15 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Vận dụng)

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD} \\ =-a^2+0+0+\frac{1}{2}{\left(a\sqrt{2}\right)}^2=0 \end{gathered}$$

Đáp án A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Khi đó

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC} \\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) \\ =\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right) \\ =\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0 \\ \iff \left(\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{CB}=0 \\ \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0 \end{gathered}$$

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Đáp án D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Ta có: $\overrightarrow{MB}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff \overrightarrow{MB}.3\overrightarrow{MG}=0\iff \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MG}=0 \\ \iff MB\perp MG (*) \end{gathered}$$

Biểu thức (*) chứng tỏ $MB\perp MG$ hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG

Đáp án B

Ta có $M\in Ox$ nên M (m; 0) và $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AM}=\left(m-2;-2\right)\\ \overrightarrow{BM}=\left(m-5;2\right)\end{array}\right.$

Vì $\widehat{AMB}={90}^0$ nên suy ra $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$ nên $\left(m-2\right)\left(m-5\right)+\left(-2\right).2=0$

$$\begin{gathered} \iff m^2-7m+6=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=6\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}M\left(1;0\right)\\ M\left(6;0\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có $C\in Ox$ nên C (c; 0) và $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{CA}=\left(-2-c;4\right)\\ \overrightarrow{CB}=\left(8-c;4\right)\end{array}\right.$

Vì tam giác ABC vuông tại C nên suy ra $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$ nên $\left(-2-c\right)\left(8-c\right)+4.4=0$

$\iff c^2-6c=0\iff \left[\begin{array}{c}c=0\\ c=6\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}C\left(0;0\right)\\ C\left(6;0\right)\end{array}\right.$

Đáp án B

Gọi K (x; y) với x, y $\in$ R

Khi đó 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AK}=\left(x-2;y-5\right),3\overrightarrow{BC}=\left(12;-12\right), \\ 2\overrightarrow{CK}=\left(2x-10;2y+2\right) \end{gathered}$$

Theo YCBT $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CK}$ nên $\left\{\begin{array}{c}x-2=12+2x-10\\ y-5=-12+2y+2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=-4\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow K\left(-4;5\right)$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AH}=\left(a+3;b\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;6\right)\\ \overrightarrow{BH}=\left(a-3;b\right),\overrightarrow{AC}=\left(5;6\right)\end{array}\right.$

Từ giả thiết, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left(a+3\right).\left(-1\right)+b.6=0\\ \left(a-3\right).5+b.6=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right.\Rightarrow a+6b=7 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2} \\ =\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}} \\ =\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)} \\ =\sqrt{7-2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}=\left(-2k+4m;3k+m\right)\\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;4\right)\end{array}\right.$

Để $\overrightarrow{c}\perp \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\iff \overrightarrow{c}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(-2k+4m\right)+4\left(3k+m\right)=0 \\ \iff 2k+3m=0 \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}+m.\overrightarrow{v}=\left(4+m;1+4m\right)$

Trục hoành có vectơ đơn vị là: $\overrightarrow{i}=\left(1;0\right)$

Vec tơ $\overrightarrow{a}$ vuông góc với trục hoành $\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}=0\iff 4+m=0\iff m=-4$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=m.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(4m+1;m+4\right)\\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=\left(1;1\right)\end{array}\right.$

Yêu cầu bài toán $\iff \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\cos {45}^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\left(4m+1\right)+\left(m+4\right)}{\sqrt{2}\sqrt{{\left(4m+1\right)}^2+{\left(m+4\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \iff \frac{5\left(m+1\right)}{\sqrt{2}\sqrt{17m^2+16m+17}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \iff 5\left(m+1\right)=\sqrt{17m^2+16m+17} \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m+1\ge 0\\ 25m^2+50m+25=17m^2+16m+17\end{array}\right. \\ \iff m=-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=\left(1;7\right)\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}\\ \overrightarrow{BC}=\left(-7;1\right)\Rightarrow BC=5\sqrt{2}\\ \overrightarrow{CD}=\left(-1;-7\right)\Rightarrow CD=5\sqrt{2}\\ \overrightarrow{DA}=\left(7;-1\right)\Rightarrow DA=5\sqrt{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow AB=BC=CD=DA=5\sqrt{2} \end{gathered}$$

Lại có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=1\left(-7\right)+7.1=0$ nên $AB\perp BC$

Từ đó suy ra ABCD là hình vuông

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right)\\ \overrightarrow{DC}=\left(3;3\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}$

Suy ra DC//AB và DC = 3AB (1)

Mặt khác $\left\{\begin{array}{c}AC=\sqrt{4^2+0^2}=4\\ BD=\sqrt{0^2+4^2}=4\end{array}\right.\Rightarrow AC=BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân

Đáp án D

Gọi A’ (x, y). Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AA\text{'}}=\left(x-2;y-4\right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)\\ \overrightarrow{BA\text{'}}=\left(x+3;y-1\right)\end{array}\right.$

Từ giả thiết, ta có A’ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên $AA\text{'}\perp BC$ và B, A’, C thẳng hàng

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{BC}=0\left(1\right)\\ \overrightarrow{BA\text{'}}=k\overrightarrow{BC}\left(2\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\left(x-2\right).6+\left(y-4\right).\left(-2\right)=0\\ \frac{x+3}{6}=\frac{y-1}{-2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}6x-2y=4\\ -2x-6y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{3}{5}\\ y=-\frac{1}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$