10 Bài tập Vận dụng tính chất của phép cộng phân thức, quy tắc dấu ngoặc để rút gọn biểu thức (có lời giải)
10 câu hỏi
\(\frac{{2xy}}{{{x^3} - {y^3}}}\);
\(\frac{{ - 2xy}}{{{x^3} - {y^3}}}\);
\(\frac{{ - 2xy}}{{{x^3} + {y^3}}}\);
\(\frac{{2xy}}{{{x^3} + {y^3}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có P \( = \frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \frac{{3xy}}{{{x^3} - {y^3}}} + \frac{1}{{x - y}}\)
\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} - {y^2} - 3xy + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{ - 2xy}}{{{x^3} - {y^3}}}\)
Do đó ta chọn đáp án B.
Cho biểu thức P = \(\frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\). Rút gọn biểu thức P ta được
\(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\);
\(\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
\( = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\)
Do đó ta chọn đáp án A.
Rút gọn biểu thức A = \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\). Rút gọn biểu thức A ta được biểu thức nào dưới đây
\(\frac{8}{{1 + {x^8}}}\);
\(\frac{8}{{1 - {x^8}}}\);
\(\frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right)}}{{1 - {x^8}}}\);
\(\frac{8}{{1 - x}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)
\( = \frac{{1 + x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{1 - x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)
\( = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)
\( = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)
\( = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)
\( = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}}\)
\( = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{1 - {x^8}}} = \frac{8}{{1 - {x^8}}}\).
Do đó ta chọn đáp án B.
Rút gọn biểu thức \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\)ta được kết quả là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)
\( = \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)
\( = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0\)
Do đó ta chọn đáp án A.
Biểu thức \(P = \frac{2}{{{x^2} - x}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{1 - {x^3}}}\)sau khi rút gọn ta được
\(\frac{2}{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}\);
\(\frac{{2 + x}}{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}\);
\(\frac{2}{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}\);
\(\frac{2}{{x\left( {{x^3} + 1} \right)}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(P = \frac{2}{{{x^2} - x}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{1 - {x^3}}}\)
\( = \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{2}{{x\left( {1 - x} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{4x.x}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)
\( = \frac{{ - 2{x^2} - 2x - 2 + 2x - 2{x^2} + 4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)
\( = - \frac{2}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)\( = \frac{2}{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}\).
Do đó ta chọn đáp án A.
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)với x\( \ne \)0 và x\( \ne \) – 1 ta được kết quả là
x – 1;
2x + 1;
x + 1;
x + 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)
\( = \frac{{{x^2}.x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)= x + 1
Do đó ta chọn đáp án C.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{y}{{{x^2} - xy}} + \frac{x}{{{y^2} - xy}}\)ta được kết quả là
\( - \frac{{xy}}{{x - y}}\);
\(\frac{{xy}}{{x + y}}\);
\(\frac{{x + y}}{{xy}}\);
\( - \frac{{x + y}}{{xy}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có
\(A = \frac{y}{{{x^2} - xy}} + \frac{x}{{{y^2} - xy}} = \frac{y}{{{x^2} - xy}} - \frac{x}{{xy - {y^2}}}\)
\( = \frac{y}{{x\left( {x - y} \right)}} - \frac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} = \frac{{{y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xy\left( {x - y} \right)}}\)
\( = - \frac{{x + y}}{{xy}}\)
Do đó ta chọn đáp án D.
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{2}{{{y^2} - {x^2}}} + \frac{1}{{xy - {x^2}}}\)ta được biểu thức nào dưới đây?
\(\frac{2}{{{x^2}\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{2}{{x\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{{x - y}}{{x\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{2}{{x\left( {x - y} \right)}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(B = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{2}{{{y^2} - {x^2}}} + \frac{1}{{xy - {x^2}}}\)
\( = \frac{1}{{x\left( {x + y} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{{x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{{x + y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{{x - y + 2x - x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2x - 2y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{2}{{x\left( {x + y} \right)}}\)
Do dó ta chọn đáp án B.
Biểu thức \(\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\)rút gọn được kết quả là
x – 3;
x + 3;
2x + 3;
2x – 3.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3\)
Do đó ta chọn đáp án B.
Bạn Ngọc thực hiện rút gọn biểu thức \(\frac{2}{{x + 2}} + \frac{{ - 4}}{{2 - x}} + \frac{{5x + 2}}{{4 - {x^2}}}\)được kết quả là
\(\frac{1}{{x - 2}}\);
\(\frac{1}{{x + 2}}\);
\(\frac{1}{{2x}}\);
\( - \frac{1}{{x + 2}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\frac{2}{{x + 2}} + \frac{{ - 4}}{{2 - x}} + \frac{{5x + 2}}{{4 - {x^2}}}\)
\( = \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{ - 4\left( {2 + x} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( = \frac{{4 - 2x}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{ - 8 - 4x}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( = \frac{{4 - 2x - 8 - 4x + 5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{ - x - 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( = \frac{{ - 1}}{{2 - x}} = \frac{1}{{x - 2}}\)
Do đó ta chọn đáp án A.
