20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

\[f\left( x \right)\] có hai nghiệm \[x = - 1,x = 3\] → loại C, D.

\[f'\left( x \right) < 0\] khi \[x \in \left( { - 1;3} \right)\] nên \[a > 0\]. Do đó đáp án đúng là A.</>

Lời giải

a) Đúng. Ta có \(f\left( 0 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {0^2} + 0 + 3 = 3 > 0\).

b) Đúng. \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m - 1 \ne 0\), tức là \(m \ne 1\).

c) Sai. Ta có \(f\left( 1 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {1^2} + 1 + 3 = m + 3\).

Do đó \(f\left( 1 \right) \ge 0\) khi \(m + 3 \ge 0\), tức là \(m \ge - 3\).

d) Sai. Thay \(m = 1\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \(f\left( x \right) = x + 3\), ta thấy \(f\left( x \right)\) không thể nhận giá trị dương với mọi \(x\).

Ta có \(\Delta = {1^2} - 4\left( {m - 1} \right) \cdot 3 = 13 - 4m\).

Với \(m \ne 1\) hàm số \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai, do đó \(f\left( x \right) > 0\,\forall x\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > \frac{{13}}{4}\end{array} \right.\), suy ra \(m > \frac{{13}}{4}\).</>

Vậy hàm số luôn nhận giá trị dương khi \(m > \frac{{13}}{4}\).

Lời giải

a) Đúng. Quan sát bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\).

b) Đúng. Nhận thấy \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\).

Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 3 \right) = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} - a \cdot 1 + b = 0\\{3^2} - a \cdot 3 + b = 0\end{array} \right.\). Ta tính được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b = 7\).

c) Đúng. Từ câu b) ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\). Khi đó, \(f\left( 4 \right) = {4^2} - 4 \cdot 4 + 3 = 3\).

d) Đúng. Ta có \(g\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)f\left( x \right)\).

Tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm \(x = 1\), \(x = 2\) và hệ số \(a = 1 > 0\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Lời giải

a) Sai. Với \(m = 2\), ta có tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5\) vô nghiệm.

b) Sai. Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

c) Đúng. Với \(m = - 2\), ta có tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\).

d) Sai. Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), điều này xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Ta có \(a = 1 > 0\) luôn đúng; \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m + 3} \right) = {m^2} - 4m - 12 < 0\) khi \( - 2 < m < 6\).

Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số m.

Lời giải

a) Sai. Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - 3\) là tam thức bậc hai.

b) Sai. Khi \(m = 3\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\), khi đó, \(f\left( x \right) \le 0\) thì \({x^2} - 4x + 5 \le 0\), vô nghiệm.

c) Đúng. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \({m^2} - 4 < 0\), tức là \( - 2 < m < 2\).

d) Sai. \(f\left( x \right) \le 0\) khi \(x \in & \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của tam thức \(f\left( x \right)\).

\(f\left( x \right)\) nhận giá trị không dương trên khoảng \(\left[ {a;\,b} \right]\) có \(b - a = 5\) thì \(\left[ {a\,;\,b} \right] = \left[ {{x_1};\,{x_2}} \right]\).

Suy ra \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 5 \Rightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 25\).

Ta có \({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( {{m^2} - 4} \right) = - 8m + 20\).

Khi đó, \( - 8m + 20 = 25\), suy ra \(m = - \frac{5}{8} < 1\).

Lời giải

a) Sai. Số khách tham quan chuyến du lịch trên là \(20 + x\).

b) Đúng. Vì cứ có thêm 1 người thì giá vé sẽ giảm 1 USD/người cho toàn bộ khách trong nhóm nên giá vé của mỗi người là \(30 - x\).

c) Đúng. Doanh thu của công ty là \(\left( {20 + x} \right)\left( {30 - x} \right) = - {x^2} + 10x + 600\).

d) Sai. Lợi nhuận của công ty là \(y = - {x^2} + 10x + 600 - 400 = - {x^2} + 10x + 200\).

Công ty có lãi khi \( - {x^2} + 10x + 200 > 0\).

Vì x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 20.

Do đó, nếu số khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm ít hơn 20 người thì công ty mới có lãi.

Lời giải

Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 7 < 0\).

Tam thức \(4{m^2} - 4m - 7\) có hai nghiệm \(m = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\) và hệ số của \({m^2}\) bằng 4 lớn hơn 0 nên \(4{m^2} - 4m - 7 < 0\) khi \(\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0\,;\,1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Lời giải

Ta có: \(a = m - 1,b = 2\left( {m - 1} \right),b' = m - 1,c = m - 3\).

Theo giả thiết: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,(*)\).

Trường hợp 1: \(a = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\). Thay vào (*): \(1 - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).

Suy ra \(m = 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m - 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne 1\).

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 1 < 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\2m - 2 \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\m \le 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 1.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)

Hợp hai kết quả trên, ta được \(m \le 1\). Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(m = 1\).

Đáp án: 1.

Lời giải

Ta có điều kiện: \( - 20 < x < 30\).

Diện tích hình chữ nhật lúc sau là: \(S = \left( {30 - x} \right) \cdot \left( {20 + x} \right) = - {x^2} + 10x + 600\;\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là \(600\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Đặt \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x + 600 - 600 = - {x^2} + 10x\).

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\). Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\):

Diện tích của khung sau khi uốn tăng lên khi \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\,10} \right)\).

Vậy \(a + b = 10\).

Đáp án: 10.

Lời giải

Xét hàm số bậc hai \(y = a{t^2} + bt + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 3}\\{9a + 3b + c = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{6a + b = 0}\\{9a + 3b = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{7}{3}}\\\begin{array}{l}b = 14\\c = 0\end{array}\end{array}} \right.\).

Vì vậy \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t\).

Ta cần xét: \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t > 10\) hay \( - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10 > 0\).

Đặt \(f\left( t \right) = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10;\) cho \(f\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{21 - \sqrt {231} }}{7},{t_2} = \frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}\).

Bảng xét dấu \(f\left( t \right)\):

Kết luận: \(f\left( t \right) > 0\) khi \({t_1} < t < {t_2}\) hay \(\underbrace {\frac{{21 - \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 0,83} < t < \underbrace {\frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 5,17}\).

Vì \(t\) nguyên nên \(t \in \left[ {1\,;5} \right]\). Do vậy giá trị \(t = 5\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án: 5.

Lời giải

Với số lượng khách là \(\left( {50 + x} \right)\) người thì mỗi khách sẽ trả một khoản tiền \(\left( {300\,000 - 5\,000x} \right)\) đồng.

Vậy tổng số tiền công ty thu được trong chuyến du lịch đó là:

\[T\left( x \right) = \left( {50 + x} \right)\left( {300\,000 - 5\,000x} \right) = - 5\,000{x^2} + 50\,000x + 15\,000\,000\] (đồng).

Xét tam thức bậc hai:

\(f\left( x \right) = T\left( x \right) - 15\,080\,000 = - 5\,000{x^2} + 50\,000x - 80\,000.{\rm{ }}\)

\(\Delta > 0,f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là 2 và 8, ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Kết luận: \(f\left( x \right) \ge 0\) khi \(x \in \left[ {2\,;8} \right]\).

Vậy nếu số khách tối đa là 58 người \(\left( {x = 8} \right)\) thì công ty sẽ không lỗ khi tổ chức chuyến du lịch này.

Đáp án: 58.