20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?
Tam thức bậc hai nào sau đây có hệ số \(a = 3;b = - 2;c = - 7\)?
\(3{x^2} - 2x - 7\).
\( - 3{x^2} + 2x + 7\).
\(3{x^2} - 2x + 7\).
\(3{x^2} + 2x - 7 = 0\).
Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = 3{x^2} - 2x - 7\].
Hình 3.
Hình 4.
Hình 1.
Hình 2.
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 12x - 13\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
\(x \in \left( { - 1;13} \right)\).
\(x \in \mathbb{R}\backslash \left[ { - 1;13} \right]\).
\(x \in \left[ { - 1;13} \right]\).
\(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {13; + \infty } \right)\).
D. \ (x \ in \ left ({ - \ infty; - 1} \ right] \ Cup \ left [{13; + \ infy} \ right) \).
Đáp án đúng là: D
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 13\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\):
Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {13; + \infty } \right)\).
Bảng xét dấu bên dưới là của tam thức bậc hai nào sau đây?
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\).
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\).
\(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\).
\(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3\).
\[f\left( x \right)\] có hai nghiệm \[x = - 1,x = 3\] → loại C, D.
\[f'\left( x \right) < 0\] khi \[x \in \left( { - 1;3} \right)\] nên \[a > 0\]. Do đó đáp án đúng là A.</>
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + x + 3\].
a) \(f\left( 0 \right) > 0\).
b) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m \ne 1\).
c) \(f\left( 1 \right) \ge 0\) khi và chỉ khi \(m \ge 3\).
d) Hàm số luôn nhận giá trị dương khi \(m > \frac{{13}}{{12}}\).
Lời giải
a) Đúng. Ta có \(f\left( 0 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {0^2} + 0 + 3 = 3 > 0\).
b) Đúng. \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m - 1 \ne 0\), tức là \(m \ne 1\).
c) Sai. Ta có \(f\left( 1 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {1^2} + 1 + 3 = m + 3\).
Do đó \(f\left( 1 \right) \ge 0\) khi \(m + 3 \ge 0\), tức là \(m \ge - 3\).
d) Sai. Thay \(m = 1\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \(f\left( x \right) = x + 3\), ta thấy \(f\left( x \right)\) không thể nhận giá trị dương với mọi \(x\).
Ta có \(\Delta = {1^2} - 4\left( {m - 1} \right) \cdot 3 = 13 - 4m\).
Với \(m \ne 1\) hàm số \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai, do đó \(f\left( x \right) > 0\,\forall x\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > \frac{{13}}{4}\end{array} \right.\), suy ra \(m > \frac{{13}}{4}\).</>
Vậy hàm số luôn nhận giá trị dương khi \(m > \frac{{13}}{4}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) có bảng xét dấu như hình vẽ:
a) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\).
b) \(a + b = 7\).
c) \(f\left( 4 \right) = 3\).
d) Bảng xét dấu của đa thức \(g\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)f\left( x \right)\) như sau:
Lời giải
a) Đúng. Quan sát bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\).
b) Đúng. Nhận thấy \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\).
Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 3 \right) = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} - a \cdot 1 + b = 0\\{3^2} - a \cdot 3 + b = 0\end{array} \right.\). Ta tính được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b = 7\).
c) Đúng. Từ câu b) ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\). Khi đó, \(f\left( 4 \right) = {4^2} - 4 \cdot 4 + 3 = 3\).
d) Đúng. Ta có \(g\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)f\left( x \right)\).
Tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm \(x = 1\), \(x = 2\) và hệ số \(a = 1 > 0\).
Ta có bảng xét dấu như sau:
\(x\) | \( - \infty \) \(1\) \(2\) \(3\) \( + \infty \) |
\(h\left( x \right)\) | + \(0\) \( - \) \(0\) + | + |
\(f\left( x \right)\) | + \(0\) \( - \) | \( - \) \(0\) + |
\(g\left( x \right) = h\left( x \right)f\left( x \right)\) | + \(0\) + \(0\) \( - \) \(0\) + |
Cho tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - mx + m + 3\), với m là tham số thực.
a) Khi m = 2 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt.
b) Khi m = 2 thì tam thức luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
c) Khi m = \( - 2\) thì tam thức luôn không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
d) Có 7 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Lời giải
a) Sai. Với \(m = 2\), ta có tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5\) vô nghiệm.
b) Sai. Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
c) Đúng. Với \(m = - 2\), ta có tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\).
d) Sai. Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), điều này xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Ta có \(a = 1 > 0\) luôn đúng; \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m + 3} \right) = {m^2} - 4m - 12 < 0\) khi \( - 2 < m < 6\).
Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số m.
Cho \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 4\).
a) Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right)\) không phải là tam thức bậc hai.
b) Khi \(m = 3\) thì bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có tập nghiệm chứa hữu hạn giá trị nguyên.
c) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu với \(\forall m \in \left( {a;b} \right)\). Khi đó \(a + b = 0\).
d) \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không dương trên khoảng \(\left[ {a;\,b} \right]\) có \(b - a = 5\) khi m > 1.
Lời giải
a) Sai. Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - 3\) là tam thức bậc hai.
b) Sai. Khi \(m = 3\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\), khi đó, \(f\left( x \right) \le 0\) thì \({x^2} - 4x + 5 \le 0\), vô nghiệm.
c) Đúng. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \({m^2} - 4 < 0\), tức là \( - 2 < m < 2\).
d) Sai. \(f\left( x \right) \le 0\) khi \(x \in & \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của tam thức \(f\left( x \right)\).
\(f\left( x \right)\) nhận giá trị không dương trên khoảng \(\left[ {a;\,b} \right]\) có \(b - a = 5\) thì \(\left[ {a\,;\,b} \right] = \left[ {{x_1};\,{x_2}} \right]\).
Suy ra \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 5 \Rightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 25\).
Ta có \({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( {{m^2} - 4} \right) = - 8m + 20\).
Khi đó, \( - 8m + 20 = 25\), suy ra \(m = - \frac{5}{8} < 1\).
Một công ty Du lịch sinh thái thông báo giá tiền khi tham gia chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch được cho như sau:
Số khách | 20 khách đầu tiên | từ khách thứ 21 trở đi |
Giá tiền | 30 USD/người | Giảm 1 USD/người cho toàn bộ khách trong nhóm |
Gọi x là số lượng khách từ người thứ 21 trở đi của nhóm.
a) Số khách tham quan chuyến du lịch trên là \(20 - x\).
b) Giá vé của mỗi người là \(30 - x\).
c) Doanh thu của công ty được tính bởi công thức \( - {x^2} + 10x + 600\).
d) Biết chi phí của chuyến tham quan mà công ty phải chịu là 400 USD. Khi đó, nếu số khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm nhiều hơn 20 người thì công ty có lãi.
Lời giải
a) Sai. Số khách tham quan chuyến du lịch trên là \(20 + x\).
b) Đúng. Vì cứ có thêm 1 người thì giá vé sẽ giảm 1 USD/người cho toàn bộ khách trong nhóm nên giá vé của mỗi người là \(30 - x\).
c) Đúng. Doanh thu của công ty là \(\left( {20 + x} \right)\left( {30 - x} \right) = - {x^2} + 10x + 600\).
d) Sai. Lợi nhuận của công ty là \(y = - {x^2} + 10x + 600 - 400 = - {x^2} + 10x + 200\).
Công ty có lãi khi \( - {x^2} + 10x + 200 > 0\).
Vì x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 20.
Do đó, nếu số khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm ít hơn 20 người thì công ty mới có lãi.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.\).
Ta có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 7 < 0\).
Tam thức \(4{m^2} - 4m - 7\) có hai nghiệm \(m = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\) và hệ số của \({m^2}\) bằng 4 lớn hơn 0 nên \(4{m^2} - 4m - 7 < 0\) khi \(\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0\,;\,1} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Đáp án: 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Lời giải
Ta có: \(a = m - 1,b = 2\left( {m - 1} \right),b' = m - 1,c = m - 3\).
Theo giả thiết: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,(*)\).
Trường hợp 1: \(a = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\). Thay vào (*): \(1 - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).
Suy ra \(m = 1\) thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(a = m - 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne 1\).
\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 1 < 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\2m - 2 \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\m \le 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 1.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)
Hợp hai kết quả trên, ta được \(m \le 1\). Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(m = 1\).
Đáp án: 1.
Ta Có: \ (a = m - 1, b = 2 \ trái ({m - 1} \ right), b '= m - 1, c = m - 3 \).
Một khung dây thép hình chữ nhật với chiều dài \(30\;{\rm{cm}}\) và chiều rộng \(20\;{\rm{cm}}\) được uốn lại thành hình chữ nhật mới với kích thước \(\left( {30 - x} \right)\)\({\rm{cm}}\) và \(\left( {20 + x} \right)\,\,{\rm{cm}}\), khi đó với \(x\) nằm trong khoảng \(\left( {a;\,b} \right)\) thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên. Tính giá trị biểu thức \(a + b\).
Lời giải
Ta có điều kiện: \( - 20 < x < 30\).
Diện tích hình chữ nhật lúc sau là: \(S = \left( {30 - x} \right) \cdot \left( {20 + x} \right) = - {x^2} + 10x + 600\;\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\).
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là \(600\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Đặt \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x + 600 - 600 = - {x^2} + 10x\).
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\). Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\):
Diện tích của khung sau khi uốn tăng lên khi \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\,10} \right)\).
Vậy \(a + b = 10\).
Đáp án: 10.
Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;\,{\rm{m}}\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu (\(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;{\rm{m}}\) so với mặt đất?
Lời giải
Xét hàm số bậc hai \(y = a{t^2} + bt + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 3}\\{9a + 3b + c = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{6a + b = 0}\\{9a + 3b = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{7}{3}}\\\begin{array}{l}b = 14\\c = 0\end{array}\end{array}} \right.\).
Vì vậy \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t\).
Ta cần xét: \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t > 10\) hay \( - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10 > 0\).
Đặt \(f\left( t \right) = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10;\) cho \(f\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{21 - \sqrt {231} }}{7},{t_2} = \frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}\).
Bảng xét dấu \(f\left( t \right)\):
Kết luận: \(f\left( t \right) > 0\) khi \({t_1} < t < {t_2}\) hay \(\underbrace {\frac{{21 - \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 0,83} < t < \underbrace {\frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 5,17}\).
Vì \(t\) nguyên nên \(t \in \left[ {1\,;5} \right]\). Do vậy giá trị \(t = 5\) thỏa mãn đề bài.
Đáp án: 5.
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách như sau: 50 khách đầu tiên có giá 300 000 đồng/người.
Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm một người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Biết chi phí thực sự của chuyến đi là 15 080 000 đồng. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu để công ty không bị lỗ?
Lời giải
Với số lượng khách là \(\left( {50 + x} \right)\) người thì mỗi khách sẽ trả một khoản tiền \(\left( {300\,000 - 5\,000x} \right)\) đồng.
Vậy tổng số tiền công ty thu được trong chuyến du lịch đó là:
\[T\left( x \right) = \left( {50 + x} \right)\left( {300\,000 - 5\,000x} \right) = - 5\,000{x^2} + 50\,000x + 15\,000\,000\] (đồng).
Xét tam thức bậc hai:
\(f\left( x \right) = T\left( x \right) - 15\,080\,000 = - 5\,000{x^2} + 50\,000x - 80\,000.{\rm{ }}\)
\(\Delta > 0,f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là 2 và 8, ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Kết luận: \(f\left( x \right) \ge 0\) khi \(x \in \left[ {2\,;8} \right]\).
Vậy nếu số khách tối đa là 58 người \(\left( {x = 8} \right)\) thì công ty sẽ không lỗ khi tổ chức chuyến du lịch này.
Đáp án: 58.
