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{4^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{1}\) = 0.
1.
0.
−∞.
+∞.
B
limun = a, limvn = +∞ thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).
m + n = 104.
m + n = 312.
m + n = 38.
m + n = 114.
A
Ta có \(a = 2,151515... = 2 + \frac{{15}}{{100}} + \frac{{15}}{{{{100}^2}}} + \frac{{15}}{{{{100}^3}}} + ...\)
Vì \(\frac{{15}}{{100}} + \frac{{15}}{{{{100}^2}}} + \frac{{15}}{{{{100}^3}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{{100}}\), công bội \(q = \frac{1}{{100}}\) nên \(a = 2 + \frac{{\frac{{15}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{71}}{{33}}\).
Suy ra m = 71; n = 33. Do đó m + n = 104.
\({u_n} = \frac{{3n}}{{2{n^2} + 1}}\).
un = 2n – 5n2.
\({u_n} = \frac{{5n + 1}}{{7n + 13}}\).
\({u_n} = \frac{{2{n^2} + 3n - 1}}{{{n^2} + 7n - 3}}\).
A
Ta có \(\lim \frac{{3n}}{{2{n^2} + 1}} = \lim \frac{{3n}}{{{n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{3}{{n\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = 0\).
\( - \frac{2}{7}\).
\(\frac{5}{7}\).
6.
−6.
D
\(\lim \frac{{{{5.2}^{n + 2}} - {{2.3}^{n + 2}}}}{{7 + {3^{n + 1}}}}\)\( = \lim \frac{{{{20.2}^n} - {{18.3}^n}}}{{7 + {{3.3}^n}}}\)\( = \lim \frac{{20.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 18}}{{7.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 3}} = - 6\).
1.
+∞.
−∞.
−1.
B
\(\lim \left( {{n^5} - 3n + 2} \right)\)\( = \lim {n^5}\left( {1 - \frac{3}{{{n^4}}} + \frac{2}{{{n^5}}}} \right) = + \infty \).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Giả sử ta có \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = b\) với a, b ∈ ℝ. Khi đó:
a) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\).
b) \(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 2a - b\).
c) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).
d) \(\lim \frac{{{u_n} + 2{v_n}}}{{{u_n}}} = \frac{a}{b}\) với a ≠ 0.
a) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\).
b) \(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 2a - b\).
c) Vì b có thể bằng 0 nên \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) có thể không hữu hạn.
d) \(\lim \frac{{{u_n} + 2{v_n}}}{{{u_n}}} = \lim \left[ {1 + \frac{{2{v_n}}}{{{u_n}}}} \right] = 1 + \frac{{2b}}{a}\left( {a \ne 0} \right)\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng;c) Sai;d) Sai.
Biết \(\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2\) và \(\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b\).
a) Giá trị của a = 2.
b) Giá trị của b = 4.
c) 2a – b = 0.
d) Ba số a, b, 16 lập thành một cấp số nhân.
a) \(\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = 2\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 1\).
b) \(\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{{3^n} + {4^n}.4}}{{{4^n} + 3}} = b\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}{{1 + 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = b\)\( \Leftrightarrow 4 = b\).
c) Ta có a = 1; b = 4 Þ 2a – b = 2.1 – 4 = −2.
d) Ta có b2 = 16 và a.16 = 1.16 = 16 Þ b2 = a.16 nên theo tính chất của cấp số nhân ta có 1; 4; 16 lập thành một cấp số nhân với u1 = 1; q = 4.
Đáp án: a) Sai;b) Đúng;c) Sai;d) Đúng.
Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:
\(0,212121... = \frac{a}{b}\); \(4,333... = \frac{c}{d}\). Khi đó
a) a + b = 40.
b) Ba số a;b; 58 tạo thành một cấp số cộng.
c) c + d = 15.
d) limc = 13.
a)Ta có \(0,212121... = \frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...\)
Vì \(\frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{21}}{{100}}\)và \(q = \frac{1}{{100}}\) nên \(0,212121... = \frac{{\frac{{21}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{7}{{33}}\).
Suy ra a = 7; b = 33. Do đó a + b = 40.
b) Ta có 2b = 2.33 = 66; a + 58 = 7 + 58 = 65.
Do 2b ≠ a + 58 nên ba số a; b; 58 không lập thành một cấp số cộng.
c) \(4,333... = 4 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....\)
Ta có \(\frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{3}{{10}}\) và \(q = \frac{1}{{10}}\) nên \(4,333... = 4 + \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{13}}{3}\).
Suy ra c = 13; d = 3. Do đó c + d = 16.
d) limc = lim13 = 13.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Sai; d) Đúng.
Cho hai dãy số (un) và (vn) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}};{v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\).
a)\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{3}\).
b) lim(vn + 1) = 1.
c) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |un| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
d) lim(un – vn) = 0.
a) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{\frac{3}{{n + 3}}}} = \lim \frac{{n + 3}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{3}{n}}}{{3\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{1}{3}\).
b) lim(vn + 1) = limvn + 1 = \(\lim \frac{3}{{n + 3}} + 1 = 0 + 1 = 1\).
c) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, vì |un| có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
d) lim(un – vn) = limun – limvn = \(\lim \frac{1}{{n + 1}} - \lim \frac{3}{{n + 3}} = 0 - 0 = 0\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng;c) Đúng; d) Đúng.
Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 4.3n – 7n + 1 ; vn = 7n.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0\).
b)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}\).
d)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{7}} \right)^n} = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{4.3}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{12.3}^n} - {{19.7}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 8}}{{12.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 19}} = \frac{8}{{19}}\).
d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{4.3}^n} - {7^{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n}\left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right]\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right] = - 7 < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng;d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tìm \(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right)\).
\(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} + 2024} \right)\).
Vì \(\lim \left( {3 - \frac{1}{n}} \right) = 3;\lim {2^n} = + \infty \) nên \(\lim \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{{2^n}}} = 0\).
Vậy \(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right) = 2024\).
Trả lời: 2024.
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{5n + 2024}}\).
Dãy số \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\) là một cấp số cộng với u1 = −1 và d = 3.
Khi đó un = −1 + (n – 1).3 = 3n – 4.
Khi đó \(\lim \frac{{{u_n}}}{{5n + 2024}}\)\( = \lim \frac{{3n - 4}}{{5n + 2024}}\)\( = \lim \frac{{3 - \frac{4}{n}}}{{5 + \frac{{2024}}{n}}} = \frac{3}{5} = 0,6\).
Trả lời: 0,6.
Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM = ON = 5. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA1B1C1 sao cho các đỉnh A1; B1; C1 lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác A1MB1, vẽ hình vuông A1A2B2C2 sao cho các đỉnh A2; B2; C2 lần lượt nằm trên các cạnh A1M, MB1, A1B1. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là \({a_1} = \frac{5}{2};{a_2} = \frac{5}{4};{a_3} = \frac{5}{8};...\)
Diện tích của các hình vuông lần lượt là \({S_1} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2};{S_2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2};{S_3} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2};...\)
Các diện tích S1; S2; S3; ... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \({S_1} = \frac{{25}}{4}\) và \(q = \frac{1}{4}\).
Do đó, tổng diện tích các hình vuông \(S = \frac{{\frac{{25}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{25}}{3} \approx 8,33\).
Trả lời: 8,33.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111... viết dạng phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) với a; b là các số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(\left| {b - 2a} \right|\).
Ta có 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...
Xét tổng 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ....
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u1 = 0,01 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\).
Vì vậy 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = \(0,5 + \frac{{0,01}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{23}}{{45}}\).
Suy ra \(a = 23;b = 45\). Khi đó |b – 2a| = 1.
Trả lời: 1.
Tìm giới hạn: \(\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n} - 3n}}{{4n + 3}}\).
\(\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n} - 3n}}{{4n + 3}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {9 + \frac{2}{n}} - 3}}{{4 + \frac{3}{n}}} = \frac{{3 - 3}}{4} = 0\).
Trả lời: 0.
