100_dap_an_ngan_toan_12_bai_toan_thuc_te

– 15)

1. Gọi cạnh đáy là x (m), chiều cao h = 8/x². Chi phí C(x) = 3000x² + 8000/x. C'(x) = 0 ⇒ x = ∛(8/3) ≈ 1,39 m; h ≈ 4,16 m. Chi phí nhỏ nhất ≈ 16.650.000 đồng.

2. Gọi khoảng cách từ chân vuông góc đến điểm gặp xe là x km. Thời gian t(x) = √(x²+9)/5 + (20−x)/40. t'(x)=0 ⇒ x = 4/√15 ≈ 1,03 km. Thời gian nhỏ nhất ≈ 0,66 giờ.

3. P'(t) đạt max khi P''(t)=0 ⇒ t = (ln 4)/0,2 ≈ 6,93 năm. Tốc độ max ≈ 250 con/năm.

4. Lợi nhuận L(x) = 25x − (0,01x³ − 0,6x² + 13x + 1000) = −0,01x³ + 0,6x² + 12x − 1000. L'(x)=0 ⇒ x ≈ 40 (sản phẩm). Lợi nhuận max ≈ 2.200 nghìn đồng.

5. Gọi chiều rộng x, chiều dài 6−x. Diện tích S = x(6−x). Max khi x=3 m → cửa sổ hình vuông cạnh 3 m, S_max = 9 m².

6. Gọi điểm lên bờ cách chân vuông góc x km. t(x) = √(x²+4)/10 + (6−x)/5. t'(x)=0 ⇒ x = 2/√3 ≈ 1,15 km. Thời gian nhỏ nhất ≈ 1,39 giờ.

7. v(t) = h'(t) = −10t + 20. Tốc độ lớn nhất lúc t=0: v=20 m/s. Độ cao cực đại lúc v=0 ⇒ t=2 s, h_max = 21,5 m.

8. N'(x) = 1000/(x+1). Khi x=3: N'(3) ≈ 250 người/triệu đồng. Ý nghĩa: cứ chi thêm 1 triệu thì tăng thêm khoảng 250 người tiếp cận.

9. Gọi chiều rộng x, chiều dài 20−x. S = x(20−x). Max khi x=10 cm → ống hình vuông, S_max=100 cm².

10. L(x) = 150x − (2000 + 50x + 0,01x²) = −0,01x² + 100x − 2000. L'(x)=0 ⇒ x=5000. Lợi nhuận max = 248.000 nghìn đồng.

11. V = πr²h = 1 ⇒ h=1/(πr²). C = 2·50.000·πr² + 30.000·2πr·h. C'(r)=0 ⇒ r ≈ 0,46 m; h ≈ 1,50 m.

12. P(t) = P(0) + ∫₀ᵗ 200e^{0,03s} ds = 500.000 + (200/0,03)(e^{0,03t}−1). Năm 2030 (t=10): P ≈ 522.140 người.

13. Gọi chiều rộng x (mặt không hàng rào), chiều dài 1200/x. Chi phí C = 200.000(2·1200/x + x). C'=0 ⇒ x=√2400 ≈ 49 m; chiều dài ≈ 24,5 m.

14. Cân bằng: 100−0,05x = 20+0,02x ⇒ x=1142,86 ≈ 1143 sản phẩm. Doanh thu ≈ 71.429 đơn vị tiền.

15. L'(T) = L₀α = 2·1,2·10⁻⁵ = 2,4·10⁻⁵ m/°C. Tốc độ giãn nở không đổi theo T.

II. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (

– 30)

16. Tổng lượng nước = ∫₀²⁴ (50 + 20 sin(πt/12)) dt = 1200 + 0 = 1200 m³.

17. Công W = ∫₀⁴ (3x² + 2x) dx = [x³ + x²]₀⁴ = 64 + 16 = 80 J.

18. V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π·8 = 8π ≈ 25,13 m³.

19. Quãng đường s = ∫₀¹⁰ (2t + 3) dt = [t² + 3t]₀¹⁰ = 100 + 30 = 130 m.

20. Tổng dân = ∫₀¹⁰ (200 + 50x) dx = [200x + 25x²]₀¹⁰ = 2000 + 2500 = 4500 người.

21. Dùng công thức nón cụt hoặc tích phân. Bán kính tại cao 2 m: r = 1 + (2/4)·2 = 2 m. V ≈ (1/3)πh(R² + Rr + r²) với h=2, R=3, r=2 ⇒ V ≈ 19,9 m³.

22. P(T<5) = 1 − e^{−0,5} ≈ 0,393. Thời gian chờ trung bình = 10 phút.

23. P_tb = (1/5) ∫₀⁵ 1013 e^{−0,12h} dh ≈ 1013·(1−e^{−0,6})/(5·0,12) ≈ 763 hPa.

24. Giao điểm x=±√2. S = 2∫₀^{√2} [(4−x²)−x²] dx = 2∫₀^{√2} (4−2x²) dx = (16√2)/3 ≈ 7,54 m².

25. Năng lượng E = ∫₀¹² (100 + 20 cos(πt/6)) dt = 1200 Wh = 1,2 kWh.

26. V(10) = ∫₀¹⁰ (30−2s) ds = [30s − s²]₀¹⁰ = 200 m³. V'(10) = 30−20 = 10 m³/ngày.

27. m = ∫₀² (3 + 0,5x) dx = [3x + 0,25x²]₀² = 6 + 1 = 7 kg.

28. S = ∫₋₂² (4 − x²/4) dx = 2∫₀² (4 − x²/4) dx = 2[4x − x³/12]₀² = 2(8 − 8/12) = 14,67 m².

29. F = k v², k=0,5. v tăng đều từ 5→15 trên 20 m ⇒ a=(15²−5²)/(2·20)=5 m/s². Công W = ∫ F dx = 0,5 ∫ v² dx. Kết quả W = 1166,7 J.

30. T_tb = (1/24) ∫₀²⁴ (25 + 10 sin(πt/12)) dt = 25°C.

III. HÀM MŨ – LOGARIT (

– 45)

31. P(2035) = 1,2·(1,025)¹⁵ ≈ 1,74 triệu. Đạt 2 triệu khi 1,2·(1,025)^t = 2 ⇒ t ≈ 20,7 năm → năm 2041.

32. 100·(1,065)^n ≥ 200 ⇒ (1,065)^n ≥ 2 ⇒ n ≥ ln2/ln1,065 ≈ 11,01 → sau 12 năm.

33. N(6)=N₀·2²=8000 ⇒ N₀=2000. N(t)=64000 ⇒ 2000·2^{t/3}=64000 ⇒ 2^{t/3}=32 ⇒ t=15 giờ.

34. N(t)=200·(1/2)^{t/8}. 200·(1/2)^{t/8}=25 ⇒ (1/2)^{t/8}=1/8 ⇒ t/8=3 ⇒ t=24 ngày.

35. 800·(0,85)^t < 200 ⇒ (0,85)^t < 0,25 ⇒ t > ln0,25/ln0,85 ≈ 8,55 → sau 9 năm.

36. I₀ e^{−0,15h} = 0,1 I₀ ⇒ e^{−0,15h}=0,1 ⇒ h = ln10 / 0,15 ≈ 15,35 m.

37. Công thức trả góp: A = P·r(1+r)^n / [(1+r)^n − 1], r=0,01; n=60. A ≈ 11.122.000 đồng/tháng.

38. 60 = 25 + 65 e^{−10k} ⇒ e^{−10k}=35/65 ⇒ k≈0,062. T(30)=25+65e^{−1,86}≈25+10,1≈35,1°C.

39. Tổng = 2·(1 − 0,92¹¹)/(1−0,92) ≈ 15,05 triệu thùng.

40. pH giảm đúng 1 đơn vị. Ý nghĩa: dung dịch trở nên axit gấp 10 lần.

41. N(t)=500·(1/2)^{t/4}. 500·(1/2)^{t/4}<30 ⇒ (1/2)^{t/4}<0,06 ⇒ t/4 > 4,06 ⇒ t≈16,24 giờ.

42. 8,1·(1,009)^t = 10 ⇒ t = ln(10/8,1)/ln1,009 ≈ 23,6 năm → khoảng năm 2048.

43. A(t)=200 e^{0,05t}. Sau 10 năm: 200 e^{0,5} ≈ 329,7 triệu. Lãi kép năm: 200·(1,05)¹⁰ ≈ 325,8 triệu (liên tục cao hơn một chút).

44. e^{−h/8,5}=1/2 ⇒ h/8,5=ln2 ⇒ h≈5,89 km.

45. N(10)=1000/(1+99e^{−3})≈1000/(1+4,93)≈168 người. N'(10)≈42 người/ngày.

IV. LƯỢNG GIÁC (

– 55)

46. Gọi chiều cao h, khoảng cách ban đầu d. tan35°=h/d; tan50°=h/(d−40). Giải hệ: h ≈ 54,6 m.

47. tan8° = 50/d ⇒ d = 50 / tan8° ≈ 356,4 m.

48. Gọi độ cao h, khoảng cách từ người 1 đến bóng x. tan40°=h/x; tan55°=h/(1,2−x). h ≈ 1,37 km.

49. θ(t)=15° cos(ωt), ω=√(g/l)≈3,13 rad/s. Tốc độ góc max = 15°·ω ≈ 0,82 rad/s.

50. Biên độ A=0,002 m; tần số f=440 Hz; λ = v/f = 340/440 ≈ 0,773 m.

51. Chiều dài mái = 4 / cos30° ≈ 4,62 m. Chiều cao đỉnh = 4·tan30° ≈ 2,31 m.

52. d = 800 / tan12° ≈ 3764 m ≈ 3,76 km.

53. v = ωr = 4·0,3 = 1,2 m/s. Quãng đường s = v·t = 1,2·5 = 6 m.

54. S = a² sinα = 50² · sin70° ≈ 2349 m².

55. cosα = 25/40 = 0,625 ⇒ α ≈ 51,3°. Khoảng cách neo = √(40²−25²) ≈ 31,2 m.

V. DÃY SỐ – CẤP SỐ (

– 65)

56. Cấp số nhân: S₈ = 5·(1,15⁸ − 1)/0,15 ≈ 66,65 tỷ đồng.

57. Công thức tiền gửi đều: S = 5·[(1,005)³⁶ − 1]/0,005 · (1,005) ≈ 196,4 triệu đồng.

58.S₁₀ = 1,2·(1,03¹⁰ − 1)/0,03 ≈ 13,76 triệu tấn.

59. A = 300·0,008·(1,008)³⁶ / [(1,008)³⁶ − 1] ≈ 9,85 triệu đồng/tháng.

60. Tổng sau 10 năm: S₁₀ = 10/2 · (2·2000 + 9·150) = 26.750 cây. Vượt 5000 ở năm thứ 3.

61. 800·(0,88)^n < 200 ⇒ (0,88)^n < 0,25 ⇒ n > ln0,25/ln0,88 ≈ 10,7 → sau 11 năm.

62. S₁₅ = 15/2 · (2·20 + 14·3) = 465 triệu đồng.

63. P(2025)=2500+10·80=3300 người. Đạt 4000 khi 2500+80t=4000 ⇒ t=18,75 → năm 2034.

64. Công thức: Aₙ = 100·(1,07)⁶ + 20·[(1,07)⁶−1]/0,07 ≈ 150,07 + 142,31 ≈ 292,4 triệu.

65.S₂₀ = 5·(1 − 0,95²⁰)/(1−0,95) ≈ 64,15 triệu tấn.

VI. XÁC SUẤT – THỐNG KÊ (

– 75)

66. P(X=3) ≈ C(100,3)·(0,02)³·(0,98)⁹⁷ ≈ 0,182. P(X>5) ≈ 0,051 (dùng Poisson λ=2 hoặc máy tính).

67. P(T>10)=e^{−10/8}=e^{−1,25}≈0,287. P(5≤T≤12)=e^{−5/8}−e^{−12/8}≈0,315.

68. Z=(175−165)/6≈1,67 ⇒ P(X>175)≈0,0475 (4,75%). P(160≤X≤170)≈0,595.

69. Z₁=(45−50)/8=−0,625; Z₂=1,25. P≈0,63.

70. P(kẹt xe)=0,3·0,7 + 0,7·0,2 = 0,21 + 0,14 = 0,35.

71. Xấp xỉ nhị thức hoặc siêu bội: P(X=2)≈C(20,2)·(0,05)²·(0,95)¹⁸ ≈ 0,189.

72. Z=(8−6,5)/1,2≈1,25 ⇒ P(X≥8)≈0,1056 (10,56%).

73. P(cả 5 đạt)=(0,97)⁵≈0,859. P(≥1 phế phẩm)=1−0,859=0,141.

74. Z=(35−40)/5=−1 ⇒ P(X<35)≈0,1587.

75. P(X=4)=C(10,4)·(0,4)⁴·(0,6)⁶≈0,251. P(X≥6)=∑ₖ₌₆¹⁰ ≈ 0,166.

VII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (

– 85)

76. V=20·15·8=2400 m³. Diện tích tường = 2·(20+15)·8=560 m².

77. V_trụ=π·3²·12=108π; V_nửa cầu=(2/3)π·3³=18π. Tổng V=126π≈396 m³. Diện tích tôn=2π·3·12 + 2π·3²=90π≈283 m².

78. V=(1/3)·100²·60=200.000 m³. Diện tích xung quanh = 2·100·√(60²+50²)≈22.360 m².

79. V_vật liệu=π(0,12²−0,10²)·10≈0,1382 m³.

80. Đường chéo = √(5²+4²+3²)=√50≈7,07 m. Diện tích tường+trần=2·(5·3+4·3)+5·4=74 m².

81. V=(1/3)πh(R²+Rr+r²)=(1/3)π·2,5·(2,25+1,2+0,64)≈10,7 m³.

82. V=(1/3)π·1,2²·3≈4,52 m³. S_xq=πrl, l=√(3²+1,2²)≈3,23 m ⇒ S≈12,2 m².

83. V = diện tích đáy × chiều cao trung bình = 12·8·(4+6)/2 = 480 m³.

84. V_hộp=0,3³=0,027 m³; V_cầu=(4/3)π·0,15³≈0,0141 m³. Khoảng trống ≈ 0,0129 m³.

85.V=π(0,6²−0,45²)·25≈12,37 m³.

VIII. BÀI TOÁN TỔNG HỢP (

– 100)

86. L(x)=(80−0,05x)x − (0,02x²+15x+5000)=−0,07x²+65x−5000. L'=0 ⇒ x≈464. Lợi nhuận max ≈ 10.100 đơn vị.

87. dV/dt=5=πr² dh/dt ⇒ dh/dt=5/(π·100)≈0,0159 m/phút ≈ 1,59 cm/phút.

88. Giới hạn = 5000. Nửa mức (2500) khi 1+4e^{−0,2t}=2 ⇒ e^{−0,2t}=0,25 ⇒ t≈6,93 năm.

89. dV/dt=−kS ⇒ dr/dt=−k. Từ 10→8 trong 1 giờ ⇒ k=2 cm/h. Tan hết sau 5 giờ.

90. Chi phí = c·d². c=2/100²=0,0002. AC=150 ⇒ chi phí=0,0002·22500=4,5 triệu.

91. T_tb=24°C. Nhiệt độ cao nhất = 27°C khi sin=1 ⇒ t=6 giờ (12h trưa).

92. Hòa vốn: 10000 + 25x = 45x ⇒ x=500 sản phẩm. Bán 800: lợi nhuận = 20·800 − 10000 = 6 triệu.

93. S = (1/2)·10·20 + 20·30 + (1/2)·15·20 = 100+600+150=850 m.

94. Tổng cây = ∫₀³ (800−100x)·2 dx = 2[800x − 50x²]₀³ = 2(2400−450)=3900 cây.

95. Sau 5 năm: 50·(1,07)⁵≈70,13. Rút một nửa còn 35,06. Sau thêm 5 năm: 35,06·(1,07)⁵≈49,15. Tổng nhận = 35,06 + 49,15 ≈ 84,2 triệu.

96. ∫₀³ (200+50t−5t²) dt = [200t + 25t² − (5/3)t³]₀³ = 600 + 225 − 45 = 780 xe.

97. V=x(1,2−2x)(0,8−2x). V'=0 ⇒ x≈0,15 m. V_max≈0,078 m³.

98. Z₁=−1; Z₂=2. P≈0,8185 (81,85%).

99. v(t)=t²−3t+4; s(t)=(1/3)t³ − (3/2)t² + 4t. Quãng đường trong 5 s ≈ 20,83 m (cần xét điểm dừng).

100. NPV = −50 + ∑₁₀ₖ₌₁ (12−4)/(1,08)^k = −50 + 8·(1−1,08⁻¹⁰)/0,08 ≈ −50 + 53,68 ≈ 3,68 tỷ > 0 → nên đầu tư.

Ghi chú:

•