Ta có

lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)\( = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{8}\).

Vì lim(4n + 2) \( = \lim \left[ {n\left( {4 + \frac{2}{n}} \right)} \right]\) = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, \(\lim \frac{{4n + 2}}{3} = + \infty \).

Vì lim(3n + 4) \( = \lim \left[ {n\left( {3 + \frac{4}{n}} \right)} \right]\) = lim (n . 3) = +∞

và \(\lim \left( { - 5 + \frac{2}{n}} \right) = \lim \left( { - 5} \right) + \lim \frac{2}{n} = - 5\) < 0.

Do đó, \(\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}} = - \infty \).

Vì \(\lim \left( { - 3 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \lim \left( { - 3} \right) + \lim \frac{1}{{n + 1}} = - 3\) và lim5ⁿ = +∞.

Nên \(\lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 0\).

\(\lim \left( {6 - \frac{5}{{{4^n}}}} \right)\)\( = \lim 6 - \lim \frac{5}{{{4^n}}}\)\( = 6 - \lim \left( {5.\frac{1}{{{4^n}}}} \right)\)

\( = 6 - 5\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 6 - 5.0 = 6\).

\(\lim \frac{{6n - 5}}{{3n}} = \lim \frac{{n\left( {6 - \frac{5}{n}} \right)}}{{3n}}\)\( = \lim \frac{{6 - \frac{5}{n}}}{3} = \frac{{\lim \left( {6 - \frac{5}{n}} \right)}}{{\lim 3}} = \frac{6}{3} = 2\).

\(\lim \frac{{ - 2{n^2} - 6n + 2}}{{8{n^2} - 5n + 4}}\)\( = \lim \frac{{{n^2}\left( { - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{ - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \left( { - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{\lim \left( {8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{{ - 2}}{8} = - \frac{1}{4}\).

\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\)\( = \lim \frac{{{n^3}\left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}\)\( = \lim \frac{{1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}\)

\( = \frac{{\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = + \infty \) (do \(\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1\) và \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right) = 0\)).

\(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{{9{n^2} - n + 2}}\)\( = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}\)\( = \lim \frac{{\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}\)

\( = \frac{{\lim \left( {\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\lim \left( {9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{0}{9} = 0\).

\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} }}{{8n + 3}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{n\left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{8 + \frac{3}{n}}}\)

\( = \frac{{\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)}}{{\lim \left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt {\lim \left( {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{\lim \left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt 4 }}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

\(\lim \frac{{{4^n} + {5^n}}}{{{{3.4}^n} - {{4.5}^n}}}\)\( = \lim \frac{{{5^n}\left( {\frac{{{4^n}}}{{{5^n}}} + 1} \right)}}{{{5^n}\left( {\frac{{{{3.4}^n}}}{{{5^n}}} - 4} \right)}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}}{{3.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 4}}\)

\( = \frac{{\lim \left[ {{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1} \right]}}{{\lim \left[ {3.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 4} \right]}} = \frac{1}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}\).

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với \({u_1} = \frac{5}{4},q = - \frac{1}{3}\) là:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{{15}}{{16}}\).

Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... \( = \frac{{0,3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy 2,(3) = 2 + \(\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).

Theo đề bài ta có, \({h_n} = \frac{1}{4}{h_{n - 1}}\) nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = \(\frac{1}{4}.100 = 25\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\).

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): \({h_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 25.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\).

Ta có: limh_n = \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim \left( {100.\frac{1}{{{4^n}}}} \right) = \lim 100.\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 100.0 = 0\).

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

Ta có: \({S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}}} \right)\).

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}} + ...} \right)\).

Vì \(\frac{{100}}{4};\,\frac{{100}}{{{4^2}}};\,\frac{{100}}{{{4^3}}};...;\frac{{100}}{{{4^n}}};...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{100}}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\) nên ta có \(\lim {S_n} = 100 + 2.\frac{{\frac{{100}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\).

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là \(\frac{{500}}{3}\) m.