20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha .\]
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\)
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \sin \alpha .\)
Đáp án đúng là: B
Đẳng thức đúng là \(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\)
Giá trị \(\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \) bằng bao nhiêu?
\[1\].
\(\sqrt 2 \).
\(\sqrt 3 \).
\[0\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \,{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
Tính giá trị của biểu thức \(P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + sin60^\circ cos30^\circ \).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
\(P = \sqrt 3 \).
\(P = - \sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + sin60^\circ cos30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\].
Giá trị của biểu thức \(A = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \tan 89^\circ \) là
\(0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
\(A = \left( {\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ } \right) \cdot ... \cdot \left( {\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \)
\[ = \left( {\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ } \right) \cdot ... \cdot \left( {\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \]
\( = 1\).
Cho \(\tan \alpha - \cot \alpha = 3.\) Tính giá trị của biểu thức sau: \(A = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \).
\(A = 12\).
\(A = 11\).
\(A = 13\).
\(A = 5\).
Đáp án đúng là: B
\(\tan \alpha - \cot \alpha = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 9\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 11\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\)\(\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{5}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Do \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \cos \alpha > 0\).
Từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}\).
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\sin 90^\circ < \sin 100^\circ \).
\(\tan 85^\circ < \tan 125^\circ \).
\(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ \).
\(\cos 145^\circ > \cos 125^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Bất đẳng thức đúng là \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ \).
Hệ thức nào sau đây đúng?
\(5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 3.\)
\({\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = \frac{1}{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Do \({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1 \Rightarrow 5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Giá trị của \(\cot \alpha \) là
\(\frac{4}{3}\).
\( - \frac{4}{3}\).
\(\frac{3}{4}\).
\( - \frac{3}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \[90^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \cot \alpha < 0\].
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1} = \frac{{ - 3}}{4}\).
Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\) là:
\(13\).
\( - \frac{{15}}{{13}}\).
\( - 13\).
\(\frac{{15}}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \frac{{\frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\,\, = \,\,\frac{{3\, + 4\,\cot \alpha }}{{2 - \,5\,\cot \alpha }}\,\, = \,\,\frac{{3\,\, + \,\,4 \cdot \,\frac{1}{3}}}{{2\, - \,5 \cdot \frac{1}{3}}}\, = \,\,\,13\).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5},\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
a) \(\cos \alpha > 0\).
b) \({\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}\).
c) \[\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \frac{3}{4}\].
d) \[A = \frac{{\tan \alpha - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{125}}{{48}}\].
a) Sai. Ta có \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).
b) Đúng. Vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Do đó \[\cos \alpha = - \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = - \frac{4}{5}\].
c) Sai. Ta có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4} \Rightarrow \,\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha = \frac{3}{4}\].
d) Đúng. \[A = \frac{{\tan \alpha - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\tan \alpha - \frac{1}{{\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}}}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} - \frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{125}}{{48}}\].
Cho \(\cot \alpha = - \sqrt 2 ,\left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
a) \(\sin \alpha > 0\).
b) \(\sin \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
c) \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
d) \(\tan \alpha = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
a) Đúng. Do \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\).
b) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Mà \(\sin \alpha > 0\) nên \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
c) Đúng. Ta có \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = - \sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
d) Sai. Ta có \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Biết \(\tan \alpha = 2\) và \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \).
a) \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\).
b) \[\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0\].
c) \[\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].
d) \[\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
a) Đúng. Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}\).
b) Sai. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = 2 > 0 \Rightarrow \sin \alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha > 0\).
c) Đúng. Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \({\rm{cos}}\alpha > 0\).
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {2^2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
d) Sai. Ta có \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Suy ra \({\rm{sin}}\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
Cho \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\).
a) \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).
b) \(\cot \alpha \, < \,0\).
c) \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
d) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
a) Đúng. Vì \(\cos \alpha \, < \,0\) nên \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).
b) Đúng. Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\), mà \(\cos \alpha \, < \,0\), từ đó suy ra \(\cot \alpha \, < \,0\).
c) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha \, + \,{\cos ^2}\alpha = \,1\, \Leftrightarrow \,{\sin ^2}\alpha \, = \,1\, - \,{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{5}{9}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
d) Sai. Có \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }}\, = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Cho \({\rm{tan}}\alpha = 3\) và \({\rm{0}}^\circ < \alpha < 90^\circ \).
a) \(\cot \alpha = \frac{1}{3}.\)
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)
c) \(5{\sin ^2}\alpha - 3{\cos ^2}\alpha + \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \frac{{36}}{7}\).
d) Giá trị của biểu thức \(E = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 5{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{a}{b}\) với \(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(a,b\, \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó \[a + b = 8\].
a) Đúng. Ta có \(\tan \alpha = 3\) nên \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
b) Đúng. Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {3^2} = 10\) \[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\{\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\).
Vì \({\rm{0}}^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
c) Sai. Vì \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = {\rm{1}} - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\];
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = 3\).
Suy ra \(5{\sin ^2}\alpha - 3{\cos ^2}\alpha + \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = 5 \cdot \frac{9}{{10}} - 3 \cdot \frac{1}{{10}} + 3 = \frac{{36}}{5}\).
d) Đúng. Vì \({\rm{tan}}\alpha = 3\) nên \(\cos \alpha \ne 0\).
Chia tử và mẫu của \(E\) cho \({\cos ^2}\alpha \ne 0\), ta được:
\(E = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{5{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha - 5}}{{2{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 3{\rm{tan}}\alpha + 1}}\,\)
\(E = \frac{{9 - 5}}{{18 + 9 + 1}} = \frac{4}{{28}} = \frac{1}{7} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8\).
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \) và \(P = \frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {m^2} + {n^2}\) biết \(P = \frac{m}{n}\)(\(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản).
Vì \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được:
\(P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}} = - 2 = \frac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 1\end{array} \right.\).
Khi đó \(A = {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} = 5\).
Đáp án: \(5\).
Cho góc \(\alpha \,\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\).
Tính giá trị biểu thức \[P = \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Ta có \[P = \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha - \left( { - \cos \alpha } \right) = 2\cos \alpha \].
Mặt khác \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\).
Lại có \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\), từ đó ta được \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \[P = 2\cos \alpha = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \approx 1,89\].
Đáp án: \(1,89\).
Cho cot \(\alpha = 2\). Khi đó, ta có \(B = \frac{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha }} = - \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a - b\).
Vì \(\cot \alpha = 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của B cho \({\sin ^3}\alpha \) ta được:
\(B = \frac{{\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}}{{\left( {{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2\cot \alpha \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }}\)\(\)
\( = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha + 2\cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = \frac{{2{{\cot }^3}\alpha + {{\cot }^2}\alpha + 2\cot \alpha + 1}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = - \frac{{25}}{7} = - \frac{a}{b}\).
Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{{25}}{7}\) và \(a = 25,b = 7\). Vậy \(a - b = 25 - 7 = 18\).
Đáp án: 18.
Tính giá trị của biểu thức: \(F = 1 - 2{\sin ^2}55^\circ + 4{\cos ^2}60^\circ - 2{\sin ^2}35^\circ + \tan 55^\circ \tan 35^\circ \).
\(F = 1 - 2{\sin ^2}55^\circ + 4{\cos ^2}60^\circ - 2{\sin ^2}35^\circ + \tan 55^\circ \tan 35^\circ \)\[ = 1 - 2{\sin ^2}\left( {90^\circ - 35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ - 2{\sin ^2}35^\circ + \tan \left( {90^\circ - 35^\circ } \right)\tan 35^\circ \]\( = 1 - 2{\cos ^2}35^\circ + 4{\cos ^2}60^\circ - 2{\sin ^2}35^\circ + \cot 35^\circ \cdot \tan 55^\circ \)\( = 1 - 2\left( {{{\sin }^2}35^\circ + {{\cos }^2}35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ + \tan 35^\circ \cot 35^\circ = 1 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 1\).
Đáp án: 1.
Cho \(\tan \alpha = 1\). Tính \(B = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + 1}}{{2{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}\).
Vì \(\tan \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được:
\(B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\).
Đáp án: 3.
